I. Kirish qismi II. Asosiy qismi

Egri chiziqlar haqida

Egri chiziqlar matematiklarni qadim davrlardanoq qiziqtirib keladi. To‘laligicha egri chiziqli obyektlarga bag‘ishlangan va ularni o‘rganish tarixi haqida hikoya qiladigan kattagina tarixiy kitob yozish ham mumkin. Biroq egri chiziqning o‘zi nima? Unga qanday ta'rif berish mumkin?.Mashhur nemis matematigi Feliks Klyayn kunlardan bir kun achchiqlanish bilan xitob qilib: "Egri chiziqqa ta'rif berishdan ham mujmal narsa yo‘q!" - degan edi. Klyayn achchiqlanganicha bor. Bir qarashda juda sodda ko‘rinadigan shunchaki egri chiziq tushunchasi eng kuchli matematiklar uchun ham biroz murakkab tushunchalar qatoriga kiradi. Shunga qaramay, egri chiziqlarning matematikadagi, ayniqsa texnikadagi muhim ahamiyatini inobatga olsak, ularni o‘rganish bejizga ilm-fan oldidagi dolzarb masalalar sirasiga kirmasligini anglab yetamiz. Quyida ushbu murakkab geometrik obyektga imkon qadar sodda ta'riflar keltirishga harakat qilamiz.Egri chiziqli obyektlar - tabiatning uzviy bir qismidir. Ulardan ba'zilari mukammal obyektlar sirasiga kiradi. Mukammal obyekt deganda bu o‘rinda, matematik jihatdan ifodalash mumkin bo‘lgan obyektlar nazarda tutiladi. Masalan, jismning erkin tushish trayektoriyasini ifodalovchi egri chiziq, yoki, sayyoralarning orbita bo‘ylab harakat trayektoriyasini ifodalovchi egri chiziqli obyektlar shular jumlasidandir. Yana shunday egri chiziqli obyektlar borki, ular matematik ijod natijasidan hosil bo‘ladi. Bunday obyektlarni muayyan formulalar, yoki, muayyan qat'iy shartlar bo‘yicha aniqlanadigan nuqtalarning geometrik o‘rniga asoslanib aniqlanadi. Egri chiziqli obyektlar ichida juda soddalari ham, juda murakkablari ham mavjud. Sodda egri chiziqlarga masalan aylanani misol keltirish mumkin. Uni oddiy qalam va ip yordamida juda oson chizsa bo‘ladi. Yan shunda egri chiziqli obyektlar mavjudki, ularni hatto taxminan ham ifodalash mushkuldir. . Eng sodda egri chiziqlar. Biz barchamiz, egri chiziq nima ekanligini u yoki bu darajada tushunamiz va hech bo‘lmaganda intuitiv ravishda fahmlaymiz. Egri chiziqlarning umumiy ta'rifi doirasiga, xususiy hol sifatida shuningdek to‘g‘ri chiziq ham mansub bo‘ladi. Lekin biz egri chiziqning odatiy ta'rifi bilan cheklanamiz.Agar qo‘lga qalam olib qog‘oz bo‘ylab yo‘nalishni o‘zgartirmasdan chiziq chizsak, aniqki to‘g‘ri chiziqni ifodalagan bo‘lamiz: Agar yo‘nalishni bir yoki bir necha marta o‘zgartirsak, siniq chiziqlarga ega bo‘lamiz:

Bunda ko‘rinib turibdiki, to‘g‘ri chiziq chizish jarayonida yo‘nalish faqat bir marta va keskin o‘zgarmoqda, ya'ni, chiziq sinmoqda. Lekin, agar bunda yo‘nalishni keskin o‘zgarishlarisiz, sekin-astalik bilan, lekin muntazam o‘zgartirib borsak, bunday yasash natijasi qandaydir egri chiziq, yoki, egri chiziqli geometrik obyekt bo‘ladi:

Yopiq oddiy egri chiziqli geometrik shakl egri chiziqning eng sodda ta'rifi quyidagicha: egri chiziq bu - o‘z harakat yo‘nalishi uzluksiz o‘zgartirib turadigan nuqtaning harakat trayektoriyasidir. Agar egri chiziqning oxiri uning boshlang‘ich nuqtasi bilan ustma-ust tushsa, ya'ni, oxirida egri chiziqning har ikkala uchlari o‘zaro tutashsa, bunday egri chiziq yopiq egri chiziq deyiladi va u muayyan bir geometrik shaklni hosil qiladi.

Aks holatda esa u ochiq egri chiziq bo‘ladi, boshqa aytganda, u shunchaki egri chiziq bo‘lib qolaveradi.

Agar ochiq egri chiziq bir yoki, bir necha marta o‘z-o‘zini kesib o‘tsa bunday egri chiziq murakkab ochiq egri chiziq deyiladi

Fanda egri chiziqlarga shuningdek dinamika nuqtai nazaridan ham ta'rif beriladi. Bunda qalam o‘zining harakat yo‘nalishiga perpendikulyar ta'sir qilayotgan kuch tufayli harakatlanmoqda deb tasavvur qilinadi. Aynan ushbu kuchning yo‘nalishiga va kattaligiga bog‘liq holda, egri chiziq u yoki bu tarafga og‘ib, yo‘nalishini o‘zgartirib boradi. Yuqorida aytilganlarning barchasi tekislikdagi egri chiziqlarga oid ma'lumotlardir. Bulardan tashqari shuningdek fazoviy egri chiziqlar ham mavjudki, ularni tekislikda ifodalashning iloji yo‘q. Ularni tasavvur qilish uchun fizikaga oid analogiyani davom ettirib, yuqorida esga olib o‘tilgan fizik kattalik - kuchning yoniga yana bir vektorni qo‘shib tasavvur qilish kerak bo‘ladi. Ushbu vektor tasvirning tekisligida yotmaydi va uning vazifasi biz chizayotgan egri chiziqni burashdan iborat bo‘ladi. Shu tarzda, fazoviy egri chiziqlarni ifodalashda, trayektoriya va egrilikdan tashqari, yangi parametr - buralish (eshilish ham deyish mumkin) ham kiritiladi. Ushbu parametrlarning aniq ta'riflari bilan differensial geometriyada batafsil tanishiladi. Anchayin murakkab bo‘lgani uchun ushbu boradagan..gtafsilotlarga to‘xtalib o‘tirmaymiz. Yuqorida biz misol tariqasida keltirgan egri chiziqlar mutlaqo ixtiyoriy, tasodifiy olingandir. Biroq, egri chiziqlar orasida shundaylari borki, ularni biz bir qarashdayoq aniq tanib olamiz va nomini intuitiv tarzda yaxshi bilamiz. Masalan, bunday egri chiziqlarga aylana va ellips kiradi. Bunday turdagi egri chiziqlar, aniqrog‘i geometrik shakllar, ajoyib bir istisnoli xossalarga ega bo‘ladi. Ularni ta'rifi bo‘yicha aniq muvofiqlikda yasash uchun bizga muayyan asboblar zarur bo‘ladi. Oddiy sirkul va chizg‘ich vositasida, kutilmagan tarzda ko‘p sondagi turli xil egri chiziqlarni chizish mumkin. Agar biz faqat chizg‘ichning o‘zidan foydalanib ishlasak, ko‘p sonli urinmalar orqali ifodalab chizilgan egri chiziqli geometrik shakl hosil qilishimiz mumkin. Bunda ko‘p sonli to‘g‘ri chiziqlar xuddi muayyan bir shaklga urinma tarzida har tarafdan teginib o‘tadi va natijada shakl paydo bo‘ladi. Bunday urinmalar qancha ko‘p bo‘lsa, egri chiziqli shakl ham shunchalik aniq bo‘ladi.

Tasvirda ortidan nur tushirib suratga olingan o’simlik bargi. Urinma tarzida o’tgan ko’p sonli to’g’ri chiziqlar markazda ellips tasvirini paydo qilmoqda.Egri chiziqlarning ilk bora tasniflanishi. Qadimgi yunon olimlari uchun matematika ko‘p jihatdan asosan geometriyadan iborat bo‘lgan. Geometriyada esa, ayrim istisnosiz hollarni inobatga olmasa, faqat to‘g‘ri chiziqlar va aylanalar ko‘rib chiqilgan xolos. Bu esa albatta egri chiziqlarning qanday talqin qilinishiga va tasniflanishiga o‘z ta'sirini ko‘rsatmay qolmagan.Yunonlar talqinida muayyan egri chiziqning ta'riflanishi eng avvali uning geometrik jihatdan yasash imkoni bor-yo‘qligidan kelib chiqqan. Boshqa tarafdan esa, aniq ta'riflangan egri chiziqlar muayyan masalalarni hal qilish uchun, ayniqsa, tenglamalarni yechish uchun tadbiq etilgan. Bundan tashqari, qadimgi yunon matematikasida hammaga oson tanish bo‘lgan egri chiziqli shakllar, ayniqsa aylana va ellips - lokus shakllar sanalgan. Lokus bu - berilgan xossaga ega bo‘lgan nuqtalar majmui bo‘lib, ya'ni, yunonlar aylana va ellipsni nuqtalarning geometrik o‘rni orqali ifodalashgan va ta'riflashgan. Masalan, aylana tekislikdagi markaziy nuqtadan teng masofada joylashgan nuqtalar to‘plami sifatida tasavvur qilingan. Yunon matematikasida egri chiziqlarning bunday tarzda ta'riflanishi va tasniflanishi (klassifikatsiyalanishi) ilk bora Pappa Iskandariyalik (eramizning 290-350 yillari) ismli olimning asarlarida uchraydi.

Pappa Iskandariyalikning talqinida egri chiziqlar uchta katta guruhlarga bo‘lib tasniflanadi. Birinchi guruhga to‘g‘ri chiziq va aylana orqali yasash mumkin bo‘lgan egrichiziqli shaklar mansub bo‘ladi. Boshqacha aytganda, birinchi guruhga chizg‘ich va sirkul yordamida yasash mumkin bo‘lgan eng sodda egri chiziqlar kiritiladi. Ikkinchi guruhga esa jismoniy joylar deb nomlangan egri chiziqlar kiritiladi. Bunday atalishining sababi bor albatta. Chunki, bu turdagi egri chiziqlar muayyan jismlarning, masalan, konusning tekislik bilan kesishishidan hosil bo‘ladi. Bunday egri chiziqlarga parabola, giperbola singarilar kiradi. Uchinchi turkum egri chiziqlarga esa, chiziqli egriliklar deb nomlangan va qadimgi yunon matematikasi nuqtai nazaridan ta'riflash juda qiyin bo‘lgan egri chiziqlar kirgan. Ushbu atama zamonaviy talqin bilan ham oz-moz mos tushadi. Bunday turkum egri chiziqlarga yunonlar konxoida, sissoida, yoki, spirallarni mansub deb hisoblashgan. Haqiqatan ham, bunday egri chiziqlarni hatto bugungi kunda ham, geometriya atamalari orqali ta'riflashdan ko‘ra, mexanika tushunchalari vositasida ta'riflash osonroq va ma'qulroq ko‘rinadi. Pappa Iskandariyalikning yuqorida qayd qilingan asari 1660-yilda Bolonyada lotin tilida chop etilgan bo‘lib, uyg‘onish davri Yevropa geometriyasiga katta ta'sir ko‘rsatgan.Mexanik egri chiziqlar.Mexanik egri chiziqlar ichida eng muhimlari, aylanada joylashgan nuqtaning harakati orqali yasaladiganlaridir. Siz qorong‘uda harakatlanayotgan velosipedning g‘ildiraklariga o‘rnatilgan nur qaytargichlarni kuzatgan bo‘lsangiz, ularning aylana chizib harakatlanayotganiga ahamiyat bergan bo‘lsangiz kerak. Bunday egri chiziq sikloida deyiladi. Agar velosiped ideal tekis-ravon yo‘lda harakatlansa, nur qaytargich ham aniq aylana chizgan holda harakatlanadi. Agar yo‘l o‘nqir-cho‘nqir, baland-past bo‘lsa, unda nur qaytargich harakati ifodalayotgan egri chiziqlarning turlari ham cheksiz ko‘p xilda bo‘lishi mumkin.

Egri chiziqni ta'riflash

Matematika tarixida egri chiziqlar va ba'zi hollarda egri chiziqlarni o‘ta aniqlikda ifodalagan tenglamalar funksiya tushunchasining paydo bo‘lishiga olib kelgan.

Funksiya
tushunchasining o‘zi aniq ta'riflanganidan keyin esa, uning vositasida yangi turdagi egri chiziqlar yasala boshladi. Ya'ni, istalgan y=f(x) funksiyani koordinatalar sistemasida chizib ko‘rsatish mumkin. Uning grafigi esa, (x, f(x)) sonlar juftliklari orqali belgilanadigan nuqtalar majmuidan iborat bo‘ladi. Avvaliga hammasi matematiklar o‘ylaganidek edi. Biroq, vaqt o‘tishi bilan matematiklar qarshisida o‘zlari "anomal" deb nomlagan g‘alati egri chiziqlar paydo bo‘ldi va o‘shanda muammo kelib chiqdi.Karl Veyershtrass shunday funksiyani aniqladiki, uning grafigi har bir nuqtasida uzluksiz bo‘lib, bu egri chiziq qoidasiga to‘la mos kelardi. Lekin, ushbu nuqtalarning hech qaysi birida funksiyani differensiallab bo‘lmasdi. Soddaroq qilib tushuntirilganda, ushbu egri chiziqni qalamni uzmasdan chizsa bo‘lardi (chunki u uzluksiz edi); lekin, uning birorta nuqtasidan ham egri chiziqqa urinma o‘tkazishning iloji yo‘q edi. Shunday matematik obyektni egri chiziq deyish o‘rinlimi?

Peano egrilari

1878-yilda matematik olim Jordan egri chiziqni ikkita: x=f(t) va y=g(t) orqali uzluksiz funksiyalar orqali ifodalanadigan nuqtalar to‘plami tarzida ta'riflab berdi. Bunda t - muayyan intervalda qiymat qabul qiladigan parametr bo‘ladi. Egri chiziqni sodda egri chiziq deb atash uchun u hech qayerda o‘z-o‘zini kesib o‘tmasligi kerakligini ham aynan Jordan ta'kidlagan edi. Ushbu ta'rif judayam umumiy xarakter kasb etib, aniqlikdan biroz yiroq bo‘lganiga qaramay, u uzoq yillar mobaynida to‘g‘ri ta'rif deb qaraldi va keng qabul qilindi. Shunga qaramay, Jordanning ta'rifidan atiga 3 yil o‘tib, Peano ismli matematik, Jordan ta'rifini to‘liq qanoatlantiradigan, ya'ni, t parametr [0,1] intervalda qiymatlar qabul qiladigan egri chiziqli shaklni yasashga muvaffaq bo‘lgan. Peano egri chizig‘i shunday trayektoriya chizadiki, unda tekislikni to‘liq qoplagan kvadrat shakli namoyon bo‘ladi. Lekin, Jordan ta'rifidagi shartga ko‘ra, ushbu egri chiziq hech qaysi joyda o‘z-o‘zini kesib o‘tmaydi. Peano egri chizig‘i ham aynan shunday shakl hosil qiladi.Oradan atiga bir yil o‘tib, yana bir buyuk matematik David Gilbert ham, Peano misoliga o‘xshash tarzdagi yana bir egri chiziqni yasaganini.  U kvadrat yuzasida uzluksiz kesmani ifodalaydigan egri chiziqni yasagan edi. Ushbu egri chiziqni ifodalash uchun, kvadratni to‘rtta teng bo‘lakka bo‘lish zarur. So‘ngra, hosil bo‘lgan kvadratlarning markazlarini uchta kesma yordamida tutashtirish kerak. Keyin esa, to‘rtala kvadratlarni o‘zini ham yana xuddi shu tarzda yanada kichikroq kvadratlarga ajratish va yuqoridagi harakatni yana takrorlash kerak. Shu tarzda bo‘laklarga bo‘lishni va kesmalar o‘tkazishni cheksiz davom ettirish mumkin. Bunday jarayon natijasida esa, kvadratni to‘liq qoplaydigan va qalamni uzmasdan chizsa bo‘ladigan egri chiziq hosil bo‘ladi. Shunisi qiziqki, bunday Gilbert egri chizig‘i, garchi o‘z qandaydir aniq yuzaga ega chek-chegarasi bor kvadratga joylashsa hamki, lekin egri chiziqning o‘zininguzunligining chegarasi bo‘lmaydi! Xuddi shu egri chiziqning yasab ko‘rsatilishidan keyin, Gilbertning hamkasbi Feliks Klyayn maqola muqaddimasida keltirilgan iqtibosdagi xitobini aytgan edi. Ya'ni u egri chiziq tushunchasini tushunishdan ham ko‘ra qiyinroq tushuncha yo‘q degan ma'noda gap qilgan edi.Egri chiziqlarga hozirgi zamon uchun qabul qilingan nisbatan aniq ta'rifni esa, matematiklar ham, astronom yoki, mexaniklar ham emas, balki, topologiya sohasi mutaxassislari berishgan. Va buning hayron qoladigan joyi yo‘q. Chunki, egri chiziq - fazo bo‘ylab joylashgan nuqtalar to‘plami xolos; "nuqta" va "fazo" tushunchalari esa - topologiyada hech qanday qiyinchiliksiz ta'riflangan soddagina ta'riflangan boshlang‘ich mavhum tushunchalar hisoblanadi.

Koordinata tekisligida radiusi a ga teng bo‘lgan va markazi (O,a) nuqtada bo‘lgan aylana yasaladi. Keyin esa, y=2a tenglama orqali ifodalanadigan to‘g‘ri chiziq o‘tkaziladi. Keyin esa, O nuqta orqali o‘tuvchi va aylanani kesib o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqlar qaraladi. Izlanayotgan egri chiziqning koordinatalari quyidagicha aniqlanadi: ordinata y - OA kesmaning aylana bilan kesishgan nuqtalari bo‘ladi; x absissa esa, A nuqtaning abssissasi bo‘ladi. Shunga binoan, mazkur egri chiziqning tenglamasi

ko‘rinishida bo‘ladi.

Masalan, a=1 da, ushbu egri chiziq

ko‘rinishida bo‘ladi. Odatda ba'zilar uni Gauss qo‘ng‘irog‘i bilan adashtirib yuborishadi. Shaklan o‘xshash bo‘lgan ushbu ikki egri chiziq yasalish mohiyatiga ko‘ra boshqa-boshqadir.Ushbu egri chiziqni birinchi bo‘lib mashhur matematik Pyer Ferma 1630-yilda tekshirgan. Keyinroq, 1703-yilda matematik Luiji Gvido Grandi uni yasash usulini kashf qilgan. Vanihoyat, 1748-yilda Italiyalik matematik ayol Mariya Gaetana Anyezining (1718-1799) "Italyan yoshlari uchun matematik analiz asoslari"nomli kitobida, ushbu egri chiziq mufassal ko‘rib chiqiladi. Shu sababli ham, uni ko‘pincha Anyezi verzyerasi ham deyiladi. o‘rni kelganda shuni ham aytib o‘tish joizki, Mariya Anyezining "Italyan yoshlari uchun matematik analiz asoslari" kitobi, ayol matematik tomonidan yozilgan kitoblar ichida bizgacha yetib kelgan eng dastlabkisidir. Ushbu kitob o‘z davrida juda mashhur bo‘lgan va haqiqatan ham Italyan yoshlari qo‘lida qo‘lma-qo‘l bo‘lib o‘qilgan. Ushbu kitob tufayli Mariya Anyezi Rim Papasi Benedikt XIV tomonidan Bolonya universitetining faxriy muallimasi unvoni bilan taqdirlangan.Mazkur egri chiziqning "verzyera" deyilishiga sabab, uni italyan matematiklari shunday atashgani bilan bog‘liqdir. Italyan tilida "versoria" kemani qayrish manyovrini bildirgan va aynan ma'nosi "qayrilayotgan narsa" deganidir. Biroq, italyan tilida talaffuzi jihatdan "versoria"ga o‘xshash bo‘lgan, biroq, mutlaqo boshqa mazmunni anglatadigan yana bir so‘z bor. U "versiera"so‘zi bo‘lib, ushbu so‘z "avversiara" so‘zining qisqartmasi sanaladi. "Avversiara" esa italyanchada jinsi ayol bo‘lgan alvasti, ajina, yalmog‘iz ma'nolarini bildirgan. Mariya Anyezining nomi yuqorida zikr qilingan kitobi Italiyada juda mashhur bo‘lgach, uni Jon Kolson ismli mutaxassis ingliz tiliga o‘girib, Angliyada ham chop etishga qaror qiladi. Biroq, Kolson italyan tilining nozik jihatlaridan unchalik ham yaxshi xabardor bo‘lmagani bois, verzyera atamasini inglizcha talqinda shunchaki "alvasti" deb qo‘ya qoladi va shu tarzda nashrga berib yuboradi. Shu tufayli, ushbu egri chiziq, o‘shandan buyon inglizcha adabiyotlarda "Anyezi alvastisi" (witch of Agnesi) nomi bilan saqlanib, ommalashib qolgan.

Bu qiziq:

o‘zaro tortishish kuchi ta'sirida bir jismning boshqa jism atrofida aylanish orbitasining trayektoriyasi konus kesimlari deb nomlanuvchi tekislik egri chiziqlaridan birining shaklida bo‘ladi. Bunday egri chiziq masalan, ellips, yoki aylana ko‘rinishidagi yopiq egri chiziq bo‘lishi mumkin. Yoki, u parabola va giperbola singari ochiq egri chiziqlar ham bo‘lishi mumkin.

Jism harakat trayektoriyasi aynan qaysi egri chiziq shaklida bo‘lishi boshlang‘ich shartlarga bog‘liq. Orbital stansiyalarda ishlash davomida fazogirlarga ba'zan stansiyaning tashqarisiga - ochiq koinotga chiqib ishlashga ham to‘g‘ri keladi. Agar, Xudo ko‘rsatmasin, fazogirni orbital stansiya borti bilan bog‘lab turgan po‘lat arqon mabodo uzilib ketsa (bunaqasi bir marta sodir bo‘lgan), yopiq va ochiq egri chiziq orasidagi farq o‘sha fazogir uchun hal qiluvchi ahamiyat kasb etadi. Agar uning harakat trayektoriyasi yopiq egri chiziq bo‘lsa, fazogir tanasi orbital stansiya atrofida aylanib ucha boshlaydi va uni qutqarib olishning iloji bor. Agar, harakat trayektoriyasi ochiq egri chiziq bo‘lsa, fazogirni qutqarish juda mushkul, deyarli ilojsiz bo‘lib qoladi. Uning tanasi parabola shaklidagi cheksiz trayektoriya bo‘ylab uchib ketadi va boshlang‘ich nuqtaga hech qachon qaytib kelmaydi..