I bob. Uch karrali integ

Download 0,59 Mb.

bet	2/9
Sana	02.07.2022
Hajmi	0,59 Mb.
	#730178

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Bog'liq
2 5226761782307068755

Ta’rif. ₍V_i₎bulaklarning diametri nolga intilganda integral yig’indining chekli J limiti f ₍_x,y, _z₎funksiyaning ₍V ₎soha bo’yicha uch karrali integrali deyiladi va
^J⁼^jjj^f⁽^x^,^y^,^z⁾^dV⁼^jjj^f⁽^x^,^y^,^z⁾^dxdydz^(0.2)
(^V) (^V)
kabi belgilanadi [1-8].
Uch karrali integralni hisoblashning ba’zi hollarini keltiramiz.
Faraz qilaylik qaralayotgan sohamiz ₍T₎= _[_a,b, c, d;e,f _]to’gri burchakli paralellopipeddan iborat bo’lsin. Shu sohada f ₍_x,y, _z₎funksiya berilgan bo’lsin. ₍T ₎sohaning yz tekislikdagi proeksiyasi ₍R₎= _[_c, d;e,f _]to’gri to’rtburchakdan iborat.
Teorema. Agar f (x,y, z) funksiya uchun

^jjj^f⁽^x^,^y^,^z⁾^dV
(^T)
uch karrali integral mavjud va _[_a,_b_]oraliqdagi har bir tayinlangan x uchun
^I⁽^x⁾⁼^jj^f⁽^x^,^y^,^z⁾^dR
(^R)
ikki karrali integral va shuningdek
b
^j^dx^jj^f⁽^x^,^y^,^z⁾^dR
a (R)
takroriy integral mavjud bo’lsa
b
^jjj^f⁽^x^,^y^,^z⁾^dT⁼^j^dx^jj^f⁽^x^,^y^,^z⁾^dR
(T) a (R)
tenglik o’rinli bo’ladi [1-8].

(0.3)
(0.4)
(0.5)
(0.6)

a
aP aQ
^a^x^a^y
Q(x,y, z) funksiyalar uchun
gar ₍V ₎sohada va hosilalari bilan birga uzluksiz bo’lgan P ₍_x,y, _z₎va

_{j

(^V) (^S)

_jjj^a^Q^dxdydz⁼_jj^Q⁽^x^,^y^,^z⁾^dxdz

jj}^dxdydz⁼_jj^P⁽^x^,^y^,^z⁾^dydz

(^V) ^a^y(^S)
(0.7)
(0.8)

formulalarga ega bo’lamiz.
Bu uchta (0. 1), (0.2), (0.3) formulalarni qo’shib, Ostrogradskiyning umumiy formulasini hosil qilamiz:
_{j

₍_V₎_\^a^x^a^yaz )

jj}^a^P₊^a^Q₊^a^R_dxdydz₌

^jj^P⁽^x^,^y^,^z⁾^dydz⁺^Q⁽^x^,^y^,^z⁾^dzdx⁺^R⁽^x^,^y^,^z⁾^dxdy
(^S)

(0.9)

Endi uch karrali integralda o’zgaruvchilarni almashtirish qanday bo’lishini tushunturib o’tamiz.
Fazo xyz to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasiga, boshqa bir fazo esa 毛n匕 koordinatalar sistemasiga ega bo’lsin. Bu fazolarda mos ravishda ₍S ₎va (_x) sirtlar bilan chegaralangan ikkita ₍D ₎va ₍A₎yopiq sohalarni qaraylik. Bu sohalar bir – biri bilan
quyidagi formulalar
x
|
= x(毛,n,匕))
^y⁼^y⁽^毛^,ⁿ^,匕)卜 ^{(0. 10)}
z = z (毛,n,_匕₎_J
bilan o’zaro bir qiymatli uzluksiz munosabat bilan bog’langan bo’lsin. Buning uchun (_x) sirtning nuqtalariga ₍S ₎sirtning nuqtalari mos kelishi kerak va aksincha.
(0. 10) funksiyalar ₍A₎sohada uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo’lsin. U holda
^D
(0. 11)
(x^,^y^,z)
D (毛,n,匕)
yakobian ham ₍A₎sohada uzluksiz funksiya bo’ladi. Bu ditermenantni har doim noldan
farqli va ishorasini saqlasin deb hisoblaymiz.
^Agar(^A) ^sohada^ushbu

= (u,v), n=n(u,v), 匕 =匕(u,v) (0. 12)
bo’lakli-silliq sirtni olsak, (0. 10) formula bu sirtni D sohadagi bo’lakli-silliq sirtga
akslantiradi. Bu sirt esa

^x⁼^x₍(u^,v)^,n(u^,v)^,匕(u^,v)) ⁼x(u^,v)^,^y⁼y(u^,v)
z = z (u,v)
(0. 13)

tenglama bilan aniqlanadi.
xyz va n匕 fazolardagi ₍D ₎va _{( )}sohalar orasidagi (0.12) moslik o’rnatilgan
bo’lsin. (0. 13) formuladagi barcha shartlar bajarilgan deb hisoblab ushbu tenglik
^jjj^f⁽^x^,^y^,^z⁾^dxdydz⁼
(^D)

⁼_jjj^f(^x⁽^,ⁿ^,^匕⁾^,^y⁽^,ⁿ^,^匕⁾^,^z⁽^,ⁿ^,匕)) ^J⁽^,ⁿ^,^匕⁾^{d d}ⁿ^d^匕( )

(0. 14)

bu erda J ( ,n,匕) = _匕₎, o’rinli ekanligini ko’rsatamiz. Bunda f (x,y, z)
funksiyani uzluksiz deb faraz qilamiz va chekli sondagi bo’lakli-silliq sirtlarda uzilishga ega bo’lsin.
II bobda uch karrali integaralning mexanikaga tadbiqlari o’rganilgan bo’lib, misollar yordamida tadbiqlari olingan.
Tabiyki, barcha geomitrik va mexanik kattaliklar fazodagi ₍V ₎jismning massasiga
bog’liqdir. Bunday holni uch karrali integral orqali ifodalaymiz.
p orqali ₍V ₎jismning ixtiyoriy nuqtadagi zichligini belgilaylik: u nuqtaning koordinatalarini funksiyasi bo’ladi va bu funksiyani har doim uzluksiz deb faraz qilamiz. dm = pdV = pdxdydz massa elementlarini yig’ib chiqamiz va barcha massa kattaliklar
uchun
^m⁼^jjj^p^dV⁼^jjj^p^dxdydz^{(0. 15)}
(^V) (^V)
ega bo’lamiz.
Elementar statistik momentlar uchun ushbu
^dMyz ⁼^xd^m⁼^x^p^dV^,
dM_zx= ydm = ypdV,
dM_xy= zdm = zpdV,
munosabatlar urinli bo’lishini topamiz. Statistik momentlarni topish formulasi

^M^yz⁼^jjj^x^p^dV⁼^jjj^x^p^dxdydz^,
(^V) (^V)
^M^zx⁼^jjj^y^p^dV⁼^jjj^y^p^dxdydz^,^{(0. 16}⁾
(^V) (^V)
^M^xy⁼^jjj^z^p^dV⁼^jjj^z^p^dxdydz^,
(^V) (^V)
iborat bo’ladi.
Og’irlik markazining koordinatalari uchun

jjj^x^p^dV
(
= ,
^V)
m

jjj^y^p^dV jjj^z^p^dV
(
n= , 匕 =
^V) (^V)
m m

(0. 17)

formulalar urinli bo’ladi [1-5].
^Bir^jinsli^jism^uchun^p⁼^const^bo^’^ladi^va^og^’^irlik^markazining^{koordinatalari}^uchun

jjj^x^p^dV
(
= ,
^V)
m

jjj^y^p^dV jjj^z^p^dV
(
n= , 匕 =
^V) (^V)
m m

munosabatlar urinli bo’ladi.
Koordinata o’qlariiga nisbatan inersiya momentlari uchun
^I^x⁼^jjj⁽^y2 ⁺^z2 ⁾^p^dV^,^I^y⁼^jjj⁽^z2 ⁺^x2 ⁾^p^dV^,
(^V) (^V)
^I^z⁼jjj(^x2 ⁺^y2 ⁾^p^dV^,
( ^V)
formulalar o’rinli bo’ladi.
Koordinata tekisliklariga nisbatan inersiya momentlari
^I^zy⁼^jjj^x2^p^dV^,^I^xz⁼^jjj^y2^p^dV^,^I^xy⁼^jjj^z2^p^dV
(^V) (^V) (^V)
formulalar bilan hisoblanadi.
Xulosa qismida bitiruv malakaviy ishda olingan natijalar keltirilgan.

(0. 18)
(0. 19)

(0.20)

^I^BOB^.^Uch^karrali^integrallar^va^uni^hisoblash
1-§. Uch karrali integral va uni hisoblash.
Avvalo uch karrali integralga keladigan masalalarni ko’rib chiqaylik. Ulardan biri jismning massasini hisoblash haqida masala [1-5].
Massa bilan to’ldirilgan biror ₍V ₎jism berilgan bo’lsin. Uning har bir M (x,y, z) nuqtasida bu jismning p= _p₍M ₎= p(x,y, _z₎zichligi ma’lum bo’lsin. Shu jismning m
massasini aniqlash talab etilgan bo’lsin.
Bu masalani echish uchun ₍V ₎sohani bo’laklarga ajratamiz: ₍V₁₎,₍V₂₎,..., ₍V_n₎uning bo’laklari bo’lsin va har bir bo’lakdan M_i(毛_i,n_i,匕_i₎nuqtani tanlaylik. Har bir ₍V_i₎
bo’lakda zichlik o’zgarmas va p(毛_i,n_i,匕_i₎ga teng. U holda bo’lakning massasi m_itaqriban ^m_i~ p(毛_i^,ⁿ_i^,^匕_i)^V_i
ga teng. Butun jismning massasi esa taqriban
n
^m^~_x^p⁽^毛_i^,ⁿ_i^,^匕_i⁾^V_i
i=1
teng bo’ladi. Bo’laklarning diametrini d (V_i) desak, bo’linishning diametri d_V= ₁_三_ia_三_nd (V_i₎
nolga intilsa, u holda bu taqribiy tenglik aniq bo’lib,
n
^m⁼_dⁱV₎₀^p⁽^毛_i^,ⁿ_i^,^匕_i⁾^dV^{(1. 1)}
va masala echildi.
Bu masalani echimidan ko’rinadiki, bunday qatorlardan limit olish integral
Yig’indilardan limit olishga o’xshash bo’layapti. Bunday limitlar ko’proq mexanika va fizika masalalarida uchraydi. Bu limitning qiymati uch karrali integral deb ataladi. U holda
jismning massasi
^m
(1.2)
⁼^jjj^p⁽^x^,^y^,^z⁾^dV
(^V)
ko’rinishda yoziladi.
Endi uch karrali integralning mavjud bo’lish shartlarini keltiramiz.
Biror ₍V ₎sohada f ₍_x,y, _z₎funksiya berilgan bo’lsin. Bu sohani fazoviy to’r orqali chekli sondagi ₍V₁₎,₍V₂₎,..., ₍V_n₎bo’laklarga bo’lamiz. Bu bo’laklar mos ravishda V₁, V₂, ..., V_nhajmlarga ega bo’lsin. i - chi ₍V_i₎bo’lakdan ixtiyoriy (毛_i,n_i,匕_i₎nuqta olib, bu nuqtadagi funksiyaning f (毛_i,n_i,匕_i₎qiymatini shu bo’lakchaning hajmi V_iga
ko’paytiramiz. Barcha bo’lakchalardagi bunday ko’paytmalarni yig’ib, ushbu
n
^o⁼_x^f(毛_i^,ⁿ_i^,^匕_i⁾^dV_ii=1
integral yig’indini tuzamiz [1,2].

Download 0,59 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:

1 2 3 4 5 6 7 8 9