I. Kirish qismi II. Asosiy qismi

Kompyuter grafikasida sirtlar

Sirtlarning ayrim sodda xossalari.Umumiy holda sirtni quyidagi tenglamalarning birini yordami bilan tasniflash mumkin:

Oshkora: z=f(x,y);

Algebraik: F(x,y,z)=0;

Parametrik: x=X(u,v), y=Y(u,v), z=(u,v)

(2).

Kompyuter grafikasining amaliy masalalarida sirtni parametrik shaklda berish boshqalariga nisbatan qulay. Shuning uchun bizning ma’ruzalarda undan ko‘proq foydalanamiz. Ko‘p masalalarni yechishda berilgan nuqtada sirtga o‘tkazilgan normalning tenglamasiga ega bo‘lish foydali bo‘ladi. Uni sirt tenglamasidan topish mumkin Funksiya F(x,y,z) o‘zgarmas qiymatga ega bo‘lganligi uchun, differiyensiali nolga teng. Bu yerda dx,dy,dz miqdorlar bo‘ylab koordinatalarning o‘zgarishini ko‘rsatadi. Shu sababli ular qaralayotgan sirtga o‘tkazilgan urinma vektorni aniqlaydilar deb hisoblash mumkin. Bu holda (2) tenglamani ikki vektorning skalyar ko‘paytmasi deb tasavvur qilish mumkin. Bunda birinchi vektor F funksiyaning hususiy hosilalardan, ikkinchi vektor esa sirtga o‘tkazilgan urinmani tashkil etadi. Bu skalyar ko‘paytma nolga teng bo‘lganligi vektorlarni o‘zaro……….parallel ekanligini anglatadi. 1-misol. Tekislik ax+by+cz=1 tenglama yordamida berilgan. Tekislikka o‘tkazilgan normalar (a,b,c) vektorga parallel bo‘ladi. 2-misol. Markazi koordinata boshida joylashgan sferaning tenglamasi x2+y2+z2=R2. Bu sferaning (x,y,z) nuqtasiga o‘tkazilgan normal (x,y,z) vektorga parallel bo‘ladi.Sirtning parametrik ifodalanishini qaraganda quyidagi belgilashdan foydalanamiz:

Xu = (X/u.) (3)

Qolgan o‘zgaruvchilar ham shunga o‘xshash belgilashlar kirtiladi.Agar (Xu, Yu, Zu,) va (Xv, Yv, Zv,) vektorlar sirtga o‘tkazilgan urinmalarni va (Fx, Fu, Fz,) normal vektorni tashkil etishsa, u holda quyidagi tengliklar o‘rinli bo‘ladi.

FxXu+FyYu+FzZu=0,

FxXv+FyYv+FzZv=0. (4)

O‘rniga qo‘yish usuli bilan (4) tenglamalar sistemasini yechamiz:

Fx=YuZv-ZuYv,

Fy=XuZv+ZuXv, (5)

Fz=XuYv-YuXv,

Ko‘rib chiqilgan (4) tenglamalar sistemasida noma’lumlar soni tenglamalar sonidan ko‘p bo‘lganligi sababli ko‘p qiymatli yechimga ega bo‘ldik. Shu tufayli (5) ifodani o‘ng tomonidagi umumiy ko‘paytuvchilardan qutilish zarur va bu qadam gradentning qiymatini emas, balki yo‘nalishini topishga qaratilgan. Ushbu holdan sirt berilishning parametrik va oshkor ko‘rinishida gradenitning tenglamasini tuzishda foydalanamiz. Haqiqatdan ham, sirtning oshkor ko‘rinishida berilishi algebraik ifodalashning xususiy holini tashkil etadi, ya’ni

Z-f(x,y)=o. (6)

Bu yerdan

Fx=-fx,

Fy=-fy, (7)

Fz=1.

(7) tenglamalar sistemasining yechimi quyidagi ko‘rinishga ega:

fx=(ZuYv-YuZv)/(XuYv-XvYu),

fy=(XuZv-ZuXv)/(XuYv-XvYu). (8)

3-мисол. Markazi koordinata boshida bo‘lgan sfera quyidagi parametrik tenglamalar bilan berilgan: x=cosucosv, y=sinusinv, z=sinv. Umumiy ko‘paytuvchilari yo‘qotilgandan so‘ng, (5) tenglamadan normalning quyidagi etuvchilarini topamiz: Fx=cosucosv, Fy=sinusinv, Fz=sinv. Bu natija 2-misolning yechimiga mos keladimi? Haqiqatdan ham fx=cosu/tgv, fy=sinu/tgv, ikkinchi masalani yechimiga to‘g‘ri keladi.Sirtning statsionar nuqtalari.Agar sirt oshkora tenglama bilan berilgan bo‘lsa, u holda z o‘zgaruvchining x va y bo‘yicha xususiy hosilasi nolga aylangan nuqtalar statsionar yoki maxsus nuqtalar deb ataladi. Bu nuqtalar xossalarini o‘rganish uchun f funksiyani ularning atrofida Teylor qatorga yoyishdan foydalanamiz. Xususiy hosilalar uchun (3) belgilashga o‘xshash belgilashlar kiritamiz. Agar maxsus nuqtaning koordinatasi x0, u0 bo‘lsa, u holda Teylor qatorini quyidagicha yozish mumkin: F(x,y) = f(x0,y0)+(x-x0)fx+(y-y0)fy+1/2(x-x0)2fxx+(x-x0)(y-y0)fxy+ +1/2(y-y0)2fyy+…, (9) Bu yerda f(x) bilan x bo‘yicha ikkinchi tartibli xususiy hosila belgilangan, f(x) bilan x va u bo‘yicha ikkinchi tartibli xususiy hosila belgilangan va shu kabi boshqa xususiy hsilalar belgilangan. Maxsus nuqtadan birinchi tartibli har ikkala xususiy hosila nolga teng. Demak, funksiyaning ko‘rinishi ikkinchi tartibli hosila asosida aniqlanadi.Bu funksiyani fiksirlangan yo‘nalish bo‘ylab (x0,y0) nuqtadagi qiymatiga nisbatan o‘zgarishini qaraymiz. (u-y0)/(x-x0) nisbatni h orqali belgilaymiz. Unda yuqorida keltirilganTeylor qatoriga yoyish formulasini quyidagicha yozish mumin:

F(x,y) = f(x0,y0)+z(x-x0)2[fxx+2hfxy+h2fxy]+… (10)

Bu yerda x(x0 shart bajarilgan deb hisoblangan. Elementar algebra kursidan ma’lumki, ikkinchi darajali ko‘phadning koeffitsiyentlardan tuzilgan diskerminanti manfiy (ko‘phad haqiqiy ildizlarga ega emas) bo‘lsa, u holda bu ko‘phadning ishorasi uning yuqori hadi-koeffitsiyentining ishorasi bilan bir xil bo‘ladi. Shuning uchun kvadratik qavsga olingan (h bo‘yicha ko‘phad sifatida qaralayotgan) ifodaning ishorasi har doim bir xil bo‘ladi, agar quyidagi shart bajarilsa:

fxy2-fxxfyy<0. (11)

Ravshanki, ushbu tengsizlikdan ikkinchi xususiy hosilalar fxx va fyy xuddi shunday ishoraga ekanligi ham kelib chiqadi. Agar ular musbat bo‘lsa, u holda kvadrat qavsga olingan ifoda ham musbat bo‘ladi. U holda funksiyaning qiymati maxsus nuqtalardan tashqarida uning bunday nuqtadagi qiymatidan katta. Shunday qilib, maxsus nuqta qandaydir bir minimumni ko‘rsatadi. Ikkinchi tomondan, agar bu hosilalar manfiy bo‘lsa, u holda maxsus nuqta qandaydir bir maksimumni ko‘rsatadi. Agar (11) tengsizlik bajarilmasa, u holda bu egrisimon nuqta bo‘ladi. Buni hammasi bildiradiki, shunday yo‘nalish mavjudki, unda maxsus nuqta minimumni tashkil etadi va Yana boshqa yo‘nalish ham mavjud bo‘lib, unda bu maxsus nuqta maksimumni tashkil etadi.4-misol. Z=x2+2axy+y funksiyani qaraymiz. Ko‘rinib turibdiki, (0,0) nuqta maxsus. (10) tenglamada kvadrat qavsga olingan ifoda, ushbu holda 2(1+2ah+h2) ko‘rinishga ega. Agar a parametrning absolyut qiymati birdan kichik bo‘lsa, u holda maxsus nuqta minimumni ko‘rsatadi. Haqiqatdan ham, a parametrning kichik qiymatlarida qaralayotgan sirt yarim sharsimon ko‘rinishga ega bo‘ladi. Uning ko‘ndalang kesimi aylanaga juda yaqin. Agar a katta musbat qiymatga ega bo‘lsa, u holda u had asosiy (dominant) ko‘rsatkich bo‘lib xizmat qiladi. Agar x va u ishoralari bir xil bo‘lsa, u holda funksiya asosan musbat qiymat qabul qiladi. x va u turli ishorali bo‘lganda teskari holni kuzatish mumkin. Xususiy holda, x=y to‘g‘ri chiziqni qaraymiz. Bunda z=2(1+a)x2 va a parametrning musbat qiymatlarida bu to‘g‘ri chiziqlar orqali o‘tgan tekislik va sirtning kesishishi maxsus nuqtada minimumga eg bo‘ladi. Agar x=-y bo‘lsa, u holda z=2(1-a)x2, hamda analogik kesishgan maxsus nuqtada maksimumga ega bo‘ladi.Sirtni yopiq egri chiziq bilan chegaralangan interpolyatsion qismlari.Uch o‘lchamli holda interpolyatsiya qilishning eng sodda vositasi {P1,P2,P3} uch nuqtada berilgan yassi uchburchak bo‘ladi. Faraz qilaylik u va v skalyar o‘zgaruvchilar va U,V([0,1]. Bu holda uchlari ko‘rsatilgan nuqtalarga joylashgan uchburchakning sirti U+V≤1 shart bajarilganda, quyidagi tenglama bilan aniqlanadi.

T(U,V)= P1u+P2v+,P3(1-u-v), (12)

Bu tenglamadan quyidagilarni osongina olamiz: Bundan tashqari Т(u,0) to‘g‘ri chiziq va nuqtalarni tutashtiradi, Т(0,v) to‘g‘ri chiziqlar esa, va nuqtalarini tutashtiradi va Т(u,1-u) to‘g‘ri chiziq Р1 va Р2 nuqtalarni tutashtiradi.Chiziqli bo‘lmagan interpolyatsion sirt biroz murakkab ko‘rinishga ega bo‘lib, u to‘rt nuqtadan tuzilgan to‘plamda beriladi. Bunday sirt S(u,v) quyidagicha aniqlanadi:

bu yerda 0≤u, v≤1

Tabiiyki, quyidagi tengliklar o‘rinli bo‘ladi: Bundan tashqari S(u,v) to‘g‘ri chiziq va nuqtalarni tutashtiradi, S(u,1) to‘g‘ri chiziq va nuqtalarini tutashtiradi, S(1,v) to‘g‘ri chiziq va nuqtalarini tutashtiradi va S(u,0) to‘g‘ri chiziqlar Р1 va Р3 nuqtalarini tutashtiradi. Agar berilgan to‘rtta nuqta komplanar bo‘lsa, u holda S yassi interpolyatsion to‘rtburchak bo‘ladi. Aks holda S ikkinchi tartibli sirtni ifodalaydi. Interpolyatsion sirtning u va v bo‘yicha gradiyentini (13) tenglamani oddiy differensiallash yordamida topish mumkin: (14)

Bu tenglamal vektor ko‘rinishda yozilgan. Shu sababli agar nuqtaning х koordinatasi хi bilan belgilangan bo‘lsa, u holda (14) tenglamadan quyidagini olamiz:

X4=(x4 – x2)v+(x3-x1)(1-v)

Xudi shunday munosabatni Y4 va Z4 uchun ham yozish mumkin. Xususiy hosilani belgilash uchun bu yerda (3) ifodadan farqli, yuqori indeksdan foydalaniladi. Bu nuqtani belgilovchi quyi indekslar bilan chalkashlik kelib chiqmasin degan maqsadda kiritiladi. X,u koordinatalar bo‘yicha gradiyentni aniqlash uchun (8) tenglamalardan foydalanish mumkin.

5-misol. nuqtalarni qaraymiz. Bu holda chiziqli bo‘lmagan interpolyatsion sirtni har bir nuqtasini x,u,z koordinatalari quyidagi ifoda yordamida aniqlaydi:

x(u,v)=u,

y(u,v)=v, (15)

z=(u,v)=uv z=x,y).

Bu sirtning gradiyenti quyidagicha aniqlanadi:(15) va (16) tenglamalarni birlashtirib, quyidagini olamiz:Bu natijani (15) tenglamani bevosita differensiallash yordamida ham olish mumkin edi.Ko‘rib chiqilgan ushbu misolning natijalari boshqa hollar uchun ham o‘rinli. Chunki, har doim uch nuqtada berilgan tekislik sifatida z=0 tenglikni tanlash va bir nuqtani koordinatalar boshiga ko‘chirish mumkin. Sirt bu holda z=z4uv ифода bilan aniqlanadi. Konus sirti.Bu sirtlarning to‘rt egri chiziqni interpolyatsiya qilishni ta’minlaydi. Faraz qilaylik, Р(u,v) ikki argumentli funksiya bo‘lib, u quyidagi xossalarga ega: u yoki v o‘zgarmas bo‘lgan holda bu funksiya fazoviy egri chiziqni parametrik ifodasiga keladi. Sirtning yopiq chegarali qismini P(u,0), P(u,1) P(0,v) va P(1,v) chegaraviy egri chiziqlarni quyidagicha birlashtirish asosida qurish mumkin:

S(u,v)=P(u,0)(1-v)+P(u,1)v+P(0,v)(1-u)+P(1,v)u-P(0,0)(1-u)(1-v)-P(0,1)(1-u)v-P(1,0)u(1-v)-P1,1)uv. (18)

Ushbu tenglamaning oxirgi to‘rt hadi to‘rt egri chiziq o‘zaro juft kesishmasini ikki marta hisobga olishni bartaraf qilish uchun kerak. Shunday qilib, u(0 va v=0 bo‘lgan holda quyidagiga ega bo‘lamiz.

S(u,0)=P(u,0)+P(0,0)(1-u)+P(1,0)u-P(0,0)(1-u)-P(1,0)u=P(u,0).

Boshqacha aytganda, b0i(u) birlashtiruvchi funksiya egri chiziqlar uchun, b1i(u) birlashtiruvchi urinmalarning burcha koeffitsiyentlari uchun mo‘ljallangan. (ki qiymati ikki holda birga teng.

1) k=0 va j=0 bo‘lgan birlashtirish vektorining birinchi ikki komponentiga mos keladi;

2) k=1 va j=1 bo‘lgan birlashtirish vektorining oxirgi ikki komponentining ko‘paytmasiga mos keladi.

Endi M matritsa quyidagi ko‘rinishni oladi.

. (29)

Bu belgilashlarda ham (20) tenglik o‘z kuchini saqlaydi. Bundan tashqari, nafaqat S(u,0)=P(u,0) ko‘rinishdagi tengliklar, hatto Su(u,0)=Pu(u,0) ko‘rinishdagi boshqa tenglamalarning o‘rinli ekanligiga ham ishonch hosil qilish mumkin.

Oriyentirlar bo‘yicha sirtlarni qurish.

Splaynlar yordamida egri chiziqlarni qurush mavzusida ko‘rib chiqilgan Bezye yoki Vg‘splaynlar tipidagi ko‘phadlarni umumlashtirishdan foydalanib, oriyentir-nuqtalar yordami bilan sirtlarni berish mumkin.

Безье sirti.

S(u,v) sirtni oriyentir-nuqtalarning har bir koordina talari bo‘yicha alohida hisoblangan Q(t) va R(t) Bez’e ko‘phadlarining Q(U)R(V) tenzor ko‘paytmasi sifatida aniqlash mumkin. Bu protsedura u va v o‘zgaruvchilarning ko‘rinishiga ta’sir etmaydi, ammo koeffitsiyentlarda o‘z aksini topadi. tenglikni kiritib ( bu yerda h orqali x, u yoki z belgilangan), sirtning quyidagi tenglamasiga kelamiz:

(30)

Bu tenglamadan xususiy holdagi quyidagi ifodalarni osongina keltiribchiqarish mumkin:

Shunday qilib, S(u,v) sirtning burchaklar nuqtalarda joylashgan bo‘lib, u to‘rt tomondan Bezye ko‘phadlari bilan chegaralangan. Bu ko‘phadning Рij koeffitsiyentlarini ikkiga ko‘paytirilgan yig‘indisi birga teng ekanligidan foydalanib, qurilgan sirtni oriyentir nuqtalarning qavariq qobig‘iga (sirtqi ko‘rinishiga) tegishli ekanligini ko‘ramiz.Bunday sirtni Bezye ko‘phadi uchun nuqtalar bo‘yicha egri chiziqlarni qurish mavzusida ko‘rsatilgani kabi, uning qismlarga (uchastkalarga) tayangan holda ham tasniflash mumkin. Bunga o‘xshash tasniflardan quyidagi holda kompyuter grafikasining amaliy masalalarini yechishda foydalanish qulay.Obyektning qaysi elementlari ko‘rinadigan bo‘ladi, qaysilari esa kurinmaydigan bo‘lishini aniqlash uchun sirtning yopiq chegaraga ega bo‘lgan qandaydir bir chekli qismini(uchastkasini) kichik qismlarga bo‘lish talab qilingan hollarda bunga o‘xshash tasniflardan kompyuter grafikasining amaliy masalalarini yechishda foydalanish qulay.V-splaynlar yordami bilan qurilgan sirtlar.V-splaynlar yordami bilan qurilgan sirtlar (V-splayn-sirt) quyidagicha beriladi:Umumiylikni yo‘qotmagan had u0 va v0 qiymatlarini nolga teng deb hisoblash mumkin. Shuni eslatib o‘tish kerakki, ui ≤u≤ui+m+1 intervaldan tashqari, hamma hollarda Ni,m(u) va berilgan nuqta uchun V-splaynlarning hamma qiymatlarining yig‘indisi birga teng. Bunday holda quyidagini olamiz:Agar manfiy indeksli hamma oriyentr-nuqtalar xuddi Рi0 kabi bo‘lsa, u holda bu tenglama soddalashadi:

(33)

ya’ni v=0 holda sirt splayn bilan chegaralangan. Bu usuldan shu kabi yo‘lar (farazlar) bilan foydalanish u va v o‘zgaruvchilarning boshqa chetki qiymatlar uchun ham aynan o‘xshash natijalarini keltirib chiqarishga olib keladi. Tabiiyki, bu natijalar Kuns sirtlaridagi kabi muhim ahamiyatga ega emas. Chunki (32) tenglama sirtning yopiq chegarali alohida bir qismini emas, balki noma’lum sirtning o‘zini tasniflaydi. Sirtning yopiq chegarali chekli qismini, birlashtiruvchi {u:u([ui,ui+1]}, {v:v([vj,vj+1]} nuqtalar to‘plamining hamma qiymatlari uchun, qurish mumkin. (33) tenglamaning xususiy holiga mos keluvchi variantlari bilan tanishish foydali.Oldin birlashtiruvchi nuqtalari teng uzoqlikda joylashgan va m=1 holda chiziqli bo‘lmagan interpolyatsion sirtni qaraymiz. Bu holda, shunday qilib, (13) tenglamaga o‘xshash chiziqli bo‘lmagan shakldagi sirt tenglamasi olinadi. Bu tenglamada ui+1-ui=1 vj+1-vj=1 tengliklar bajarilgani uchun biz (34) tenglamadan quyidagilarni olamiz va boshqa tenglamalar ham shu kabi ko‘rinishga keladi. Bundan tashqari quyidagilarni ham ko‘rsatish mumkin:Demak bu interpolyatsion sirt (32) tenglama bilan aniqlangan sirtning (m=1 holda ) xususiy holi ekan.Endi L=1 holda ikkinchi tartibli (m=1) tekis V-splaynlar yordami bilan olingan sirtlarga o‘tamiz. Yana quyidagi u0=0 va ui=i qiymatlarni beramiz. Splaynlar yordamida egri chiziqlarni qurish mavzusida ko‘rsatilgan ediki, obyektlar shaklini (formasini) tasniflash uchun bunday splaynlar juda mos keladi. O‘sha mavzudagi (30) va (32) tenglamalarni keltirib chiqarishda bajarilgan tahlilni ushbu hol uchun ham takrorlab, ularga o‘xshash ifodalarni olish mumkin. Xususiy holda, to‘rt oriyentir-nuqta tashkil etgan to‘rtburchakning markazi orqali o‘tuvchi sirt tenglamasini topamiz:Oxirgi ikki tenglamadan kelibchiqadiki, agar qirralari to‘trburchaklardan tashkil topgan uchlari bo‘lsa qandaydir kvadratik turga akslantirilishi mumkin bo‘lgan ko‘pyoqli berilgan bo‘lsa, u holda splayn-sirtni qurishda oriyent-nuqta sifatida foydalanilgan ko‘pyoqlining uchlari quyidagi xossaga ega: u ko‘pburchakning hamma qirralari markazdan o‘tadi va bu nuqtalarda unga o‘rinli bo‘ladi.Sirtni qayta hosil qilish va shtrixlash.Egri chiziqlar tasvirini qayta hosil qilishda paydo bo‘ladigan asosiy muammo, egri chiziqqa mos matematik tasnifni piksellarning koordinatalar to‘plamiga almashtirishdan iborat. Bu yassi egri chiziqni qayta hosil qilish uchun zarur yagona axborotdir. Sirt bo‘lgan holda esa, uni tasvirni qayta hosil qilish uchun, faqatgina nuqtalarning (xi,yi, zi) koordinatalari yetarli emas. Bu holda ikki asosiy yondashuvdan foydalanish mumkin:1) rang yordam bilan balandlik (z koordinatalar) haqidagi axborotni kodlash;2) Shtrixlash.Rang yordamida kodlashni qo‘llash konturni qayta hosil qilishga olib keladi. U ayrim Amaliy masalalarni yechishda foydali bo‘lishi mumkin, ammo yoqimli ham emas, estitik ham emas, informativ ham emas. . . Shtrixlashdan foydalanish yuqori sifatli tasvir olish imkoniyatini beradi, ammo katta hajmdagi hisoblashlarni talab qiladi. Agar butun sirt yassi bo‘lsa, u holda shtrixlash effektini bir ranga bo‘yash yoki tekislikni har bir ko‘rinadigan proyeksiyasini bir xil darajadagi kul rang tusda hosil qilish natijasida olish mumkin. Yassi bo‘lmagan sirtlarni qayta hosil qilishni murakkablashtiruvchi qator muammolar, qandaydir bir tekislikda ularning proyeksiyalari bilan ishlash zarurligi tufayli paydo bo‘ladi. Bundan kelib chiqadiki, ko‘rinadigan va kurinmaydigan elementlarga ajratish masalasini yechishda ham. Chunki sirtning ayrim nuqtalari boshqarishni to‘sib qo‘yishi (bekitish) mumkin. Xususan, sirtni yopiq chegaralangan chekli qismi (uchastkasi) proyeksiyasining konturi bu chegaraning proyeksiyasi bilan bir xil bo‘lmaydi. Bu muammolarni har taraflama to‘liq muxokama qilish bizning ma’ruzalarda ko‘rilayotgan masalalar chegarasidan chiqib ketadi, shuning uchun bu yerda faqat asosiy tamoyillarini (pritsiplarini) keltirish bilan cheklanamiz.Rastrli grafik qurilmalardan foydalanganda konturlarni qayta hosil qilish uchun rang yoki kul rang tus darajasi bilan z koordinatasi o‘rtasida qandaydir moslikni o‘rnatish yetarli bo‘ladi. Agar tenglama nuqtalar zichligi yetarlicha yuqori bo‘lsa, u holda z koordinatasining doimiy (o‘zgarmas) qiymatiga mos keluvchi konturlar o‘zgarmas yoritilganlikdagi egri chiziq bilan ifodalanadi (tasvirlanadi). Vektorli grafik qurilmalardan foydalanganda bu masala juda qiyin muammoga aylanadi. Chunki, bu holda konturga mos egri chiziqni qayta hosil qilinayotgan sirtda tekshirib turishga (kuzatib borishga) to‘g‘ri keladi.Shtrixlashdan foydalanish qandaydir yorug‘lik manbai hamda qayta hosil qilinayotgan sirtni aks ettirish imkoniyatlari haqida ma’lumot borligini nazarda tutadi. Agar yorug‘lik manbai yoritilayotgan obyektdan juda katta masofaga uzoqlashgan bo‘lsa, u holda hamma yorug‘lik turlari parallel va sirtning ko‘rinishi faqat uning o‘z xossalari va yorug‘lik manbaiga nisbatan yo‘nalish asosida aniqlanadi deb hosiblash mumkin. Sirtga tushadigan yorug‘likning miqdori sirtga o‘tkazilgan normal bilan yoritilish yo‘nalishga parallel vektorning skalyar ko‘paytmasiga perpendiulyar. Matematik tasnifi bilan berilgan sirtga qanday qilib normal o‘tkazish 2 bo‘limda ko‘rsatilgan edi.Agar sirt absolyut oyna kabi bo‘lsa, u holda uning har bir nuqtasidagi yoritilganlikni hisoblash uchun yorug‘likni aks ettirishning asosiy (fundamental) qonunidan foydalanish mumkin. Kuzatuvchi yorug‘likni aqat shunday holda ko‘rishi mumkinki, agar uning nigohi kerakli yo‘nalishga qaratilgan bo‘lsa. Faraz qilamiz, vektor bu to‘g‘ri yo‘nalishga parallel. Bundan tashqari, bu vektor xuddi vektor kabi meyorlashtirilgan, ya’ni har birining uzunligi birga teng. Bunday holda bissektrisa bilan ular tashkil qilgan burchak ularning yig‘indisiga parallel. Bundan kelib chiqadiki, kuzatuvchiga yetib kelgan yorug‘likning miqdori bu vektor bilan sirt n normalarining skalyar ko‘paytmasiga perpendikulyar. Ko‘rsatilgan burchak nolga teng bo‘lganda sirt eng yorug‘ ko‘rinishga ega va 900 burchakka teng bo‘lganda qoradek tuyuladi. Bu tipdagi akslantirish ko‘zguda akslantirish deb ataladi va sirtni umumiy yoritilganligini u faqat qisman aniqlaydi. Yoritilganlikning qolgan qismini yorug‘likni diffuzion akslantirish aniqlaydi. Bu yorug‘lik hamma yo‘nalishlar bo‘yicha bir xil aks etadi va yoritilganlikdagi farq faqat tushgan yorug‘lik miqdorini har xilligida ekanini nazarda tutadi. Shunday qilib, diffuzion akslantirish va vektorlaning skalyar ko‘paytmasiga proporsional. Ko‘rinib turibdiki, skalyar ko‘paytma manfiy bo‘lganda aks etuvchi yorug‘lik bo‘lmaydi, shuning uchun bu skalyar ko‘paytmaning musbat qiymati bizni qiziqtiradi. Ko‘zgudek akslantirishni Im orqali va diffuzion akslantirishni Id orqali belgilab, quyidagi munosabatni yozamiz:Umumiy yoritilganlik qiymatini aniqlash uchun bu miqdorlarni qandaydir bir koeffitsiyentlarbilan olingan yig‘indisidan foydalanish kerak. Bundan tashqari tasvirning yorug‘ligi katta bo‘lgan qismlarga k tartibli darajaga ko‘tarilganda Im ko‘rsatkich juda realistik (haqiqatga yaqin) ko‘rinish berish imkoniyatini mavjudligini ko‘rsatuvchi emperik ma’lumotlar bor ekanligi ma’lum. Shunday qilib, I=(Id + gIm,)

Bu yerda ( - sirtning yaltiramasligini hisobga oluvchi koeffitsiyent;

g - sirtning yaltiroqlini hisobga oluvchi koeffitsiyent.

Tabiiyki, ( va g koeffitsiyentlar qiymatlari o‘rtasidagi munosabat juda muhim. Ayrim avtorlar ularni tanlashda ( +g =1 munosabatdan foydalanishni taklif qilishadi. K daraja ko‘rsatkichini [5,60] intervaldan tanlash juda ifodali tasvirni olish imkoniyatini berish haqida dalolat beruvchi publikatsiyalar (nashr qilingan ishlar) ham mavjud.

Keltirilgan formulalardan amaliyotda foydalanilayotganda qayta hosil qilinayotgan sirtning har bir nuqtasidagi normalni aniqlash talab qilinadi. Faqat bir necha nuqtada yoritilganlik qiymatni hisoblab va so‘ng qolgan nuqtalarning yoritilganligini interpolyatsiyalash yordamida aniqlashni nazarda tutuvchi turli yayaqinlashish usullari haqidagi ma’lumotlar adabiyotlarda keltirilgan.

7-misol. Sferaning shtrixlangan tasvirini qurish uchun 2 va 3 misollarda aniqlangan sfera normalining ifodasidan foydalanilgan. Ushbu misolda quyidagilar nazarda tutilgan.

1) Qaralayotgan sfera yuqoridan yoritilayapti, ya’ni

2) Kuzatuvchi sferaga x o‘qi yo‘nalishida qarayapti.

3) Tasvir y-z tekisligida qayta hosil qilinayapti.

Bunday holda va bu ikki vektorning meyorlashgan yig‘indisi vektorga teng. Bu yerda n=(x,y,z) ko‘rinishda berilgan. Im va Id qiymatlarini topamiz:

Sferani aniqlovchi tenglamadan x koordinataning qiymatini topamiz:

Natijani (39) formulaga qo‘ysak, u quyidagi ko‘rinishni oladi:

Bu ifodani y2+z2≤1 shartini qanoatlantiruvchi y va z koordinatalarning turli qiymatlari uchun hisoblash qiyin emas. Sferaning ikki tasviri keltirilgan bo‘lib, ularning har ikkalasida ham k=1 qiymatdan foydalanilgan.

Adabiyot sharhi

Sirtlarni tasniflash va qayta hosil qilish muammolari adabiyotlarda, asosan 1980 yildan boshlab keng yoritila boshladi. Bu muammoga bo‘lgan qiziqishning o‘sishi qimmat bo‘lmagan rastrli garfik qurilmalarni paydo bo‘lishi bilan bir paytga to‘g‘ri keladi. Oldingi ishlar asosan sirtlarni matematik tasniflashga bag‘ishlangan edi. Konus sirtlariga bag‘ishlangan obzorlardan biri [1] maqolada keltirilgan. Bez’e sirtlari va V-splayn sirlariga bag‘ishlangan ilmiy tadqiqotlarning natijalari [2] maqolada aks ettirilgan. Kompyuter grafikasining amaliy masalalarini yechishda sirtlardan foydalanishning turli aspektlari va sirtlarni qayta hosil qilish [3-9] kitoblarida muhokama qilingan. Yuqorida keltirilgan adabiyotlarning ko‘pi bu yo‘nalishlarda hech qanday tajribasi bo‘lmaganlar (ya’ni boshlang‘ich tanishish) uchun mo‘ljallangan.