I j 1-т аъриф. Узунликлари тенг ва бир хил йўналишли барча кес

^ 4-§. Векторлар устида чизиқли амаллар
Векторлар устида бажариладиган қуйидаги амаллар чизиқли амаллар деб аталади.
1. Векторларни қўшиш.
2. Векторларни айириш.
3. Векторларни сонга кўпайтириш. ,
-Векторларни қўшиш. Таъриф. Иккита векторнинг йиғиндиси деб исталган А нуқтадан векторни қўйиб, унинг охи­ри В га векторни қўйганда боши векторнинг боши А да, охири векторнинг охири С да бўлган векторга айтилади
(10-чизма). векторларнинг
йиғиндиси билан белгила¹-
нади.
Векторларни қўшиш таърифи-дан исталган А, В ва С уч нуқ-та учун

тенглик ўринли бўлиши келиб Ю- чизма чиқади. тенглик векторларни
қўшишнинг учбурчак қоидаси дейилади. Икки коллинеар век­торни қўшиш ҳам шу қоида бў-йича бажарилади.
Векторларни қўшиш амали қуйидаги хоссаларга эга:
1°. Қўшишнинг гуруҳланиш (ассоциативлик) хоссаси. Ҳар қан-
дай векторлар учун
11-чизма муносабат ўринли.
И с б о т. Векторларни қўшишнинг учбўрчак қоидасидан (11- чизма):

бундан экани келиб ^чиқади.
Қўшилувчи векторларнинг сони иккитадан ортиқ бўлганда улар-ни қўшиш ушбу қоида асосида бажарилади: берилган
векторларнинг йиғиндисини ҳосил қилиш учун векторнинг охи-рига векторнинг бошини цуйиш, кейин векторнинг охирига в екторнинг бошини қўйиш ва бу ишни вектор устида бажарилгун-ча давом эттириш керак, У вақтда ййғинди век-
тор боши векторнинг бошидан, охири эса векторнинг охиридан иборат вектор бўлади.
Масалан, 12-чизмадаги вектор берилган ^ вектор-
ларни қўшишдан ҳосил бўлган.
2^Р. Қўшишнинг ўрин алмаштириш (коммутативлик) хоссаси. Ҳар
қандай иккита ва вектор учун тенглик ўринли-
дир.
Исбот. ва бўлсин* Икки ҳол бўлиши мумкин:
*1) векторлар коллинеар эмас. Бу ҳолда нуқта-
лар битта тўғри чизи^да ётмайди (13-чизма).

' 13-чизма ' 14-чизма
АБС учбурчакни ABCD параллелограммга тўлдирсак, векторлар-нй қўшишнинг учбурчак қоидасига кўра
бу икки тенгликдан эса 2) бўлсин. Бу ҳолда А, В, С нуқталар битта тўғри
чизиқда ётади (14-чизма).
нуқтани олайлик, у ҳблда 1) ҳолга кўра- Лекин
бўлгани учун

..... . (1)
Иккинчи томондан,
(2)
(1) ва (2) тенгликлардан тенгликка эга бўламиз. а
3°. Ҳар қандай векторга ноль векторни қўшилса, вектэр ҳосил бўлади, яъни
Бутаърнфдан бевосита цу-йидаги хулосалар келиб чиқа-Ди:
а) вектор учун

б) учун
в) вектор учун
5)
г) ва векторлар ўз* 16- чизма ^аР° «оллинеардир;
16-а чизмада вектор 3 сонига кўпайтирилган: 16-6 чизмада вектор сони-
га кўпайтирилган: .
Шуни таъкидлаймизки, бирор векторни ўзининг узунлиги-
га тескари • сонга кўпайтирилса, шу вектор йуналишидаги бир-
лик вектор (орт) ҳосил бўлади, яъни

Теорема. Агар булса, у ҳрлда шундай а сон
мавжудки,
(4)
булади.
И с б о т. бўлгани учун қуйидаги уч ҳол ^ўлиши мумкин:
.1) бўлса, бўлиб, бундан бу
ҳолда бўлади;
2) бўлса, бўлиб, бундан
бу ҳолда
3) бўлганда бундан А Демак, векторни сонга кўпайтириш таърифидан ва бу теорема-дан бундай хулоса чикарамиз; Шундай к_илиб (4) муносабат векторлар коллинеарлигининг зарурий ва етарли шартидир.
Векторни сонга купайтирищ цуйидаги хоссаларга эга:
Г. Гуруҳланиш хоссаси. Ихтиёрий а вектор ва ҳар кан-дай сонлар учун
I (5)
муносабат ўринлидир.
Исбот. ва... йўналган кесмаларни ола-

миз. ҳамда ва бир хил йўналишли кесмалар
эканини кўрсатамиз:

бундан кўринадики,
Энди эканини кўрсатиш керак. Бу ерда қуйидаги
ҳоллар бўлиши мумкин:
1) бўлсин. Векторни сонга кўпайтириш таърифи-га кўра ва бўлади. Иккинчи томондан,
бундан эса
Бу икки муносабатдан: демак, ва йўналган
кесмалар бир хил йўналишли;
2) бўлсин, бу ҳолда Шу билан бир га бундан эса
ёки бундан ва дан
3) ва ҳамда нинг бири нолга тенг бўлган ҳолларда ҳам ва бир хил йў-налишли бўлиб, (5) муносабатнинг бу ҳолларда ҳам ўринли экани­ни кўрсатишни ўқувчига ҳавола этамиз. А
j 2°. Ҳар қандай вектор ва ихтиёрий сонлар учун