I bob. Geometriya fanini vujudga kelishi va rivojlanishi

2.3-§. Gilbert aksiomatikasi
Geometriya fanini shu yo’sinda ko’rish g’oyasi, asosan Lobachevskiy tadqiqotlari to’la e’tirof etilgandan so’ng paydo bo’ldi. O’tgan asrning oxiriga kelib, shu masalaga doir Pash, Peano, Pe’ri, Kagan va boshqa avtorlarning ko’pgina ilmiy asarlari paydo bo’ldi. Lekin mashxur nemis matematigi David Gilbertning 1899-yilda chop etilgan “Geometriya asoslari” nomli asari shunday asarlardan eng mashxuridir. Bu kitobning ruscha tarjimasiga yozilgan so’z boshida professor P.K.Rashevskiy unga quyidagicha xaakteristika beradi: “Bizning ko’z oldimizda bu asarning lklassik asarga aylanib ketishida Gilbertning ko’rsatgan asosiy xizmati quyidagidan iborat. Gilbert tabiiy ravishda bo’laklarga ajralgan va buning natijasida geometriyaning tuzilishi juda oydinlashib qolgan geometriya aksiomatikasini tuzishga muvaffaq bo’ldi. Aksiomatikaning bu tariqa qismlarga bo’linishi, birinchidan, aksiomalarni sodda va qisqa ifodalashga imkoniyat beradi va, ikkinchidan, agar geometriyani butun aksiomatikaga asoslanmasdan, faqat uning tarkibidagi ayrim bo’laklarga asoslanib, geometriyani qay darajada rivojlantirish mumkinligini tekshirishga imkon beradi.Aksiomalarning ayrim guruhlar rolini aniqlovchi bunday mantiqiy analizi haqiqatda Gilbertning bir qancha ajoyib tadqiqotlarida keltirilgan, bu tadqiqotlar Gilbert asarining anch qismini tashkil etadi. Undan tashqari, Gilbertning asari bu sohadagi yana bir qator tadqiqotlarni boshlab yuborishga sabab bo’ldi”.
Gilbert aksiomatikasidagi asosiy obektlar “nuqta’, “to’g’ri chiziq’, “tekislik’dan iborat bo’lib, ular orasidagi nisbatlar “Tegishli” (yoki”…da yotadi”, “…dan o’tadi”), “orasida”, “kongruentlik”dir, bularning xossalarini aniqlovchi aksiomalar besh guruppaga bo’linadi. Bu aksiomalarning har bir guruppasi va ular asosida xodil qilinadigan ba’zi natijalar bilan tanishib chiqamiz.
Geometriyani Gilbert aksiomatikasi asosida bayon etish hozirgi zamon matematikasida ham uchraydi, shu sababdan bu kitobda uning qisqacha obzori keltirilgan.
Tegishlilik (bog’lanish) aksiomalari.
Bu guruppa aksiomalari “tegishli” nisbatining xossalarini aniqlaydi.

1. 
   Ikkita nuqtaning har biriga tegishli bo’lgan bittadan ortiq to’g’ri chiziq mavjud emas.
   
2. 
   Har qanday ikki nuqta uchun ularning har biriga tegishli bo’lgan to’g’ri chiziq mavjud.
   
3. 
   To’g’ri chiziqda hech bo’lmaganda ikkita nuqta mavjud . Bir to’g’ri chiziqli yotmagan kamida uchta nuqta mavjud.
   
4. 
   Bir to’g’ri chiziqda yotmagan uchta nuqta uchun ularning har biriga tegishli tekislik mavjud. Har bir tekislik uchun unga tegishli kamida bitta nuqta mavjud.
   
5. 
   Bir to’g’ri chiziqda yotmagan uchta nuqta uchun shu nuqtalarga tegishli bo’lgan bittadan ortiq tekislik mavjud emas.
   
6. 
   Ikki nuqtasi biror tekislikka tegishli bo’lgan to’g’ri chiziqning barcha nuqtalari ham shu tekislikka tegishli bo’ladi.
   
7. 
   Umumiy nuqtaga ega bo’lgan ikki tekislik bu nuqtadan farqli kamida yana bitta umumiy nuqtaga ega bo’ladi.
   
8. 
   Bitta tekislikka bir vaqtda tegishli bo’lmagan kamida to’rtta nuqta mavjud.
   

Eslatmalar. 1. Ikkita, uchta va hokazo nuqtalar (to’g’ri chiziqlar, tekisliklar ) deyilganda turli nuqtalar (to’g’ri chiziqlar, tekisliklar) ko’zda tutiladi.
2. Kelgusida “tegishli” so’zi o’rniga “qarashli” tushuniladi. “…da yotadi”, ”…dan o’tadi” iboralarini ham ishlataveramiz. Masalan,nuqta to’g’ri chiziqda tegishli deyish o’rniga, A nuqta to’g’ri chiziqqa qarashli, yoki A nuqta to’g’ri chiziqda yotadi, yoki to’g’ri chiziq A nuqtadan o’tadi, deb olaveramiz.
Aksiomalarning birinchi gruppasi shu bilan tugaydi. Bu gruppadagi birinchi uchta aksioma (1-3) tekislikka tegishli obrazlarga taalluqli, qolgan beshta aksioma (4-6) fazoviy obrazlarga taalluqlidir.
Tartib aksiomalari.
Bu gruppadagi aksiomalar “orasida” degan nisbatning asosiy xossalarini aniqlaydi va bu nisbatga asoslanib, to’g’ri chiziqdagi nuqtalarning bir-biriga nisbatan qanday tartibda joylashganini aniqlashga imkon beradi.

9. 
   Agar nuqta nuqta bilan nuqta orasida yotsa, u holda , , bir to’g’ri chiziqdagi uchta turli nuqta bo’lib, nuqta nuqta bilan nuqta orasida ham yotadi.
   
10. 
    , biror to’g’ri chiziqning nuqtalari bo’lsa, shu to’g’ri chiziqda kamida shunday bitta nuqta topiladiki, nuqta bilan ni orasida yotadi.
    
11. 
    To’g’ri chiziqning har qanday uchta nuqtasidan bittadan ortig’I qolgan ikkitasi orasida yotmaydi.
    

So’ngi aksiomani kiritishdan avval, ba’zi tushunchalarni kiritaylik.
Ta’rif: , dan iborat ikki nuqta sistemasi yoki kesma deb ataladi. , esa shu kesmaning uchlari deyiladi. bilan orasidagi nuqtalar kesmaning ichki nuqtalari deyiladi. to’g’ri chiziqning qolgan boshqa hamma nuqtalari kesmaga nisbatan tashqi nuqtalar deyiladi.
Ta’rif: Bir to’g’ri chiziqda yotmagan , , nuqtalar sistemasi uchburchak deb ataladi, , , – uchburchakning uchlari, ichki nuqtalari bilan olingan , , kesmalar uchburchakning tomonlari deb ataladi.
Endi 12- aksiomani keltiramiz, bu aksioma adabiyotda vengiryalik matematik Pash nomi bilan yuritiladi.

12. 
    uchburchakning birorta ham uchidan o’tmaydigan va uning tekisligida yotadigan a to’g’ri chiziq shu uchburchakning tomoni bilam umumiy nuqtaga ega bo’lsa, u holda bu to’g’ri chiziq yo kesma, yoki kesma nuqtasi orqali o’tadi.
    

Kongurentlik aksiomalari.
Bu gruppa aksiomalari kesma va burchaklarning kongurentlik (tenglik) tushunchasini aniqlaydi.

13. 
    Ikki va nuqta to’g’ri chiziqning nuqtasi, esa shu to’g’ri chiziqning yoki boshqa biror to’g’ri chiziqning nuqtasi bo’lsa, u holda shu to’g’ri chiziqning nuqtadan berilgan tomonida yotuvchi faqat bitta nuqtani doimo toppish mumkinki, kesma kesmaga kongurient bo’ladi.
    Bu aksioma kesmallarni ketma-ket qo’yib borish imkoniyatini beradi. Kesmalar kongurentligini ishora bilan belgilaymiz: , har qanday kesma uchun munosabat o’rinli hisoblanadi.
    
14. 
    Ikki kesma uchinchi kesmaga kongurent bo’lsa, ular bir biriga kongurentdir, ya’ni , bo’lsa, .
    
15. 
    va kesmalar to’g’ri chiziqning ichki umumiy nuqtalarga ega bo’lmagan kesmalari bo’lsin. Shu to’g’ri chiziqningyoki boshqa to’g’ri chiziqning , kesmalari ham ichki umumiy nuqtalarga ega bo’lmay, , bo’lsa, bo’ladi.
    
16. 
    tekislikda burchak va shu tekislikda yoki biror
    

tekislikda to’g’ri chiziq berilgan bo’lib, to’g’ri chiziq bilan aniqlangan yarim tekisliklardan biri hamda to’g’ri chiziqdagi uchli nur tayin bo’lsin. U holda nuqtadan chiquvchi va aniqlangan yarim tekislikda yotgan shunday yagona nur mavjudki, burchak burchakka kongurent bo’ladi.
Burchaklar orasidagi bunday nisbat _{ } ko’rinishida belgilanadi. Har bir burchak o’z-o’ziga kongruent deb olinadi.
_{ } va _{ } uchburchaklar uchun _{ }, _{ }, _{ } bo’lsa _{ } bo’ladi.