I bob. Geometriya fanini vujudga kelishi va rivojlanishi

2.2-§. Geometriya fanini aksiomatik qurishdagi harakatlar
XVIII asrga kelib 5-postulotni isbotlash uchun quyidagi printsip asosida ish tutildi : beshinchi postulat uni inkor etuvchi jumla (faraz) bilan almashtirilib, hosil qilingan yangi Sistema asosida mantiqiy hulosa chiqarila boshlandi. Bu vaqtda 5-postulot bilan birga bu faraz asosida chiqarilgan hulosalar asosida ertami- kechmi zidlik paydo bo’ladi, yani bir birini inkor etuvchi kamida ikkita jumla vujudga keladi. Huddi shu usul bilan 5-postulotni isbotlashga Sakkeri, Lambert va Lejandr urinib ko’rishgan.Italiyalik olim Sakkery (1667-1733) muxokamalarida asosidagi ikkita burchagi to’g’ri va yon tomonlari teng bo’lgan to’g’ri burchak olingan. (Bunday to’rtburchak odatda Xayyom-Tusky-Sakkeri to’rtburchagi deb yuritiladi, chunki xuddi shunday to’rtburchakni XI asrda Xayyom. keyinchalik al-Tusiy xam tekshirgan.) U bunday to’rtburchakning qolgan ikkita burchagining tengligini osongina isbotlab, ularning kattaligi haqida uchta gipotezani qo’yadi: 1) o’tmas burchak; 2) to’g’ri burchak; 3) o’tkir burchak. O’tmas burchak gipotezasini qabul qilib, undagi natijalar chiqara borish bilan zidlikka uchraydi, shuning uchun bu gipotenuzani qaramaydi. To’g’ri burchak gipotezasini tekshirib, uning beshikchi postulatga ekvivalentligini isbotlaydi. Nihoyat, o’tkir burchak gipotezasini qabul qilib, undan mantiq qonunlari asosida natijalar chiqara boshlaydi. Sakkeri bu gipotezani zidlikka uchratish uchun ko’p harakat qiladi, chunki o’tkir burchak gnpotezasi ham zidlikka uchrasa, faqat to’g’ri burchak gipotezasi o’rinli bo’lib, beshinchi postulatni teskarisidan isbotlash usuli bilan isbotlashga muvaffaq bo’lgan bo’lar edi. O’tkir burchak gipo-tezasini qabul qilib, Sakkeri quyidagi teoremalarni isbotlashga erishadi:
1. Bitta to’g’ri chiziqqa o’tkazilgan perpendikulyar va og’ma to’g’ri chiziqlar o’zaro doimo kesishavermaydi.
2. Tekislikda to’g’ri chiziq tashqarisida olingan nuqtadan bu to’g’­ri chiziq bilan kesishmaydigan kamida ikkita to’g’ri chiziq o’tkazish mumkin.
3. Tekislikda to’g’ri chiziqdan bir xil masofada yotgan nuqtalar- ning geometrik o’rni egri chiziqdir va xokazo.
Bu jumlalar Yevklid geometriyasida o’rinli emas, albatta. «Yevklid geometriyasidan boshqa geometriyani bo’lishi mumkin emas» degan fikrga qat’iy ishongach Sakkeri o’tkir burchak giaotezasini zidlikka, uchratishga harakat qilib hisoblashda ba’zi hatolarga yo’l qo’yish bilan bunga erishadi.
Nemis matematigi Lambertni (1728 -1777) beshinchi postulat ustida ish olib borgan Sakkeri ishining : davomchisi desa buladi. U 1766 yilda yozgan “Parallel to’gri chiziqlar nazariyasi” nomli asarda, ikkita burchagi emas, balki uchta burchagi to’g’ri burchakdan iborat bo’lgan to’rtburchakni tekshiradi. SHunday to’rtburchakning to’rtinchi burchagining kattaligi xaqida Lambert uchta gipotezani qo’yadi: I) o’tmas burchak: 2) to’g’ri burchak 3) o’tshir burchak. Sakkeriga o’xshash, Lambert ham o’tmas burchak gipotezasini zidlikka uchratib, to'g'ri burchak gipotezasining beshinchi postulatga ekvivalentligini ko’rsatib, butun diqqat e’tiborini o’tkir burchak gipotezasiga qaratadi. Lambert o’tkir burchak gipotezasidan mantiqiy xulosalar chiqara borib Sakkeri olgan natijalarga keladi. Hatto unga qo’shimcha tariqada quyidagilarning ham o’rinli ekanini isbotlaydi:

1. 
   Uchburchak ichki burchaklarining yig’indisi yoyiq burchakdan kichik
   
2. 
   Uchburchakning yuzi uning nuqsoniga, yani [2d-(α+β+γ)]ga proporsional
   

niqor qila olmadi. Lekin, sfera ustida to’g’ri chiziqlar rolini bajaruvchi katta aylanalar olinsa, o’tmas burchak gipotezasi shu sfera ustida o’rinli bo’lishini birinchi bor Lambert sezgan, shundan so’ng o’tkir burchak gipotezasi “qandaydir mavhum sfera ustida o’rinli bo’lishi kerak” degan xulosaga keladi.

Matematikaning ko’pgina sohalarida yirik ishlari bilan mashxur bo’lgan fransuz olimi Lejandr (1752-1833) 1974 yili “Geometriya negizlari”nomli asarini yozadi. Bu kitob Yevklidning “Negizlar” asari o’rniga yozilgan asar bo’lib, faqt Fransiyada emas, balki boshqa mamlakatlarda ham katta obro’ qozongan. Bu kitobning Yevklid “Negizlari” dan farqi shu ediki, ba’zi isbotlashlar soddalashtirilib, o’qish ancha osonlashtirilgan, bundan tashqari geometriya asoslariga katta e’tibor berilib, parallellar nazariyasiga mufassal to’xtalgan. Lejandr to’rtburchakning emas, balki uchburchak ichki burchaklarining yig’indisi haqida uchta gipoteza qo’yadi, ya’ni uchburchak ichki burchaklarining yig’indisi : 1)180º dan katta; 2)180º ga teng; 3)180º dan kichik. Ikkinchi gipotezaning beshinchi postulatgaekvivalentligini isbotlaydi (uning isboti bilan biz 5-§ da tanishamiz). Lejandr birinchi va uchinchi gipotezalarni tekshirib, quyidagi teoremalarni isbotlaydi.

1. 
   Xar qanday uchburchak ichki burchaklarining yig’indisi 180ºdan katta bo’la olmaydi. Shu bilan birinchi gipotezani yo’qqa chiqaradi.
   
2. 
   Agar birorta uchburchak ichki burchaklarining yg’indisi 180ºdan kichik bo’lsa, qolgan har qanday uchburchak ichki burchaklarining yig’indisi ham 180ºdan kichik bo’ladi.
   

Bu teoremani Lejandr mantiqiy jihatdan bekam-ko’st isbotlaydi. Lekin uchinchi gipotezani hamzidlikka uchratish uchun, ya’ni beshinchi postulat isbotiga erishish maqsadida unga ayoniy jihatdan to’g’ri tuyilgan “bitta to’g’ri chiziqqa o’tkazilgan og’ma va perpendikulyar doimo kesishadi” yoki “o’tkir burchak ichida olingan ixtiyoriy nuqtadan bu burchakning ikkala tomonini kesadigan to’g’ri chiziqni doimo o’tkazish mumkin” iboralarni kiritadi. Buning natijasida u beshinchi postulatni isbotladinm deb da’vo qiladi.
Demak, Sakkeri, Lambert va Lejandrlar beshinchi postulat inkorini olib, uni zidlikka uchratish yo’li asosida ish olib bordilar. Bu yo’l noevklidiy geometriyaning yaratilishiga ilk qadam bo’ldi.