И робототехнические системы

12.2. Общие случаи планирования траекторий
в пространстве обобщенных координат
В тех случаях, когда точки и удалены друг от друга на значительные расстояния, может потребоваться большее число участков, чем три или пять. Увеличение числа участков может быть оправдано и в случае, если желательно обеспечить максимальную точность реализации траектории.
Возможны два варианта общих случаев (число участков равно М):
Первый – когда координаты дополнительных точек не регламентируются как при рассмотрении 3–3–3–3–3 – траектории.
Второй (наиболее общий случай) – заданы координаты всех промежуточных точек.
Первый случай во многом аналогичен проектированию 3–3–3–3–3–траектории.
Учитывая, что 1-й и (М-1)-й участки должны иметь по четыре ограничения, М-й – шесть ограничений, а все промежуточные по три ограничения, можно определить выражение для расчета суммы P_М степеней полиномов, удовлетворяющих сформулированным условиям:
P_М = 4 + 4 + 6 + 3 (М – 3) – М = 5 + 2М (М > 3)
Примеры:
М = 3; P_М = 11 (4–3–4; 3–5–3; 5–2–3); М = 4; P_М = 13;
М = 5; P_М = 15 (3–3–3–3–3); М = 6; P_М = 17;
М = 10; P_М = 25 (3–3–2–3–2–2–2–3–2–3).
Второй случай, как отмечалось, является наиболее общим случаем. Он возникает, когда траектория движения схвата является функцией времени и задана на всем протяжении в декартовых координатах манипулятора (рис. 12.6).

Рис. 12.6

В результате решения обратной задачи кинематики находятся соответствующие заданным точкам значения обобщенных координат по каждой степени подвижности (рис. 12.7):

Рис. 12.7

Запишем ограничения для рассматриваемого общего случая с использованием понятия относительного времени: . Здесь М – число участков траектории.

Участок 1 Участок m

1. 
   ₁₎
   
2. 
   ₂₎
   
3. 
   ₃₎
   
4. 
   ₄₎
   

------------------------

Участок 2 Участок (М-1)

1. 
   ₁₎
   
2. 
   ₂₎
   
3. 
   ₃₎
   
4. 
   ₄₎
   

Участок 3 Участок M

1. 
   ₁₎
   
2. 
   ₂₎
   
3. 
   ₃₎
   
4. 
   ₄₎
   

5)
6)

Определим необходимую сумму степеней аппроксимирующих полиномов, учитывая, что на участке M имеется шесть условий, а на остальных по четыре.

P_m= 6 + 4 (m–1) – m = 2 + 3m (m > 3)

Примеры:
М = 3; P_М = 11 совпало с предыдущим, т. к. участков, вносящих разницу, в этом случае нет;

М = 4; P_М = 14 (4–3–3–4);
М = 5; P_М = 17 (4–3–3–3–4) два дополнительных условия по положению;
М = 10; P_М = 32.
Общим недостатком такого представления зависимостей является необходимость предварительного решения системы большого числа уравнений для определения коэффициентов полиномов. Трудности усугубляются еще и тем, что при изменении числа участков появляется новая система уравнений, которую нужно решить заново.
Таким образом, для успешного использования изложенных методов представления обобщенных координат необходимо иметь готовые таблицы зависимостей для расчета коэффициентов.
В настоящее время таких таблиц нет. И для случая деления траектории на произвольное число участков их получение связано со значительными трудностями.
Ограничения на обобщенные траектории.
Законы движения , полученные в ходе планирования обобщенной траектории, реализуются приводами в соответствующих подвижных сочленениях. Полученные из теоретических соображений законы должны быть проверены на возможность исполнения их соответствующим приводом. Существуют ограничения на перемещения, на скорости и ускорения.
Ограничения на обобщенные перемещения связаны с ограниченным диапазоном перемещения одного звена относительно другого (рис. 12.8)


Рис. 12.8

Для удовлетворения ограничений по перемещению следует определить экстремумы функций , что нетрудно выполнить после нахождения корней уравнения .

Ограничения на обобщенные скорости диктуются скоростными возможностями привода и его ограничениями на величину кинетической энергии. Для определения экстремальных значений следует найти корни уравнения .
Ограничения на обобщенные ускорения определяются максимально возможными моментами сил и усилиями, развиваемыми приводами.
Траектория движения схвата и его ориентации при конкретном рассмотрении может быть задана различным образом. В частности, она может быть задана, как и ранее, некоторым числом опорных точек при условии движения между ними с постоянными скоростями и по прямой линии.
Приведем пример производственной сцены (рис. 12.9), в которой может возникнуть необходимость в прямолинейных движениях схвата. Понятно, что движение между опорными точками может осуществляться и по криволинейным траекториям.

Рис. 12.9. Производственная сцена