I bob. Uch karrali integ

Download 0,59 Mb.

bet	3/9
Sana	02.07.2022
Hajmi	0,59 Mb.
	#730178

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Bog'liq
2 5226761782307068755

Ta’rif. ₍V_i₎bulaklarning diametri nolga intilganda integral yig’indining chekli J limiti f ₍_x,y, _z₎funksiyaning ₍V ₎soha bo’yicha uch karrali integrali deyiladi va
^J⁼^jjj^f⁽^x^,^y^,^z⁾^dV⁼^jjj^f⁽^x^,^y^,^z⁾^dxdydz
(^V) (^V)
kabi belgilanadi [1].
Bu chekli limit faqat chegaralangan funksiyalar uchun mavjud bo’ladi. Bunday funksiyalar uchun o integral yig’indidan tashqari yana Darbu yig’indilarini ham tuzib olishimiz kerak:

n
^s⁼x^mi ^Vi ^,
i=1
bu erda

n
^S⁼x^M_i^V_i^,
i=1

^m_i⁼_Vi₎^恳^f^}^,^M_i⁼Vi₎^恳^f^}^.
Uch karrali integralning mavjud bo’lishi uchun
_入V₎₀(^S^-s) ⁼⁰
yoki
n
_入V₎₀^o_i^V_i⁼⁰

shartni bajarilishi zarur va etarli. Bu erda o_i= M_i- m_if (x,y, z) funksiyaning ₍V_i₎
sohadagi tebranishi deyiladi.
Bundan har qanday uzluksiz funksiyaning integrallanuvchiligi kelib chiqadi.
Integrallanuvchi funksiyalar va uch karrali integralning ba’zi muhim xossalarini keltiramiz [3,4].
1⁰. Agar ₍V₎= ₍^V^,)+ (^V^,,₎bo’lsa,
^jjj^f⁽^z^,^y^,^z⁾^dV⁼^jjj^f⁽^z^,^y^,^z⁾^dV⁺^jjj^f⁽^z^,^y^,^z⁾^dV^.
(V ) (^V^,) (^V^,,)
^Chap^tomondagi^{integrallarning}^{mavjudligidan}^o^’^ng^tomondagi^integralning^ham^mavjudligi
kelib chiqadi va aksincha.
2⁰. Agar k = const bo’lsa,
^jjj^kf⁽^x^,^y^,^z⁾^dV⁼^k^jjj^f⁽^x^,^y^,^z⁾^dV^.
(^V) (^V)

Chap tomondagi integrallarning mavjudligidan o’ng tomondagi integralning ham mavjudligi kelib chiqadi va aksincha.

3⁰. Agar ₍V ₎sohada f (x,y, z) va g (x,y, z) funksiyalar integrallanuvchi bo’lsa, f 士 g funksiya ham ₍V ₎sohada integrallanuvchi va
^jjj⁽^f⁽^x^,^y^,^z⁾^士^g⁽^x^,^y^,^z⁾⁾^dV⁼jjj^f⁽^x^,^y^,^z⁾^dV^士jjj^g⁽^x^,^y^,^z⁾^dV
(^V) (^V) (^V)
munosabat o’rinli.
4⁰. Agar ₍V ₎sohada integrallanuvchi f (x,y, z) va g (x,y, z) funksiyalar uchun f 共 g tengsizlik bajarilsa,
^jjj^f⁽^x^,^y^,^z⁾^dV^共^jjj^g⁽^x^,^y^,^z⁾^dV
(^V) (^V)
tengsizlik ham o’rinli bo’ladi.
5⁰. f (x,y, z) funksiya integrallanuvchi bo’lsa, f ₍_x,y, _z₎funksiya ham
integrallanuvchi bo’ladi va

(^V) (^V)
_jjj^f⁽^x^,^y^,^z⁾^dV^共_jjj^f⁽^x^,^y^,^z⁾^dV
tengsizlik o’rinli bo’ladi.
6⁰. ₍V ₎sohada integrallanuvchi f (x,y, z) funksiya uchun
m f (x,y, z) M
tengsizlik o’rinli bo’lsa,
^mV_jjj^f⁽^x^,^y^,^z⁾^dV^MV
( ^V)
tengsizlik ham o’rinli bo’ladi.
Shu o’rinda o’rta qiymat haqida teorema uchun
_jjj^f⁽^x^,^y^,^z⁾^dV⁼^V⁽^m^M⁾
(^V)
tenglikdan foydalanamiz. f ₍_x,y, _z₎funksiya uzluksiz bo’lgan holda ushbu formulani
quyidagi
_{j jj}^f⁽^x^,^y^,^z⁾^dV⁼^f⁽^x^,^y^,^z⁾^V^(1.3)
(^V)
k o’rinishda ham yozish mumkin, bu erda ₍x , y , z ₎nuqta ₍V ₎sohaning biror nuqtasi.
Chegarasi o’zgaradigan soha bo’yicha uch karrali integralni kiritamiz.
₍_v₎- chegarasi o’zgaruvchili soha bo’lsin. U holda

⁽⁽^v⁾⁾⁼_jjj^f⁽^x^,^y^,^z⁾^dV
(v)

(1.4)

munosabat o’rinli.
Endi xuddi shunga o’xshash ₍₍_v₎₎funksiyadan berilgan ^Mnuqtada soha bo’yicha
hosila tushunchasini ham kiritish mumkin, ya’ni ushbu
((v))
_l_im
⁽^v⁾^M_v
limit ₍₍_v₎₎funksiyadan (v) soha bo’yicha hosilasini ifodalaydi.
7⁰. Agar integral ostidagi funksiya uzluksiz bo’lsa, (1.4) integraldan M nuqtada soha bo’yicha hosilasi integral ostidagi funksiyaning shu nuqtadagi qiymatiga teng.
^f(^M) ⁼^f(x^,^y^,z)^.
^Shuning^uchun^yuqoridagi^(1.4)^integral^f⁽^x^,^y^,^z⁾^funksiya^uchun^qaysidir^ma^’^noda
«boshlang’ich» funksiya sifatida qabul qilsa bo’ladi.
Uch karrali integralni hisoblashning ba’zi hollarini keltiramiz [3,4].

Faraz qilaylik qaralayotgan sohamiz ₍T₎= _[_a,b, c, d;e,f _]to’g’ri burchakli parallelopipeddan iborat bo’lsin. Shu sohada f ₍_x,y, _z₎funksiya berilgan bo’lsin. ₍T ₎sohaning yz tekislikdagi proeksiyasi ₍R₎= _[_c, d;e,f _]to’g’ri to’rtburchakdan iborat.
Teorema. Agar f (x,y, z) funksiya uchun

^jjj^f⁽^x^,^y^,^z⁾^dV
(^T)
uch karrali integral mavjud va _[_a,_b_]oraliqdagi har bir tayinlangan x uchun
^I⁽^x⁾⁼^jj^f⁽^x^,^y^,^z⁾^dR
(^R)
ikki karrali integral va shuningdek
b
^j^dx^jj^f⁽^x^,^y^,^z⁾^dR
a (R)
takroriy integral mavjud bo’lsa
b
^jjj^f⁽^x^,^y^,^z⁾^dT⁼^j^dx^jj^f⁽^x^,^y^,^z⁾^dR
(T) a (R)
tenglik o’rinli bo’ladi [3,4,5].
Isbot. [a,b], [c, d ] va [e, f _]oraliqlarni

(1.5)
(1.6)
(1.7)
(1.8)

x₀= a < x₁< ... < x_i< ... < x_n= b,
y₀= c < y₁< ... < y_j< ... < y_m= d ,
z₀= e < z₁< ... < z_k< ... < z_l= f ,
nuqtalar yordamida bo’laklarga bo’lamiz, o’z navbatida (T ₎parallelopiped ham
(^T_i_,_j_,_k) ⁼^x_i^,^x_i₊₁^;^y_j^,^y_j₊₁^;^z_k^,^z_k₊₁
₍_i= 0,1, ..., n - 1; j = 0,1, ..., m - 1; k = 0,1, ..., l - 1₎
elementar parallelopipedlarga bo’linadi. Bir vaqtda ₍R ₎to’g’ri to’rtburchar ham
₍^R_j_,_k₎⁼^y_j^,^y_j₊₁^;^z_k^,^z_k₊₁^elementar^to^’^g^’^ri^{to’rtburchakka bo’linadi. Agar}

^m_i_,_j_,_k⁼₍ⁱ_Tⁿi,j^f,k₎^恳^f^}^,

^M_i_j_k⁼Sup 恳f }^,
, , (^T_i_,_j_,_k)

deb olsak, 6⁰xossaga ko’ra Vx=[x_i,x_i₊₁_]uchun

^mⁱ^,^j^,^k^编^y^j^编^z^k^试jj ^f⁽^x^,^y^,^z⁾^dydz^试^Mⁱ^,^j^,^k^编^y^j^编^z^k
(^R_j_,_k)
ega bo’lamiz. Vx = 毛_iqiymatlarni fiksirlab j va k larning barcha qiymatlari bo’yicha tengsizlikda yig’ib chiqamiz va
_xx^m_i_,_j_,_k^编^y_j^编^z_k^试^I⁽^毛_i⁾^试_xx^M_i_,_j_,_k^编^y_j^编^z_k
j k j k
tengsizlikni hosil qilamiz. Bu erda
^I⁽^毛ⁱ⁾⁼^jj^f⁽^毛ⁱ^,^y^,^z⁾^dydz^.
(^R)
Bu tengsizlikni 编x_iga ko’paytirib i ning qiymatlari bo’yicha yig’ib chiqamiz:
_xxx^m_i_,_j_,_k^编^x_i^编^y_j^编^z_k^试_x^I⁽^毛_i⁾^编^x_i^试_xxx^M_i_,_j_,_k^编^x_i^编^y_j^编^z_k^.
i j k i i j k
Chetki hadlar (1.5) integral uchun Darbu yig’ndilari hisoblanadi. 编x_i, 编y_j, 编z_klar nolga intilganda (1.5) integralga teng bo’ladi. O’rta had esa I ₍_毛_i₎funksiyaning integral
yig’indisi bo’lib, 编x_i) 0 da (1.7) integralga teng bo’ladi va (1.8) tenglikning bajarilishi kelib chiqadi. Teorema isbotlandi [3,4].
Agar
f
^j
(1.9)
^f⁽^x^,^y^,^z⁾^dz
e
integral ham fiksirlangan Vx= [a, b] va Vy= [c, d ] lar uchun mavjud bo’lsa, (1.8) dagi ikki
karrali integral takroriy integral bilan almashtirilib
b d f
^jjj^f⁽^x^,^y^,^z⁾^dT⁼^j^dx^j^dy^j^f⁽^x^,^y^,^z⁾^dz^{(1. 10)}
(T) a c e
hosil qilamiz.
Shunday qilib, uch karralli integralni
hisoblash uchta sodda integralni ketma-ket hisoblashga keltiriladi. (1. 10) da x, y, z
o’zgaruvchilarni joylashishini ixtiyoriy ravishda olish mumkin.
Endi ixtiyoriy soha bo’yicha uch karrali integralni hisoblaymiz. ₍V ₎- ixtiyoriy jism berilgan bo’lsin. Agar f (x,y, z) funksiya ₍V ₎sohada aniqlangan bo’lib, bu funksiya bilan birga f ^*(x, y, z) funksiya ham berilgan bo’lsin. Bu funksiya ₍V ₎sohani to’ldiruvchi ₍T ₎to’g’ri to’rtburchakli parallelopipedda aniqlangan, ya’ni
_f^*₍_x_,_y_,_z₎₌_〈^(|^f⁽^x^,^y^,^z^{) (}^V⁾^da
| 0 ⁽^V⁾^ning^tashqarisida^.
Shu yo’l orqali yuqorida keltirilgan usulga kelamiz. ₍V ₎jism x = x₀va x = X tekisliklar orasida joylashgan bo’lsin. ₍_x₎orqali bu jismning yz tekislikdagi proeksiyasini belgilaylik.
U holda ikki va uch karrali integralning mavjudligidan
X
^{j

_(1.8^*₎

jj}^f⁽^x^,^y^,^z⁾^DV⁼^j^dx^jj^f⁽^x^,^y^,^z⁾^dydz
(^V) ^x₀( _x)
bo’lishi kelib chiqadi. Bu (1.8) formulani analogi bo’ladi.
Endi ₍V ₎jism mos ravishda yuqori va quyidan
z = z(x,y) va z = Z (x,y) sirtlar bilan
chegaralangan «silindrik brus»dan bo’lsin. Bu sohaning
xy tekislikdagi proeksiyasi ₍D ₎figura va ₍K ₎egri
chiziq bilan chegaralangan bo’lsin. Demak, ₍V ₎jism
yon tomondan z o’qiga parallel bo’lgan silindrik sirt va
₍K ₎yo’naltiruvchi egri chiziq bilan chegaralangan
ekan. U holda (1.7) formulaning anologi
Z(x ,y)
^jjj^f⁽^x^,^y^,^z⁾^dV⁼^jj^dxdy^j^f⁽^x^,^y^,^z⁾^dz^(1.7*⁾
(V) (D) z₀(x ,y)
ko’rinishda bo’ladi. Buning uchun ikki karrali va oddiy integralning mavjudligi talab etiladi. Agar ₍D ₎soha y = y₀(x) va
y = Y ₍_x₎(x₀x X) chiziqlar
^bilan^{chegaralangan}^egri^chiziqli
trapetsiyadan iborat bo’lsa, ₍V ₎jism
^yuqoridagi^ikkinchi^tipdagidek^bo^’^ladi^.
Ikki karrali integralni (1.8^*) yoki (1.7^*)
kabi almashtirsak,
_XY(x) Z(x ,y)
^{j jj}^f⁽^x^,^y^,^z⁾^dV⁼^j^dx^j^dy^j^f⁽^x^,^y^,^z⁾^dz
⁽^V⁾^x₀^y₀⁽^x⁾^z₀⁽^x^,^y⁾
₍_{1. 10}^*₎
formulani hosil qilamiz. Bu formula (1. 10) formulaning umumlashgan holi hisoblanadi. Yuqorida keltirilgan hollar uchun misollar ko’rib chiqamiz.
1-misol. Ushbu
^K⁼^jjj^zdxdydz
(^V)
_integral_hisoblansin_._Bu_erda₍V ₎- + + 不1 _{ellipsoidning}_yuqori_yarim_qismidan
a b c
iborat soha bo’lsin.
B
a b
u ₍V ₎jismning ^xytekislikdagi proeksiyasi + 不1 ellipsdan iboratdir.
Shuning uchun x ning o’zgarish oralig’i -a dan a gacha bo’ladi, tayinlangan x ning
q
a a
iymatlarida y o’zgaruvchi - ^bdan ^bgacha o’zgaradi. Berilgan ₍V ₎
jism pastdan ^xytekislik, yuqoridan ellipsoid sirt bilan chegaralangan, tayinlangan x va y

lar uchun z o’zgaruvchi 0 dan c 1 - ₂- ₂gacha o’zgaradi.

x² y²
_a_b
Shunday qilib, (1. 10^*) formulaga ko’ra
^b
I = _jdx a _jdy _jb zdz = ^c2 _jdx a _j1 dy =
_c^b
_-_a_- b _a₂_-_x₂₀²_-_a_- b _a₂_-_x₂\ ^a2 ^b2 )
a a
⁼^c2 a^j_-_a^dx¹^{- -}^dy⁼a^j_-_a⁽^a2 ^-^x2 ⁾3 2 ^d^x⁼
= a_j0₍a²- x²₎3 ²dx = abc².
2-misol. Ushbu
^I⁼^jjj^zdxdydz
(^A)
integral hisoblansin. Bu erda ₍A₎jism
z²= ₍x²+ y²₎konusli sirt va z = h tekislik
bilan chegaralangan soha.
⁽^a⁾^konusli^sirtni^xy^tekislikdagi
proeksiyasi ₍_Q₎x²+ y²不 R²doiradan iborat.
(1.7^*) formuladan foydalanib
I
R
= ^jj⁽^Q⁾dxdy ^hh^j²x+y²zdz = ^jj⁽^Q⁾h2 - ⁽x2 + y2 ⁾dxdy
bo’ladi. Bundan qutb koordinatalariga o’tib,
I = _jd9_j₍R²- r²₎rdr = .
0 0
(b) boshqa usulda integralning qiymatini
h
^I⁼^j^zdz^jj^dxdy
0 (D)
ko’rinishda ham hisoblab topish mumkin [1-8]. Bu erda ₍D ₎xy tekislikdagi proeksiyasi
Rz
bilan balandlik yotgan z tekislikning kesishmasi. Bu proeksiya radiusli doiradan iborat.
h
Shuningdek ikki karrali integral doiraning yuzi z²ga teng. Bundan
^h
^I⁼_j0 _h₂^z^dz⁼₄
"R²₃"R²h²

bo’lishini topamiz.

Download 0,59 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:

1 2 3 4 5 6 7 8 9