Viii. Parametrga bog’liq masalalar Parametrga bog’liq Koshi masalasi

VIII. Parametrga bog’liq masalalar
Parametrga bog’liq Koshi masalasi.
Quydagi
(1)
(2)
Koshi masalasini qaraylik.Bu yerda haqiqiy uzluksiz funksiya bo’lib,h-ixtiyoriy haqiqiy son , esa noma’lum funksiya
Odatdagidek, (1)-(2) Koshi masalasi yechimi mavjudligini ko’rsatish uchun, unga ekvivalent bo’lgan integral tenglama tuzib olamiz.
Aytaylik, y(x) fuksiya (1)-(2) masalaning yechimi bo’lsin.
Avvalo (1) differensiyal tenglamani ushbu
(3)
ko’rinishida yozib olamiz.Songra nuqtani olib, quydagi
(4)
Koshi masalasining yechimini taopamiz va uni K(x,t)bilan belgilaymiz:

Endi (3) bir jinsli bo’lmagan differensiyal tengalamaning umumiy yechimini topamiz:
(5)
Berilgan (2) boshlang’ich shartlardan foydalanib , o’zgarmaslarni aniqlaymiz: Bundan va (3) belgilashdan foydalanib ,(5) formulani quydagicha yozish mumkin:
(6)
Oxirgi (6) tenglik y(x) funksiyaga nisbatan Volterraning ikkinchi turidagi integral tenglamasini ifodalaydi.
Shunday qilib , (1)-(2) Koshi masalasining yechimi mavjud bo’lsa , u (6) integral tenglamani qanoatlantirar ekan .Aksincha , y(x) funksiya (6) integral tenglamaning uzluksiz yechimi bo’lsa , u (1)- (2) uzluksizligidan (6) tenglikning o’ng tomoni differensiyallanuvchi bo’lishi kelib chiqadi.Bundan esa uning chap tommonining hosilaga ega ekanligi ko’rinadi.Shuning uchun (6) tenglikning ikkala tomonini differensiyallash mumkin:
(7)
Bu tenglikning ong tomonidagi integral ostidagi funsiyaning uzliksizligidan , uni yani bir marta differensiyallash imkoniyati hosil bo’ladi:

(6) va (7) tengliklarda x=0 desak, (2) boshlamg’ich shartlar ham kelib chiqdi.
Shunday qilib, (1)-(2) Koshi masalasining (6) integral englamaga ekvivalent ekanligini ko’rsatishga maffaq bo’ldik.
Endi, quydagi asosiy tasdiqlardan birini bayon qilamiz.
1-teorema.Agar haqiqiy uzluksiz funksiya va haqiqiy son bo’lsa , u holda

1. 
   (1)-(2) Koshi masalasining kesmada aniqlangan yechimi mavjud va yagona ;
   
2. 
   x o’zgaruvchining har bir tayinlangan qiymatida bo’yicha ½ tartibli butun funksiya ;
   
3. 
   Quydagi
   

(8)
(9)
tasvir o’rinli.