I bob Arifmetika va algebraning boshlanishi. Natural va kasr sonlar

9 §. IKKI O’ZGARUVCHILI BIRINCHI TARTIBLI
TENGLAMALAR SISTEMASI
10. Aniqlanmagan tenglamalar
Ma’lumki , ikki o’zgaruvchili tenglamalar ikkita miqdor o’rtasidagi bog’liqlikni ifodalaydi va umuman olganda aniqlanmagan tenglamalar hisoblanadi , chunki cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladi .
Bunday tenglamalar yechimlar bilan qadimda xitoyliklar , greklar va hindlar shug’ullanishgan . Diofant “Arifmetika”sida har xil tartibli aniqlanmagan tenglamalar sistemasi yordamia yechilgan va javob sifatida ixtiyoriy musbat kasr va butun sonlar qabul qilingan bir necha masalalar uchraydi .
Quyida chiziqli aniqlanmagan tenglamani yechishga olib keladigan masalalar keltirilgan :
19 - masala .“ Shunday ikkita son topingki , ularning ayirmasi kvadratlari ayiramasidan 6 marta kata bo’lsin “ .
Masala quyidagi tenglamani yechishga olib keladi

x va y farqli ekanligidan , . Tenglamadan birinchi tartibli aniqlanmagan tenglama kelib chiqadi :

Bunda ba’zi yechimlarni quyidagi jadvalda qayd etish mumkin :

Aniqlanmagan tenglamalarning butun sonlardagi diofant yechimlari bilan Hind olimlari ko’p shug’ullanishgan . Ular chiziqli diofant tenglamalarini yechishning va astronomik masalalar bilan bog’liq ba’zi ikkinchi tartibli masalalarning umumiy metodini ishlab chiqishgan . Hozirda “Diofant analizi” deb ham ataluvchi aniqlanmagan tenglamalarni ko’pgina mashxur matematik olimlar , bular qatorida Ferma , Eyler , Lagranj , Gauss , Chebishev , Zolotarev va boshqa ko’pgina olimlar o’rganish bilan shug’ullanishgan .


10 §. Natural ko’rsatkichli daraja.
15. Harfli belgilashlarning boshlanishi. Darajaga oshirish.
Qadimgi bobiliklar, misrliklar va xitoyliklarda ba’zi matematik tushunchalar uchun alohida belgirlar – irogleflari bore di. Diofantning “Arifmetika” kitobida (III asr) algebraik harfli belgilar uchraydi (73-rasm). Diofant faqat harlarni emas balki uning darajasini ham belgilab olgan."Aritmi" (raqam) deb nomlanmagan noma'lum, bizning "x" belgi rolini o’ynagan.Maxsusnomlar noma'lum ikkinchi darajaga ega bo'lgan "di-iamis ", ya'ni" kuch ", uchinchi daraja -" kub ", to'rtinchi -"Dinamo - dynamis", beshinchi - "dinamo - kub", oltinchisi - "ku -bo-kub "ma’nolarda kelgan. Diofant teskari miqdor va uning darajasini ya’ni larni mavhum birlikni ifodalovchi maxsus belgi bilan belgilagan.
Qo’shish belgisi yo’q edi, qo’shiluvchilar yonma-yon yozilgan.Ayirish belgisi - .Tenglik belgisi – i – grekcha tenglik – “isos” so’zining birnchi harfi.Ushbu belgilar va qisqartmalarga qo'shimcha ravishda,barcha boshqa harakatlar, shartlar va javoblar Diofant tilida og'zaki ifodalangan.Qadimgi Hindistonda esa qo’shish uchun hech qanday maxsus belgi yo’q edi.Ayirish belgisi sifatida ayriluvchi oldidagi nuqta ishlatilgan.Bo’lishda bo’luvchi bo’linuvchining ostiga yozilgan. Qisqartirilgan yozuvlar noma’lum v ma’lumning ko’payishini belgilashda ishlatilgan.Har xil noma’lumlarni bildirish uchun har xil ranglardan foydalanilagan: “qora”, ”sariq”, ”ko’k” va boshqalar.
Qisqartirilgan yozuvlar va belgilarni qo'llashda hindlar Diofantdan ancha ustunroq edi.Diophantus singari, yevropa matematiklari hamXVI asr va qisman XVII asrda ikkinchi darajani “kuch” (lotincha Census) hamda “kvadrat” (Quadratus), uchinchi darajani – “kub” (Cubus) deb atashgan. Viyet quyidagi qisqartmalarni kiritgan: N (Numerus, son) birichi daraja uchun, Q – ikkinchi, C – uchinchi, QQ – to’rtinchi daraja uchun va hakazo. Masalan, 1C – 8Q = 16N aequatur 40 yozuvi zamonaviy yozuvda quyidagicha bo’ladi: .
M.Shitifel o’rniga AAAni yozgan; ingiliz matmatigi T.Garriot XVII asr boshlarida o’rniga aaaa yozgan. Angliyalik Outred 1631-yilda o’rniga Aq yozgan, o’rniga esa Ac, o’rniga Aqq, o’rniga Aqc vahk.
, kabi zamonaviy yozuvlar Dekart tomonidan kiritilgan va o’zining “Geometriya”sida sistematik qo’llangan. XVII asrda Vallis, Nyuto va boshqalar qo’llagan darajaning Dekart ifodasi hozirgacha saqlanib qoldi.