I j 1-t a’rif. Uzunliklari teng va bir XIL yo‘nalishli barcha kes

* •• ⁽⁶⁾
munosabat o‘rinli.
Isbot. va bo‘lsin yoki
larning biri nol bo‘lganda shu paragrafdagi b) xulosaga ko‘ra (6)
munosabatning o‘rinli ekani ravshan). Yo‘nalgan kesmani
olamiz. Bu erda quyidagi hollar bo‘lishi mumkin: 1) bu holda
Yo‘nalgan kesmalarni qaraymiz. U holda
bo‘lib, va kesmalar bir
xil yo‘nalishli, shu bilan birga

1 s
sh*g -
^W: (chunkn , bundaya (6) munosabatning o‘rinliligi
kelib chiqadi.
2) va bo‘lsin (ya’ni ning ishorasi a
ning ishorasiga teskari). Bu holda — a bilan ning ishora-
lari bir. xil bo‘lib, 1) holga ko‘ra

bu tenglikning ikkala tomoniga* vektorni qo‘shsak, (6) munosa-bat kelib chiqadi. Agar ya’ni
bo‘lsin desak, u holda bo‘lib, buning ishorasi
R ning ishorasi bilan bir xil va 1) holga ko‘ra

bundan

tenglikni yoza olamiz, u ning ikkala tomonini — 1 ga, ko‘paytirsak, (6) munosabatga ega bulamiz. A
3°. Har qandai vektorlar va ixtiyoriy uchun
, (!)
munosabat o‘rinlidir. -
Isbot. Bu erda ikki hol bo‘lishi mumkin:
1) Bu holda yuqoridagi teoremaga asosan shunday
son mavjudki,
2°-xossaga ko‘ra (7) tengl'ikning chap tomoni
(8)
ko‘rinishga, uning o‘ng tomoni esa
(9)
ko‘rinishga keladi. (8) va (9) ni taqqoslab, (7) ning o‘rinli ekaniga ishonch hosil qilamiz.
2) va vektorlar
kollinear emas) va bo‘l-
sin. Viror O nuqtaga
vektorni, uning oxiri A ga T=
vektorni qo‘yib,
vektorni hosil qilamiz (17-chizma).
17-chizma (¹⁰)
bo‘lsin. Vektorlarni qo‘shishning uchburchak qoidasiga ko‘ra
(I)
OAV va OQP uchburchaklarda O uchdagi burchak umumiy va bo‘lgani uchun bundan

U holda
(12)
(10), P1), (12)
bo‘lgan hol ham shu kabi isbot qilinadi. A SHunday qilib, barcha ozod vektbrlar to‘plami V da aniqlangan vektorlarni qo‘shish va vektorni songa ko‘paytirish amallari quyi-dagi xossalarni qanoatlantirar ekan:
1. (qo‘shishning assotsiativligi).
2. (ko‘shishning kommutativligi).
3. uchun (nol vektor­ning mavjudligi).
4. uchun (karama- karshi vektorning mavjudligi).
5. (vektorni songa ko‘paytirishning sonlarga nisbatan assotsiativligi).
6. (vektorni songa ko‘paytirishning son-larni qo‘shishga nisbatan distributivligi).
7. (vektorlarni qo‘shishga nisbatan son­ga ko‘paytirishning distributivligi).
8. 1 •
Bu sakkiz xossani qanoatlantiruvchi vektorlar to‘plami V vek­tor faza deb ataladi.
V vektor fazoning biror a to‘g‘ri chiziqqa parallel bo‘l-gen barcha vektorlari to‘pla-mini Vi bilan belgilaylik. Ravshanki, V_x ning ixtiyoriy ikki vektori o‘zaro kolli-neardir (18-chizma).
V vektor fazoning biror P tekislikka parallel bo‘l-gan barcha vektorlari to‘pla- mini V₂ bilan belgilaymiz 18-chizma

va ;ularni komplanar vektorlar deb ataymiz ,(19-chizma;, 20-chiz-madagi vektorlar komplanar emas.
bo‘lsin, u holda bo‘la-
di. SHu bilan birga 1 — 8-xossalar bajariladi (chunki bu xossa-lar V ning har qanday vektori uchun bajariladi). Demak, Vi vek­tor fazodir. Xuddi shu kabi V_a ham vektor fazodir.