3-Misol.Ushbu nuqtadan o’tuvchi parabola tenglamasi topilsin.
◄Modomiki izlanayotgan parabola nuqtadan o’tishi lozim ekan, unda bu nuqtaning koordinatalari parabola tenglamasini qanoatlantiradi:
Bu tenglamadan ekani kelib chiqadi. Demak,
.►
1.4-§ Giperbola va uning tenglamasi
Tekislikda ikkita tayin nuqtalarni olaylik. Tekislikning bu nuqtalargacha bo’lgan masofalari ayirmasi o’zgarmas songa teng bo’ladigan nuqtalar to’plami (nuqtalarning geometrik o’rni) giperbola deyiladi.
Endi giperbolaning tenglamasini keltirib chiqaramiz. Ta’rifda keltirilgan nuqtalarni va orqali belgilaymiz.
va nuqtalardan o’tuvchi to’g’ri chiziqni abssissa o’qi, kesmaning o’rtasidan o’tuvchi hamda abssissa o’qiga perpendikulyar bo’lgan to’g’ri chiziqni ordinata o’qi deb koordinatalar sistemasini quramiz. (3-chizma)
3-chizma
|
Agar va nuqtalar orasidagi masofani ( ) deyilsa, unda bu nuqtalarning koordinatalari mos ravishda va bo’ladi:
.
Bu va nuqtalar giperbolaning fokuslari deyiladi.
|
Giperbolada ixtiyoriy nuqtani olaylik. Unda giperbola ta’rifiga binoan va masofalar ayirmasi o’zgarmas songa (uni deyilsa) teng bo’lib, , , umuman
bo’ladi. Ravshanki,
Demak,
.
Endi
tenglikni (xuddi ellipsning tenglamasini keltirib chiqarishdagi qilingan ishlar kabi) ikki tomonini kvadratga ko’tarib, so’ng lozim bo’lgan soddalashtirishlarni bajarib, hosil bo’lgan tenglikni ya’na bir bor kvadratga ko’tarib, natijada
(6)
tenglamaga kelamiz, bunda , .
Shunday qilib, giperboladagi o’zgaruvchi nuqtaning koordinatalari va larni bog’lovchi tenglama hosil bo’ldi. Bu tenglama giperbolaning sodda tenglamasi deyiladi.
Giperbola ham koordinata o’qlariga nisbatan simmetrik joylashgan, u 3–chizmada tasvirlangan. Giperbola ikki qismdan iborat bo’lib, bu qismlar uning shoxchalari deyiladi.
Agar tenglamada deyilsa, unda
bo’ladi. Demak, giperbola o’qini va nuqtalarda kesadi. Bu nuqtalar giperbolaning uchlari deyiladi. Giperbola o’qi bilan kesishmaydi.
Ushbu
miqdor giperbolaning ekssentrisiteti deyiladi.
Agar bo’lishini e’tiborga olsak, unda
bo’lib,
bo’ladi.
Giperbolaning ekssentrisiteti ham uning shaklini xarakterlaydigan miqdordir.
Giperbola tenglamasi
ni ga nisbatan echib
,
uni quyidagicha yozamiz:
.
Bu tenglikdan ko’rinadiki, etarlicha katta bo’lganda, nisbat 0 ga yaqin bo’lib,
miqdor 1 ga yaqin bo’ladi.
Natijada ushbu
munosabat hosil bo’ladi.
Demak, etarlicha katta bo’lganda giperbola nuqtalarining ordinatalari ushbu
to’g’ri chiziqlar nuqtalarining ordinatalariga etarlicha yaqin bo’ladi. Bu
to’g’ri chiziqlar giperbolaning asimptotalari deyiladi
Do'stlaringiz bilan baham: |