I bob. Uzluksiz funksiyalar. Funksiya va uning uzluksizligi 5

6-teorema (Bolsano-Koshining birinchi teoremasi). funksiya kesmada uzluksiz va kesmaning oxirlarida turli ishorali qiymatlar qabul qilnsin. U holda shunday nuqta topiladiki, bu nuqtada bo‘ladi.
Teoremaning geometrik talqini: uzluksiz funksiyaning grafigi o‘qning bir tomonidan ikkinchi tomoniga o‘tganida o‘qni kesadi (25-shakl).
7-teorema (Bolsano-Koshining ikkinchi teoremasi). funksiya kesmada uzluksiz va , bo‘lsin. U holda shunday nuqta topiladiki, bo‘ladi.
Teoremaning geometrik talqini: uzluksiz funksiya bir qiymatdan ikkinchi qiymatga o‘tganida barcha oraliq qiymatlarni qabul qiladi (26-shakl).
8-teorema (Veyershtrassning birinchi teoremasi). Agar funksiya kesmada uzluksiz bo‘lsa, u holda u bu kesmada chegaralangan bo‘ladi.
27-shaklda keltirilgan funksiya kesmada uzliuksiz. Bunda uchun .
1-Izoh. Teorema kesma interval bilan almashtirilganida o‘rinli bo‘lmasligi mumkin. Masalan, funksiya intervalda uzluksiz, lekin chegaralanmagan, chunki


9-teorema (Veyershtrassning ikkinchi teoremasi). Agar funksiya kesmada uzluksiz bo‘lsa, u holda u shu kesmada o‘zining eng kichik va eng katta qiymatlariga erishadi.
27-shaklda keltirilgan funksiya kesmada uzliuksiz. Bunda u nuqtada o‘zining eng katta qiymatini va nuqtada o‘zining eng kichik qiymatini qabul qiladi.
2-izoh. Bu teorema interval uchun o‘rinli bo‘lmasligi mumkin. Masalan, funksiya intervalda uzluksiz, lekin o‘zining eng kichik va eng katta qiymatlariga erishmaydi.
10-teorema (teskari funksiyaning uzluksizligi haqidagi teorema). Agar funksiya kesmada uzluksiz va qat‘iy monoton bo‘lib, uning qiymatlar sohasi bo‘lsa, u holda kesmada teskari funksiya
uzluksiz va qat‘iy monoton bo‘ladi.