I j 1-т аъриф. Узунликлари тенг ва бир хил йўналишли барча кес

* •• ⁽⁶⁾
муносабат ўринли.
Исбот. ва бўлсин ёки
ларнинг бири ноль бўлганда шу параграфдаги б) хулосага кўра (6)
муносабатнинг ўринли экани равшан). Йўналган кесмани
оламиз. Бу ерда қуйидаги ҳоллар бўлиши мумкин: 1) бу ҳолда
Йўналган кесмаларни қараймиз. У ҳолда
бўлиб, ва кесмалар бир
хил йўналишли, шу билан бирга

1 с
ш*г -
^W: (чункн , бундая (6) муносабатнинг ўринлилиги
келиб чиқади.
2) ва бўлсин (яъни нинг ишораси a
нинг ишорасига тескари). Бу ҳолда — а билан нинг ишора-
лари бир. хил бўлиб, 1) ҳолга кўра

бу тенгликнинг иккала томонига* векторни қўшсак, (6) муноса-бат келиб чиқади. Агар яъни
бўлсин десак, у ҳолда бўлиб, бунинг ишораси
Р нинг ишораси билан бир хил ва 1) ҳолга кўра

бундан

тенгликни ёза оламиз, у нинг иккала томонини — 1 га, кўпайтирсак, (6) муносабатга эга буламиз. А
3°. Ҳар қандаи векторлар ва ихтиёрий учун
, (!)
муносабат ўринлидир. -
Исбот. Бу ерда икки ҳол бўлиши мумкин:
1) Бу ҳолда юқоридаги теоремага асосан шундай
сон мавжудки,
2°-хоссага кўра (7) тенгл'икнинг чап томони
(8)
кўринишга, унинг ўнг томони эса
(9)
кўринишга келади. (8) ва (9) ни таққослаб, (7) нинг ўринли эканига ишонч ҳосил қиламиз.
2) ва векторлар
коллинеар эмас) ва бўл-
син. Вирор О нуқтага
векторни, унинг охири А га Т=
векторни қўйиб,
векторни ҳосил қиламиз (17-чизма).
17-чизма (¹⁰)
бўлсин. Векторларни қўшишнинг учбурчак қоидасига кўра
(И)
ОАВ ва OQP учбурчакларда О учдаги бурчак умумий ва бўлгани учун бундан

У ҳолда
(12)
(10), П1), (12)
бўлган ҳол ҳам шу каби исбот қилинади. А Шундай қилиб, барча озод вектбрлар тўплами V да аниқланган векторларни қўшиш ва векторни сонга кўпайтириш амаллари қуйи-даги хоссаларни қаноатлантирар экан:
1. (қўшишнинг ассоциативлиги).
2. (кўшишнинг коммутативлиги).
3. учун (ноль вектор­нинг мавжудлиги).
4. учун (карама- карши векторнинг мавжудлиги).
5. (векторни сонга кўпайтиришнинг сонларга нисбатан ассоциативлиги).
6. (векторни сонга кўпайтиришнинг сон-ларни қўшишга нисбатан дистрибутивлиги).
7. (векторларни қўшишга нисбатан сон­га кўпайтиришнинг дистрибутивлиги).
8. 1 •
Бу саккиз хоссани қаноатлантирувчи векторлар тўплами V век­тор фаза деб аталади.
V вектор фазонинг бирор а тўғри чизиққа параллел бўл-гэн барча векторлари тўпла-мини Vi билан белгилайлик. Равшанки, V_x нинг ихтиёрий икки вектори ўзаро колли-неардир (18-чизма).
V вектор фазонинг бирор П текисликка параллел бўл-ган барча векторлари тўпла- мини V₂ билан белгилаймиз 18-чизма

ва ;уларни компланар векторлар деб атаймиз ,(19-чизма;, 20-чиз-мадаги векторлар компланар эмас.
бўлсин, у ҳолда бўла-
ди. Шу билан бирга 1 — 8-хоссалар бажарилади (чунки бу хосса-лар V нинг ҳар қандай вектори учун бажарилади). Демак, Vi век­тор фазодир. Худди шу каби V_a ҳам вектор фазодир.