I bob. Differensial tenglamalar haqida umumiy tushuncha

1-lemma. (9) – (10) tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega.
Isbot. (9) tenglamani quyidagicha yozib olamiz:
Berilgan f funksiyaning aniqlanish sohasi haqidagi farazga koʻra (11) tenglikning oʻng tarafi ixtiyoriy haqiqiy y_i lar uchun aniqlangan, shuning uchun bu tenglik oldingi x_i tugundagi toʻr yechimdan foydalaib x_i+1 tugundagi toʻr yechimni topish imkoniyatini beruvchi formula boʻlib hisoblanadi. (10) tenglikka koʻra x₀ tugundagi toʻr yechim maʼlum, (11) dan ketma-ket foydalanish orqali esa barcha nomaʼlum y₁, y₂, …, y_N larni biridan ikkinchisini bir qiymatli topib borish mumkin.
Izoh. Toʻr yechimlarni topishning yuqorida tavsiflangan ushbu:
lgoritmi 1768 yilda shvetsariyalik matematik olim Leonard Eyler (1707- 1783) tomonidan taklif etilgan boʻlib, bu algoritm uning nomiga Eylerning oshkor usuli deb ataladi. Bu usulning «oshkor» deb atalishiga sabab (9) tenglamaning y_i+1 ga nisbatan yechilgan holda berilishidadir. Bu bilan (11) oshkor formula oldingi x_i tugundagi y_i toʻr yechimdan foydalanib x_i+1 tugundagi y_i+1 toʻr yechimni topish imkoniyatini berishi tushuniladi.
Endi (11) algoritmning geometrik talqinini beraylik. Buning uchun avvalo (1) differensial tenglamaning yechimlar toʻplami mavjudligini faraz qiliamiz, yaʼni berilgan [x₀ , x₀ + L] kesmaga mos kenglikning ixtiyoriy ichki (x_*, y_*) nuqtasi orqali bu tenglamaning integral egri chizigʻi oʻtadi, boshqacha qilib aytganda, (x₀ , x₀ + L) ochiq intervaldan olingan ixtiyoriy x_* va ixtiyoriy haqiqiy y_* uchun ushbu
y(x_*) = y_* , y(x) = f(x, y(x))
Koshi masalasi yechiladi. Oddiy differensial tenglamalar nazariyasidan bizga maʼlumki, buning uchun kenglikning ixtiyoriy nuqtasida x, y oʻzgaruvchilar juftligi boʻyicha f funksiyaning uzluksizligini faraz qilish yetarli toʻr boʻycha yaqinlashishdan foydalansak, u holda toʻr yechimni izlash- ning avvalgisidan boshqa quyidagi tenglamalar sistemasiga ega boʻlamiz:
y₀ = 
(9)-(10) va (18)-(19) tenglamalar sistemasi orasidagi muhim farqlarni aniqlash uchun (18) sistemada indeksni bir birlikka siljitib, uni quyidagi ekvivalent shaklga keltiramiz

h i1 i Endi bu sistemani (9) sistema bilan taqqoslaymiz. Koʻrinib turibdiki, nomaʼlum yi+1 (9) tenglamaning faqat chap tarafida chiziqi holda qatnashmoqda, bu esa uni oldingi tugundagi yi toʻr yechim orqali oshkor shaklda ifodalash imkonini beradi.

6-rasm.

Bu uslub (1)-(2) Koshi masalasini taqribiy yechishning ushbu

y₀ =  , ^y_i ^y_{i 1} ^{h f (x}_i ^{, y}_i ⁾ , i = 1, 2, …, N (21)
algoritm shaklida yozilgan Eylerning oshkormas usuli deb ataladi.
Eyler oshkormas usulining geometrik talqinini beraylik.
Faraz qilaylik, y_i-1 va y_i – berilgan mos x_i-1 va x_i tugunlarda Eylerning oshkormas usuli yordamida topilgan toʻr yechimlar boʻlsin. Berilgan dif- ferensial tenglama yechimining x_i ,y_i nuqtadan oʻtuvchi grafigini (7-rasm), yaʼni quydagi Koshi masalasi yechimining grafigini qaraylik:
(y⁽ⁱ⁾) (x) = f(x, y⁽ⁱ⁾(x)), y⁽ⁱ⁾(x_i) = y_i .
Bu yechimning x = x_i nuqtasiga oʻtkazilgan urinma (x_i, y_i) nuqtadan oʻtuvchi va burchak koeffitsiyenti

k = (y^(^i^)) (xi) = f(xi, y^(^i^)(xi)) = f(xi, yi). boʻlgan toʻgʻri chiziqdan iborat. (xi-1, yi-1) va (xi, yi) nuqtalarni tutashtiruvchi toʻgʻri chiziq aynan ana shunday toʻgʻri chiziqdir: bu toʻgʻri chiziq tuzilishiga koʻra (xi, yi) nuqtadan oʻtadi, uning burchak koeffitsiyenti esa 7-rasmdan va (21) formuladan koʻrinib turibdiki, aynan oʻsha miqdorga teng, yaʼni:

7-rasm.

Bu dalil quyidagi xulosadan iborat i-chi qadamdagi Eyler oshkormas usu- lining geometrik interpretatsiyasini beradi.