I bob. Geometriya fanini vujudga kelishi va rivojlanishi

1.2-§. Geometriya fanini rivojlanishida ‘”Negizlar” asarining ahamiyati
Insoniyat tarixida Yevklidning“Negizlari” asari bilan taqqoslash mumkin bo`lgan va hanuzgacha o`z qadr-qimmatini yo`qmay kelgan, o`z zamonasiga nisbatan chuqur ilmiy asosda yaratilgan birorta asarni ko`ratib bo`lmaydi . Uning faqat 1482-yildan boshlab 500 martadan ko`proq qayta nashrqilingani va dunyodagi juda ko`p tillarga tarjima qilingani yuqoridagi fikrlarimizni yorqin dalilidir . ”Negizlar ” ningqisqacha mazmuniga to`xtalib o`taylik.
I kitobda uchburchaklarning tenglik shartlari, uchburchak tomonlari bilan burchaklari orasidagi munosabatlar, uchburchaklarni yasash, to`g`ri chiziqlarning parallelligi va perpendikulyarligi, parallelogram va uchburchakning yuzini ham Pifagor teoremasi bor .
II kitobda , va shu kabi ayniyatlar geometric formadatalqin qilinadi . Bu kitob kvadrat tenglamani geometrik usulda yechish bilan tugallandi .
III kitobda aylanada bag`ishlanadi.Bunda asosan aylanaga o`tkazilgan kesuvchi, urinma, markaziy burchaklar, ichki chizilgan burchaklar qaraladi .
IV kitobda aylanaga ichki va tashqi chizilgan ko`pburchaklar qaralib, muntazam to`rtburchak, beshburchak, oltiburchak va o`nikkiburchaklarni yasash ko`rsatilgan.
V kitob asosan proportsiyalar nazariyasiga bag`ishlangan .
VI kitobda proportsiyalar nazariyasining tatbiqi sifatida ko`pburchaklar o`xshashligi nazariyasi va ko`pburchak yuzlarini topish beriladi.
VII-IX kitoblar arifmetika va sonlar nazariyasiga bag`ishlanadi. Shunisi diqqatga sazovorki, bu kitobda ikki butun sonning katta umumiy bo`luvchisini topish algoritmi hamda tub sonlarning cheksiz ko`p ekanligi isbotlanadi .
X kitobda irratsional miqdorlar nazariyasi qaraladi .
XI-XIII kitoblar streometriyaga bagishlangan bo`lib, ularda ko`pyoqlar, aylanma jismlar va ularning hajmlari qaralib, muntazam ko`pyoqlar haqida ma`lumot beriladi . Keltirilgan 13 ta kitobning har biri tushunchalarning ta`riflaridan boshlanadi, masalan, 1- kitobda 23 ta ta`rif berilgan ulardan ba`zilarini keltiramiz .

1. 
   Nuqta shudirkim, u bo`laklarga ega emas .
   
2. 
   Chiziq ensiz uzunlikdir.
   
3. 
   Chiziqning chegaralari nutalardir .
   
4. 
   To`g`ri chiziq deb shunday chiziqqa aytiladiki, u o`zining hamma nuqtalariga nisbatan bir xil joylashgandir .
   
5. 
   Sirt shudirkim, u uzunlikka va enga ega .
   
6. 
   Sirtning chegaralari chiziqlardir.
   
7. 
   Tekislik shunday sirtki, u o`zidan hamma to`g`ri chiziqlarga nisbatan bir xi joylashgandir .
   
8. 
   Yassi burchak deb bir-biri bilan kesishgan v bir tekislikda joylashgan, lekin bir to`g`ri chiziqda yotmagan ikki chiziqning bir-biriga qiyaligiga aytiladi va hokazo.
   

Ta`riflardan so`ng postulatlar (hozirgi vaqtda postulat bilan aksioma bir-biridan farqlanmaydi ) va aksiomalar beriladi.
Postulatlar.
1-chizma

1. 
   Har bir nuqtadan istalgan nuqtagacha to`g`ri chiziq o`tkazish mumkin bo`lsin.
   
2. 
   Chegaralangan har bir to`g`ri chiziqni istalgancha davom ettirish mumkin bo`lsin .
   
3. 
   Istalgan markazdan har qanday radius bilan aylana chizish mumkin bo`lsin. Hamma to`g`ri burchaklar o`zaro teng bo`lsin .
   
4. 
   Bir to`g`ri chiziq ikki to`g`ri chiziq bilan kesishib, ular bilan yig`indisi 2 dan kichik bo`lgan ikchi bir tomonli burchaklar tashkil qilsa, ularni bu yig`indi 2 kichik tomonga qarab davom qildirganda, ular shu tomoga kesishadigan bo`lsin .
   

Bu oxirgi postulat parallellar haqidagi Yevklidning mashxur beshinchi potulatidir .
Aksiomalar.

1. 
   Uchinchi miqdorgateng bo`lgan miqdorlar o`zaro teng.
   
2. 
   Teng miqdorlarga baravardan qo`shilsa, ularning yig`indilari ham teng bo`ladi .
   
3. 
   Teng miqdordan baravardan ayrilsa, qoldiqlari ham teng bo`ladi va hokazo.
   

Postulatlar va aksiomalardan so`ng jumlalar nomi bilan teoremalar va yashashga doir masalalar keltiriladi .

1. 
   Jumla (teorema). Belgili kesmada (to`gti chiziqda) teng tomonli uchburchak yasalsin.
   

Yasash: kesma (to`g`ri chiziq ) berilgan bo`lsin (1-chizma).
ni markaz qilib radius bilan sirkul yordamida yoy chizamiz (III postulat), bu yoylarning kesishish nuqtasi orqali , to`g`ri chiziqlarni o`tkazamiz (I postulat ) . nuqta aylananing markazi bo`lgani uchun kesma ga tengdir ( ta`rif), so`ngra nuqta aylananing markazi bo`lgani uchun kesma ga teng . Demak, , , kesmalar o`zaro teng, demak teng tomonli uchburchak ( ta`rif) . Shuni isbotlash (yasash) talab qilingan edi .
“Negizlar ” ning muhim tarixiy ahamiyatidan yana biri shundan iboratki, u geometriyani mantiqiyjihatdan jiddiy ravishda bayon etish g`oyasini bizning davrimizgacha yetkazdi . Bizning davrimizgacha bo`lgan fan tarixining buyuk namoyondalaridan Kopernik, Galiley, Dekart, Nyuton, Leybnits, Eyler, Lomonosov, Lobachevskiy, al-Xorazmiy, Beruniy,Ibn-Sino, Ulug`bek, Umar Xayyom va boshqalar ham matematikani Yevklidninng “Negizlar” idan o`rganishgan. Lekin bu asar ham kamchiliklardan holi emas . “Negizlar ” ning asosiy kamchiliklari nimalardan iborat ?
1.Yevklid tomonidanberilgan ba`zi ta`riflar hech narsani aniqlamaydi (masalan,nuqta ta`rifi) va Yevklidning o`zi bu ta`riflardan foydalanmaydi . Ta`riflarda o`zi ta`riflanishi kerak bo`lgan tushunchalar bor, masalan “uzunlik”, ”en”, “chegara” va hokazo . Lekin aylana, uchburchak, to`g`ri burchak,o`tmas va o`tkir burchakka bergan ta`riflari qoniqarli .
2. Yevklid ayrim jumlalarni postulat, ayrimlarini esa aksioma deb atalgan, bu ikki tushuncha orasida mantiqiy farq yo`q, ba`zi kishilarning fikriga qaraganda u potulat deb faqat geometrik figuralarning xossalarini aniqlaydigan jumlalarni olgan, qolgan har qanday miqdorlar xossalarini aniqlovchi jumlalarni aksiomalar sifatida qaul qilgan . Zamonaviy adabiyotda aksioma bilan postulat bir ma`noda ishlatiladi .
“Negizlar” ning kamchiliklaridan yana bir unda berilmagan aksiomalardan, masalan, uzluksizlik aksiomasidan foydalanish hollarining yuz berishidir. Yuqorida teng tomonli uchburchakni yasash masalasini ko`rganimizda ikki aylananing nuqtada kesishish fakti hech joyda qayd qilinmagan . Mantiqiy jihatdan bu yerda nuqson bor, bu aylananing kesishishikeyinchalik keladigan mulohaza (uzluksizlik tushunchasi) ga asoslanadi .
Xuddi shunga o`xshash tartib va harakataksiomalari ham yetishmaydi (bu aksiomalarning mazmuni bilan keyinroq tanishamiz ).
“Negizlar ” ga tanqidiy nuqtai nazardan qaraganda, shuni ham e`tiborga olish kerakki, uning asosiy kamchiliklari faqat XIX asrning oxirlaridagina oshkor qilindi.
Geometriya tarixida Yevklidning beshinchi postulati g`oyat muhim ro`l o`ynaydi. Bu potulat qadimgi zamondan buyon matematiklar diqatini o`ziga jalb qilib keldi, ular geometriyani bu postulatdan xalos etish, undagi davoni isbotlash, uni oldidagi postulat va aksiomalardan keltirib chiqarishga intildilar. Bunday qiziqishlarni sabablaridan biri, berilgan postulatlaridan avvalgi to`rtasi o`z-o`zidan ayon bo`lib, beshinchi postulotning ayonligi bevosita ko`rinib turmaganligidadiir, ikkinchisi esa beshinchi postulotdan Yevklidning o`zi iloji boricha kam foydalanishga harakat qilganligidadir, uning faqat irinchi marta 29-jumlani isbotlashda foydalangan .Shunisi qiziqki, Yevkliddan so`ng qariyb 2000 yil mobaynida beshinchi postulatni isbotlashga urinib ko`rmagan birorta ham yirikmatematik qolmagan . Lekin bu olimlarning ko`pchiligi Yevklidning postulat va aksiomalaridan aslida mantiqan kelib chiqadigan birorta jumlani olib (ko`plari uchun u jumla ayon tuyulgan ), so`ngra beshinchi postulatini isbotladim, deb davo qilganlar. Shunday olimlardan ba`zilarining ishlarini ta`kidlab o`tamiz.

1. 
   Eramizdan avvalgi I asrda yashagan Posidoniy “Tekkisligida tog’ri chiziqdan bir tomonda va bir hil nasofada yotgan nuqtalarning geometric o’rni to’g’ri chiziq bo’ladi” degan jumlani isbotsiz qabul qilib beshinchi postulotni isbotlashga erishadi.
   

2. Grek matematiklaridan Proklning (410-485) “Kesishmaydigan Ikki to’gri chiziq orasidagi masofa chegaralangan miqdorda” (Prokl fikricha hatto o’zgarmas miqdordir)tasdiqlashi beshinchi postulotga ekvivalentdir.
3. Ozarbayjon oilmi Nasrddin Tusiy (1201 — 1274) ushbu fnkrga asoslanadi: “Agar ikki a, b to’g’ri chiziqdan birinchisi AB kesmaga perpendikulyar (Aϵa, Bϵb), ikkinchisi esa og’a bo’lsa, u vaqtda b yo’g’ri chiziqdan a to’g’i chiziqqa tushirilgan perpendnkulyarning AB ning b bilan o’tkir burcha k tashkil qilgan tomondagisi A B dan kichik, b bilano’utmas burchak tashkil qilgan tomondagisi esa AB dan kattadir”. Shu farazga asoslanib beshinchi postulatga o’z «isbotini» beradi.
4. Ingliz matematigi, Oksford universitetinnng professori Djon Vallis (1616— 1703) «Bir- biriga o’xshash, lekin teng bo’lmagan ikkita uchburchak majud» degan farazni qabul qilib, beshinchi postulatni «isbotlaydi».
5. Vengr matematigi Farkash Rochyan (1775— 1856) «Bir to’g’ri chiziqda yotmagan xar qanday uchta nuqta bitta aylanada yotadi» yoki shunday tabiatli uch nuqtadan aylana utkazchsh mumkin degan farazga asoslanib, beshinchi postulat «isbotini» beradi va xokazo.
Shunga o’xshash ko’pgina olimlarning nomlarini keltirish mumkinki, ular o’zlari uchun ayon xisoblangan biror jumlani olib, beshinchi postulatni «isbotlashga» muaffaq bo’lganlar. Lekin ularning ko’pchiligi, o’zlari qabul qilgan jumlaning beshinchi postulotga ekvivalent ekanini sezmay qolganlar. Endi V postulotnind ba’zi ekvivalentlarini keltiraylik. Avvalo isbotlari shu postulatga suyanmagan bir necha faktni keltiraylik (Yevklid ham ularni beshinchi postulatdan foydalanmay isbotlagan): a) Uchburchakning tashqi burchagi o’ziga qushni bulmagan ichki burchakning har biridan katta.
b) Tekislikda to’g’ri chiziq tashqarisida olingan nuqtadan bu tg’ri chiziqqa parallel to’g’ri chiziq o’tkazish mumkin.
v) Bir to’g’ri chiziqqa perpendikulyar bo’lgan ikki to’g’ri chiziq o’zaro parallel bo’ladi.
g) Agar ikki to’g’ri chiziq biror to’g’ri chizitq bilan kesishsa va kesishishda hosil bo’lgan ichki bir tomonli burchaklarning yigindisi 180° ga teng bo’lsa, bu to’g’ri chiziqlar parallel bo’ladi.
d) Ikki to’g’ri chieiqni uchinchi to’g’ri chiziq kesmada mos burchaklar (hamda ichki almashinuvchi burchaklar) o’zaro teng bo’lsa, bu to’g’ri chiziqlar parallel bo’ladi va hokazo.
Teorema: “Tekislikda to’g’ri chiziqda yotmagan nutga orasi shu to’g’ri chiziqqa parallel bo’lgan faqat bitta to’g’ri chiziq o’tadi” degan faraz beshinchi postulatga ekvivalent. (Djon Pleyfer ifodalagan paralellik aksiomasi.)
Isbot. 1. α to’g’ri chiziq va Dϵα berilgan bo’lsin (2- chizma). D nuqtadan α to’g’ri chiziqqa DA ga perpendikulyar tushirib» D nuqtadan DA ga perpendikulyar b to’g’ri chiziq o’tkazamiz: yuqoridagi v) jumlaga asosan a \\ b; D nuqtadan o’tib, b dan farqli bo’lgan har qanday l to’g’ri chizsak, DA to’g’ri chizq bilan uning biror tomonida o’tkir burchak hosil qiladi. α bilan b ni kesib o’tgan DA to’g’ri chiziqning ular bilan hosnl qilgan ichki bir tomonli burchaklaridan biri 90°,ikkinchisi α bo’lib, ravshanki, α+90°<180°.U holda beshinchi postulatga asosan l to’g’ri chiziq α bilan kesishadi. Demak, D nuqtadan o’tib, a bilan kesishmaydigan faqat bitta b to’g’ri chiziq mavjud.