I bob. Tenzorlar ustida amallar

Tenzorlarning bosh qiymatlari va kanonik ko’rinishi
Koordinata bazisi sifatida xos vektorlar uchligi larni ( olinsa, (2.1) vector funksiyalarni ushbu ko’rinishda yozish mumkin:


Bu yerda (1) ga ko’ra

tenglik o’rinli.
Demak, T tenzorning aralash komponentalari

qiymatlarni qabul qiladi. Ushbu tenzorning matrisasi esa diagonal ko’rinishga ega bo’ladi:
(2.6)
Shunga o’xshash, deb qabul qilsak, tenglik o’rinli bo’ladi va matrisa disgonal ko’rinishni oladi:


(2.7)
Mazkur (2.6) va (2.7) matrisalar tenzorning kanonik ko’rinishi deb ataladi. Shu matrisalarning noldan farqli komponentalari esa, tenzorning bosh qiymatlari (komponentalari) deb ataladi.
Tenzorning asosiy invariantlari
2-rang tenzorning komponentalaridan tuzilgan determinantni yoyib yozilsa, tenglama ushbu
(2.8)
ko’rinishni oladi. Bu tenglamalaning koeffisientlai quyidagi tengliklar bilan aniqlanadi:

(2.9)


bu yerda tenzorning o’ramlari

Demak, koeffisientlari ham invariant miqdorlar bo’lib, ular bosh invariantlar deb ataladi. Endi (2.8) tenglamaning koeffisientlari va ildizlari orasidagi munosabatlarni hisobga olinsa, bosh invariantlarning bosh komponentalari orqali ifodasi kelib chiqadi:
(2.10)


2.2-§. Bazis vektorni koordinatalar bo’yicha differensiallash. Kristoffel belgilari va ularning xossalari
Bir nuqtadan ikkinchi nuqtaga o’tganda basis vektorlarning o’zgarish tezligi koordinata bo’yicha olingan hosila bilan ta’riflanadi. Hosila olis natijasi yana vector miqdorni beradi:

Demak, basis vektorlarning hosilasini kovariant va kontravariant bazislarga yoyish mumkin:
(2.11)
Tariff: (2.11) yoyilmaning va koeffitsientlari birinchi xil va ikkinchi xil Kristoffel belgilari eb ataladi.
Kristoffel belgilari quyidagi xossalarga ega:
1) (2.11) tenglikni ga hadma-had skalyar ko’paytiramiz:


Endi o’zarolik munosabatlarini eslasak, Krisotffel belgilari
(2.12)
tengliklar bilan aniqlanadi.
2) Bazislarning vektorlarning ta’rifga ko’ra:

tenglik o’rinlidir.
Bu yerdan
(2.13)
ekanligi, ya’ni Kristoffel belgilari oxirgi ikkita erkin indekslari bo’yicha simmetrik ekanligi kelib chiqadi.
Bazislarning yoyilmasidan foydalanib, ushbu:

(2.14)
munosabatlarni olamiz. Bu tengliklardan Kristoffel belgilari uchun ham indekslarni ko’tarish va tushirish umumiy qoidalari o’rinli ekanligini kelib chiqadi.
3) Kristoffel belgilarini metric tenzor komponentalari orqali ifodalash mumkin. Buning uchun

tenglikdan bo’yicha hosila olamiz:

Bu tenglik, quyidagicha yoziladi:
(2.15)
Bu yerda indekslarni siklik almashtirsak, ya’ni dan bo’yicha hosila olsak,
(2.16)
(2.17)
munosabatlarni olamiz.
Endi (2.16) ga (2.17) ni qo’shib, natijadan (2.15) ni ayirsak va (2.13) ni hisobga olsak, birinchi tur Kristoffel belgilari uchun
(2.18)
formulani topamiz. Bu yerdan formulalr yoordamida ikkinci tur Kristoffel belgilari uchun
(2.19)
formula kelib chiqadi.
5) Kontravariant koordinata bazisi vektorlaridan koordinatalar bo’yicha hosila ushbu yoyilmalari ko’rinishida yoziladi:
(2.20)
Bu yerdan yoyilmalarning koeffitsientlari
(2.21)
(2.22)
Demak, (2.19) ning o’rniga
(2.23)
Shunday qilib, kovariant va kontravariant bazis vеktorlarning fazoning ixtiyoriy nuqtasi atrofidagi o’zgarishi (2.16) va (2.23) formulalar bilan bеriladi.
6) Aralash ko’paytmaning koordinatalar bo’yicha hosilasini ko’paytmadan hosila olish qoidasiga ko’ra yordamida hisoblaymiz:

Aralash ko’paytma uchun tenglik o’rinli ekanligini va formulani e’tiborga olsak, bu formula
(2.24)
formula hosil bo’ladi.
Kristoffel belgilari uchun quyidagi almashtirish formulalari o’rinli.
Basis vektorlarini almashtiriah formulalariga va tengliklarga asoslanib, quyidagilarni olamiz:


yoki
(2.25)
(2.26)
Bu formulalar Kristoffel belgilari uchun almashtirish qonunlarini beradi. Ular tenzor komponentalarini almashtirish qoidasidan farq qiladi va Kristoffel belgilari, umuman olganda, tenzor komponentalari bo’lmaydi. Lekin almashtirish formulalari chiziqli bo’lsa, (2.25) va (2.26) lardagi ikkinchi tartibli hosilalar nolga teng bo’ladi va ular tenzor komponentalarini almashtirish qonunlariga aylanadi. Demak, koordinatalarni affin almashtirishda Kristoffel belgilari tenzor komponentalari bo’ladi.
Kristoffel belgilarining orthogonal koordinatalar sistemasidagi ko’rinishi.
Agar koordinatalar sistemasi orthogonal bo’lsa, metric tenzor komponentalari uchun

tengliklar o’rinli bo’ladi. Bundan foydalanib, Kristoffel belgilarining indekslari turli bo’lsa quyidagicha :

Ikkita oxirgi indekslari bir-biriga teng bo’lsa esa:

birinchi indeksi ikkinchisiga yoki uchinchisiga teng bo’lsa

va nihoyat indekslarning hammasi bir-biriga teng bo’lsa

formulalarga ega bo’lamiz.
Demak, fazoning metrikasi berilgan bo’lsa, Kristoffel belgilari quyidagi formulalar yordamida hisoblanadi:

(2.27)

Turli xildagi Kristofell belgilari orasida quyidagi munosabatlar o’rinli bo’lganligi tufayli

ikkinchi xil Kristoffel belgilari uchun (2.27) ga ko’ra ushbu

(2.28)

formulalarni olamiz. (2.27) va (2.28) larda yig’indi olish amali bajarilmaydi.