|
Колмогоровнинг мувофиқлик критерияси.
2
2
1
1
yz
xy xz
yz x
xy
xz
r
r r
r
r
r
Колмогоровнинг мувофиқлик критериясини гипотетик тақсимот ( )
F x
узликсиз бўлган ҳолда қўллаш мумкин. Статистик критерия сифатида
эмпирик тақсимот функция билан назарий тақсимот функциянинг максимал
фарқланишига асосланган
( )
( )
n
n
x
K
Sup F x
F x
статистика олинади.
Ҳар бир ўзгармас
x
учун
( )
n
F x
гипотетик
( )
F x
нинг оптимал баҳоси
бўлиб, танланма ҳажми
n
да
( )
n
F x
( )
F x
га яқинлашиб боради.
Шунинг учун етарлича катта танланма ҳажмида
n
K
нинг қиймати нолдан
кескин фарқ қилмаслиги керак. Бундан ҳулоса қилиб киритик соҳани
кр
t
t
кўринишда танлаб оламиз.
n
K
статистиканинг яна бир ажойиб
хусусияти шуки у
0
H
гипотеза ўринли бўлгани шартида ( )
F x
нинг
кўринишига боғлиқ эмас. Ҳақиқатдан ҳам агар
1
( ), 0
1
x
F
u
u
алмаштириш бажарсак
1
0
1
(
( ))
n
n
u
K
Sup F F
u
u
оламиз. Бу ерда
1
(
( )) (0,1)
n
F F
u
даги текис тақсимотнинг эмпирик тақсимот
функцияси. Иккинчи бир ажойиб маълумот шуки,
n
nK
статистика жуда
катта тезлик билан Колмогоров тақсимотига интилади. Ҳаттоки
20
n
да
n
nK
статистикани қиймати учун Колмогоров жадвалидан фойдаланиш
мумкин.
1-Мисол.
1000 деталнинг маълум бир катталиги ўлчанганда
қуйидагича гуруҳланган танланма олинди
i
x
98.0 98.5 99.0 99.5 100.0 100.5 101.0 101.5 102.0 102.5
i
m
21
47
87
158 181
201
142
97
41
25
Колмогоровнинг мувофиқлик критериясидан фойдаланиб танланма
математик кутилмаси
100.25
a
мм
га ўртача квадратик четланиши
1
мм
га тенг бўлган нормал тақсимотга мос келишини текширинг. Бу ерда
қийматдорлик даражасини
0.05
деб олинг. У ҳолда Колмогоров
жадвалидан
1.6276
келиб чиқади.
i
x
98.0
98.5
99.0
99.5
100.0
100.5
101.0
101.5
102.0
102.5
i
m
21
47
87
158
181
201
142
97
41
25
100.25
i
x
-2.25
-1.75
-1.25
-0.75
-0.25
0.25
0.75
1.25
1.75
2.25
( )
F x
0.0122 0.0401 0.1056 0.2266 0.4013 0.5987 0.7734 0.8944 0.9599 0.9878
( )
n
F x
0.0105 0.0445 0.1115 0.234
0.4035 0.5945
0.766
0.8855 0.9545 0.9875
( )
( )
n
F x
F x
0.0017 0.0044 0.0059 0.0074 0.0022 0.0042 0.0074 0.0089 0.0054 0.0003
Юқоридаги жадвалдан
1000 0.0089
0.281
куз
n
nK
Кўриниб турибдики
куз
. Статистик маълумот гипотезани рад этмайди,
шунинг учун уни қийматдорлик даражасини
0.05
билан қабул қиламиз
ПИРСОННИНГ ХИ-КВАДРАТ КРИТЕРИЯСИ
Амалиётда кўпинча
n
K
статистикани ҳисоблашнинг имкони бўлмайди.
Иккинчи томондан гипотетик ( )
F x
тақсимот дискрет бўлган ҳолида
Колмогоров статистикасини қўллаш мумкин эмас. Шунинг учун бундек
ҳолларда ҳамма тақсимотлар учун универсал бўлган Пирсоннинг хи-квадрат
критерияси қўлланилади. Бу критериядан фойдаланиш учун дастлаб
тасодифий миқдорнинг мумкин бўлган қийматлар соҳаси
k
та жуфти-жуфти
билан биргаликда бўлмаган
1
2
,
,...,
k
A A
A
соҳага ажратилади.
Фаоаз қилайлик
i
n
- танланма элементларининг ичида
i
A
соҳага
тушганларининг сони бўлсин,
1
k
i
i
n
n
. Яна шуни фараз қилайликки
0
( )
i
H
i
p
P
A
. К.Пирсон танланма частота билан назарий частота орасидаги
фарқни характерловчи статистикани,
0
H
гипотезани текшириш учун таклиф
қилади.
2
2
1
(
)
k
i
i
n
i
i
n
np
X
np
.
Бу ерда критик соҳа
кр
t
t
кўринишда оламиз. Берилган
қийматдорлик даражасида
2
n
X
статистикани аниқ тақсимот қонунини
ҳисоблаш мумкин эмас. Лекин К.Пирсон қуйидаги машхур теоремасини
исботлади.
Теорема(Пирсон). Агар
0
1,
1, 2,...,
i
p
i
k
бўлса, у ҳолда
0
H
ўринли
бўлганлиги шарти остида
2
2
(
1),
,
d
n
X
k
r
n
бу ерда
r
– гипотетик тақсимотнинг танланма ёрдамида баҳоланаётган
параметрларининг сони ва
2
( )
m
– озодларик даражаси
m
га тенг бўлган хи-
квадрат тақсимотга эга тасодифий миқдор.
Шундек қилиб хи-квадрат критериянинг қоидаси қуйидагича:
кузатилма
2
n
X
ҳисобланади, агар
2
2
1
(
1)
n
X
r
r
бўлса танланма тақсимоти
0
H
гипотезага мувофиқ келмайди деб уни инкор этилади, ва аксинча бўлса
0
H
гипотезани инкор этиш учун асос бўлмаганлиги сабабли уни қабул
қилинади.
Хи-квадрат критерияни
50, min
5
i
n
n
шартлар бажарилганида
қўллаш тавсия қилинади, чунки бу ҳолатда лимит теоремадаги яқинлашиш
сезиларли бўлади.
2-Мисол.
Аппаратуранинг 10000 соат иши давомида иштан чиқишлар
сони Пуассон тақсимотга бўй суниши ҳақидаги гипотезани текширинг.
Ишдан чиқишлар сони
k
0
1
2
3
4
5
6
жами
Кузатилган ҳолатлар
i
n
427
235
72
21
1
1
0
757
Жами бўлиб
757
n
аппаратура синовдан ўтказилди, бунда жами ишдан
чиқишлар сони
0 427 1 235 2 72 3 21 4 1 5 1 0
451
. Ишдан чиқишлар
сони
(
)
,
0,1, 2,...,
0, 01
!
m
m
p
P X
m
e
m
m
Пуассон тақсимот қонунига бўй сунишини текширинг.
Ечиш.
Дастлаб
параметрни баҳолаймиз. Бу параметрнинг энг яхши
баҳоси ўрта қиймат
451 757
0, 6
n
. Жадвалдан
m
np
эҳтимолликларни
топамиз.
Кўриниб турибдики,
5,
5,
4,5, 6
m
m
np
n
m
шунинг учун бу устунлар 3-
устун билан бирлаштирилади ва қуйидаги жадвални қурамиз.
Ишдан чиқишлар сони
0
1
2
3
жами
k
Кузатилган ҳолатлар
i
n
427
235
72
23
757
0,6
0,6
!
i
i
p
e
i
0,54881 0,32929 0,09879 0,02312
1
Назарий частота
i
np
416
249
75
17
2
(
)
i
i
i
n
np
np
0,291
0,787
0,120
2,118
3,31
Баҳоланаётган Пуассон тақсимоти параметри битта. У ҳолда
1 4 1 1 2
k
r
. Хи-квадрат жадвалидан озодлик даражаси 2 га тенг
бўлган 0,99 тартибли квантилни
2
0,99
(2)
9, 21
топамиз. Кўриниб турибдики,
2
3,31 9, 21
n
X
. Ишдан чиқишлар сони Пуассон тақсимотига бўй суниши
ҳақидаги гипотеза қабул қилинади.
Do'stlaringiz bilan baham: |
