I bob. Geometriya fanini vujudga kelishi va rivojlanishi

Ta’rif: _{ } va _{ } uchburchaklarning uchta burchaklari va uchta tomonlari mos ravishda kongurent bo’lsa, bu uchburchaklar o’zaro kon-gruent deyiladi va _{ } ko’rinishida belgilanadi.
Kongruentlik aksiomalari yordamida uchburchaklarning tenglik alomatlarini isbotlash mumkin.
1-teorema. Teng yonli uchburchakning asosidagi burchaklari o’zaro kongruentdir.
2 -teorema. Vertikal burchaklari kongruendir.





8-chizma.
9-chizma.
3-teorema. , uchburchaklarda , ,
bo’lsa, bo’ladi .
4-teorema. Har bir kesmani teng ikkiga bo’lish mumkin, kesma yagona o’rta nuqtaga egadir.
5-teorema. Burchakning bissektrisasi yagonadir .
Bulardan tashqari to’g’ri burchakning mavjud bo’lishini, barcha to’g’ri burchaklarning o’zaro tengligini va bir qator teoremalarni isbotlash mumkin. Kesma, burchaklarga nisbatan “katta”, “kichik” tushunchalarini kiritish mumkin.
Uzluksizlik aksiomasi.
Bu aksiomaning mohiyati shundan iboratki, u to’g’ri chiziq
nuqtalari to’plami bilan barcha haqiqiy sonlar to’plami orasida
o’zaro bir qiymatli moslik o’rnatishga imkon beradi.
Uzluksizlik tushunchasi asrning o’rtalarigacha ayondek tuyilib kelgan, to’g’ri chiziqning yoki aylananing uzluksizligiga shubha qilinmagan, lekin bularning uzluksizligi mantiqiy ravishda asoslanmagan . matematikadagi uzluksizlik masalasini birinchi marta nemis matematigi Rixard Dedekind (1831-1916) tup mohiyati bilan hal qilgan. Dedekind quyidagi aksiomani bergan .
kesmaning barcha nuqtalari shu kesma uchlari bilan birgalikda quyidgi shartlarni qanoatlantiradigan qilib ikki sinfga
ajratilgan bo’lib : ) kesmaning har bir nuqtasi faqat bitta sinfga tegishli bo’lib, nuqta birinchi sinifga, nuqta esa ikkinchi sinfga tegishli bo’lsin, bu sinflar bo’sh bo’lmasin; )
birinchi sinifning dan farqli harbir nuqtasi bilan ikkinchi sinifning ixtiyoriy nuqtasi orasida yotsin. U holda kesmada shunday nuqta topiladiki, bilan orasidagi barcha nuqtalar ikkinchi sinifga tegishli bo’lib, nuqtaning o’zi birinchi yoki ikkinchi sinifga tegishli bo’ladi. nuqta esa nuqtalarini ikki sinifga ajratuvchi (kesadigan) nuqta deb ataladi.
6-teorema. Uzluksizlik aksiomasidagi nuqta yagonadir.
Isbot: faraz qilaylik, aksioma shartini qanoatlantiradigan dan farqli yana nuqta ham mavjud bo’lsin. Umumiylikni buzmaslik uchun nuqta bilan ni orasida yotadi deylik (10-chizma). U holda nuqta bilan ni orasida yotadi . bilan xarxil nuqtalarbo’lgani uchun 7-teoremaga asosan ular orasida yotuvchi biror nuqta bilan orasida bo’lgani uchun birinchi sinfga tegishli. nuqta bilan orasida bo’lgani uchun ikkinchi sinfga tegishli. Bu esa aksioma shartiga ziddir. Demak yagona ekan.