I bob. Uzluksiz funksiyalar. Funksiya va uning uzluksizligi 5

2.3 Funksiyaning uzilish nuqtalari

Agar funksiya uchun nuqtada funksiya uzluksizligi 1-ta’rifining
hech bo‘lmaganda bitta sharti bajarilmasa, funksiya nuqtada uzilishga ega
deyiladi. Bunda nuqta funksiyaning uzulish nuqtasi deb ataladi.
32-shaklda frafiklari bilan berilgan funksiylarni qaraymiz. Bu funksiyalarning har biri uchun - uzilish nuqtasi.
Birinchi holda (28,a-shakl) ta’rifning 1-sharti bajarilmaydi, chunki funksiya nuqtada aniqlanmagan.
Ikkinchi holda (28,b-shakl) ta’rifning 2-sharti buzulgan, chunki limit mavjud emas.
Uchinchi holda (28,c-shakl) ta’rifning 3-sharti bajarilmaydi, chunki

Funksiyaning barcha uzulish nuqtalari birinchi va ikkinchi tur uzilish nuqtalariga bo‘linadi.

5-ta’rif. Agar nuqtada funksiya chekli limitlarga ega, ya’ni va bo‘lsa, nuqtaga funksiyaning birinchi tur uzilish nuqtasi deyiladi. Bunda:
a) bo‘lsa, bartaraf qilinadigan uzilish nuqtasi deb ataladi;
b) bo‘lsa, sakrash nuqtasi, kattalik funksiyaning sakrasahi deb ataladi.
Masalan: funksiya uchun sakrash nuqtasi, bunda funksiyaning sakrashi ga teng;
funksiya uchun bartaraf qilinadigan uzilish
nuqtasi, bunda o‘rniga deb olinsa uzilish bartaraf qilinadi, ya’ni uzluksiz funksiya hosil bo‘ladi.
6-ta’rif. Agar nuqtada funksiyaning bir tomonlama limitlaridan kamida bittasi mavjud bo‘lmasa yoki cheksizlikka teng bo‘lsa, nuqtaga funksiyaning ikkinchi tur uzilishi nuqtasi deyiladi.
Masalan, funksiya uchun ikkinchi tur uzilish nuqtasi.
Misollar
1. funksiya uzilish nuqtalarining turini aniqlaymiz. Funksiya sonlar o‘qining nuqtasidan boshqa nuqtalarida aniqlangan va uzluksiz.
Bunda

U holda

Demak, sakrash nuqtasi va funksiyaning sakrashi .
2. funksiyalarni uzluksizlikka tekshiramiz. Bu funksiya nuqtada aniqlanmagan, chunki o‘rniga qo‘yish bajarsak, aniqmaslik kelib chiqadi. Boshqa nuqtalarda kasrning surat va maxrajini ga bo‘lish mumkin, chunki bu nuqtalarda . Bunda funksiyaning nuqtadagi chap va o‘ng limitlari bir biriga teng bo‘ladi. Ularni topamiz:


Demak, nuqta funksiyaning bartaraf qilinadigan uzilish
nuqtasi. Agar da deb olinsa bu uzilish bartaraf qilinadi.
3. funksiyani uzluksizlikka tekshiramiz. nuqtada funksiya aniqlanmagan. Shu sababli uzilish nuqtasi bo‘ladi. funksiyaning bu nuqtadagi bir tomonlama limitlarini hisoblaymiz:

Demak, nuqta funksiyaning sakrash nuqtasi. Funksiyaning bu
nuqtadagi sakrashi ga teng.
4. funksiya nuqtada aniqlanmagan. nuqtalarda funksiya uzilishga ega bo‘lishi mumkin. Bu nuqtalarni alohida qaraymiz.
nuqtada:

Demak, nuqtada funksiya uzluksiz.

nuqtada:

Demak, nuqta funksiyaning ikkinchi tur uzilish nuqtasi