I bob umumiy tenglamasi bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziqlar

Kurs ishini maqsadi: Talaba yoshlarga “Ikkinchi tartibli chiziqlar” haqida ma’lumot yetkazish va olgan bilimlarini mustahkamlash.

Kurs ishini predmedi: Analitik geometriya fanini o’qitish metodlari va vositalari.

Kurs ishini obyekti: Oliy va o’rta ta’lim muassasalarida Analitik geometriya fanini o’qitish jarayoni.

Kurs ishini vazifalari:

1. 
   Mavzuga doir ma’lumotlarni yig’ish va rejani shakllantirish;
   
2. 
   Ikkinchi tartibli egri chiziqlar mavzusini to’liq yoritish;
   
3. 
   Ikkinchi tartibli chiziqlarni turli tenglamalarini o’rganish;
   
4. 
   Ikkinchi tartibli chiziqlarni soddalashtirib kanonik ko’rinishga keltirish va grafiklarini yasash;
   

I BOB 1.1-§ Aylana va uning tenglamasi.

Ma’lumki, tekislikda berilgan (tayin) nuqtadan baravar uzoqlikda joylashgan nuqtalar (tekislik nuqtalari) to’plami aylana, berilgan nuqta esa aylana markazi deyiladi.

Endi aylananing tenglamasini keltirib chiqarish maqsadida tekislikda Dekart koordinatalar sistemasini va nuqtani olamiz. Ravshanki, bu nuqtadan masofada joylashgan nuqtalar (bunday nuqtalar to’plami aylana bo’ladi) o’zgaruvchi nuqtalar bo’ladi. Bunday nuqtalardan birini deylik. va nuqtalar orasidagi masofa

bo’ladi.

Keyingi tenglikdan

(1)

bo’lishi kelib chiqadi.

1-chizma

Shunday qilib, aylanada joylashgan o’zgaruvchi nuqtaning koordinata­lari va larni bog’lovchi tenglamaga keldik. Bu (1) tenglama aylananing sodda tenglamasi deyiladi, esa aylana radiusi deyiladi. Demak, aylananing tenglamasi markaz deb atalgan nuqtaga hamda radiusga bog’liq bo’lib, ular yordamida

aylananing tekislikdagi holati to’liq aniqlanadi.

Xususan, markazi koordinatalar boshida bo’lgan aylana tenglamasi quyidagicha

bo’ladi.

Masalan, markazi (-1,2), radiusi 5 ga teng bo’lgan aylananing tenglamasi

bo’ladi.

Aylana bilan umumiy bitta nuqtaga ega bo’lgan to’g’ri chiziq aylanaga o’tkazilgan urinma deyiladi.

Ushbu

aylananing nuqtasiga o’tkazilgan urinmaning tenglamasi quyidagi

(2)

ko’rinishga ega.

Masalan, ushbu aylananing (2,-2) nuqtasidan o’tuvchi urinmaning tenglamasi

, ya’ni

bo’ladi.

1.2-§ Ellips va uning tenglamasi

Tekislikda ikkita tayin nuqtalarni olaylik. Tekislikning bu nuqtalargacha bo’lgan masofalari yig’indisi o’zgarmas songa teng bo’ladigan nuqtalari to’plami (nuqtalarning geometrik o’rni) ellips deyiladi.

Endi ellipsning tenglamasini keltirib chiqaramiz. Ta’rifda keltirilgan tayin nuqtalardan birini , ikkinchisini orqali belgilaymiz.

Tekislikda Dekart koordinatalar sistemasini quyidagicha quramiz:

va nuqtalardan o’tuvchi to’g’ri chiziqni abssissa o’qi ( o’qi), kesmaning o’rtasidan o’tuvchi hamda abssissa o’qiga perpendikulyar bo’lgan to’g’ri chiziqni ordinata o’qi ( o’qi) deb olamiz. (2-chizma)

2-chizma

Aytaylik, va nuqtalar orasidagi masofa ga teng bo’lsin. U holda bu nuqtalarning koordinatalari mos ravishda va bo’ladi: .

Odatda, va nuqtalar ellipsning fokuslari deyiladi.

Ellipsda ixtiyoriy nuqtani olaylik. Unda ellips ta’rifiga binoan va masofalar yig’indisi o’zgarmas songa teng bo’ladi. Bu o’zgarmas sonni deylik .

Demak,

. (3)

Ikki nuqta orasidagi masofa formulasidan foydalanib topamiz:

Unda (3) ga ko’ra

bo’ladi.

Bu tenglikni quyidagicha

yozib, uning ikki tomonini kvadratga ko’tarsak, unda

bo’ladi. Bunda esa

ya’ni

bo’lishi kelib chiqadi. Keyingi tenglikning ikki tomonini kvadratga ko’tarish natijasida

ya’ni

hosil bo’ladi.

Ravshanki, ya’ni bo’lganligi uchun bo’ladi. Uni bilan belgilaymiz:

.

Natijada

bo’lib, undan

(4)

bo’lishi kelib chiqadi.

Shunday qilib ellipsdagi o’zgaruvchi nuqtaning koordinatalari va larni bog’lovchi tenglama hosil bo’ldi. Bu (4) tenglama ellipsning sodda tenglamasi deyiladi.

Ellips tenglamasida ni – ga, ni – ga almashtirilganda tenglama o’zgarmaydi. Demak, ellips (yopiq egri chiziq) koordinata o’qlariga nisbat simmetrik joylashgan.

Agar tenglamada deyilsa, unda

bo’ladi. Demak, ellips o’qini ikki nuqtalarda kesadi.

Agar tenglamada deyilsa, unda

bo’ladi. Demak, ellips o’qini ikki nuqtalarda kesadi.

Odatda, nuqtalar ellipsning uchlari deyiladi. kesma ellipsning katta o’qi, kesma ellipsning kichik o’qi deyiladi.

Ravshanki, kesmaning uzunligi , kesma-ning uzunligi esa ga teng. Demak, (4 ) tenglamada ellips katta yarim o’qi, esa kichik yarim o’qi bo’ladi.

Ushbu

tenglama bilan berilgan ellipsni qaraylik. Bu ellipsning fokuslari orasidagi masofa ga teng.

Ushbu

(5)

miqdor ellipsning ekssentrisiteti deyiladi. Ma’lumki, . Demak, ellipsning ekssentrisiteti uchun

bo’ladi. (agar bo’lsa, bo’lib, ellips aylana bo’lib qoladi).

Ellipsning ekssentrisiteti ellipsning siqilish darajasini bildiradi. Haqiqatdan ham, munosabatdan, bo’lishini e’tiborga olib topamiz:

Bu tenglikdan ko’rinadiki, ning ortib borishi bilan nisbat kamaya boradi, binobarin ellips tortila boradi.

1-Misol.Katta o’qi 10 ga, eksseptrisiteti 0,8 ga teng bo’lgan ellipsning tenglamasi topilsin.

◄Shartga ko’ra . Demak, . Ma’lumki ekssentrisitet

.

Unda bo’ladi. bo’lishidan

ekanligi kelib chiqadi. Izlanayotgan ellipsning tenglamasi

bo’ladi.

1.3-§ Parabola va unung umumiy tenglamasi.

Tekislikda tayin to’g’ri chiziq va bu to’g’ri chiziqda yotmagan tayin nuqtani olaylik. Tekislikning to’g’ri chiziq hamda nuqtadan baravar uzoqlikda bo’lgan nuqtalari to’plami (nuqtalarning geometrik o’rni) parabola deyiladi.

Endi parabolaning tenglamasini keltirib chiqaramiz.

nuqtadan o’tuvchi va to’g’ri chiziqqa perpendikulyar bo’lgan to’g’ri chiziqni abssissa o’qi ( o’qi), nuqta va to’g’ri chiziq orasidagi kesmaning o’rtasidan o’tuvchi va abssissa o’qiga perpendikulyar bo’lgan to’g’ri chiziqni ordinata o’qi ( o’qi) deb koordinatalar sistemasini quramiz (4-chizma).

4-chizma

nuqta bilan to’g’ri chiziq orasidagi masofani deylik. Unda nuqtaning koordinatasi bo’lib, to’g’ri chiziqning tenglamasi

bo’ladi.

Bu nuqta parabolaning fokusi, to’g’ri chiziq esa parabolaning direktrissasi deyiladi.

Parabolada ixtiyoriy nuqtani olaylik. Unda parabola ta’rifiga binoan

bo’ladi. Ravshanki,

.

Demak,

.

Bu tenglikning ikki tomonini kvadratga ko’tarib, so’ng lozim bo’lgan soddalashtirishlarni bajarib

bo’lishini topamiz.

Shunday qilib, paraboladagi o’zgaruvchi nuqtaning koordinatalari va larni bog’lovchi tenglama hosil bo’ladi. Bu tenglama parabolaning sodda tenglamasi deyiladi.

Ravshanki, da bo’ladi. Demak, parabola koordinata boshidan o’tadi. Ayni paytda, uning tenglamasida kvadratda qatnashgani uchun parabola o’qiga nisbatan simmetrik, esa har doim musbat bo’lgani uchun parabola o’qining o’ng tomonida joylashgan bo’ladi