I bob Arifmetika va algebraning boshlanishi. Natural va kasr sonlar

20. Ko'paytirish formulalari. Antik davrda geometrik algebra.
Qadimiy Bobil masihiylarining matnlari shuni ko'rsatadiki, ko'paytirishning ba'zi formulalari (yigi’indining kvadrati, ayirmaning kvadrati, yig’indi va ayirmaning ko’paytmasi) taxminan 4000 yil oldin ma'lum bo'lgan.Ularni bobilliklar va qadimdagi boshqa xalqlardan tashqari, bizning ramziy shaklimizda emas, balki og'zaki ravishda yoki, masalan, qadimgi yunonlarniki kabi – geometrik shakl sifatida bilishgan. Qadimgi Yunoniston olimlari sonlar va harflar bilan emas, balki harflar bilan ifodalangan yoki ikkita harf bilan belgilanadigan to'g'ri chiziq kesmalari bilan tasvirlangan.“ ko’paytma” o’rniga “ va kesmalar orasida joylshgan uchburchak” deyishgan, o’rniga “ kesmada kvadrat” deyishgan.Sonlar bilan emas, kesmalar, yuzalar va jism hajmi bilan ifodalangan bu algebrani XIX asrda geometric algebra deb atashgan.
E vklidningikkinchi "Elementlar" kitobida geometrik shakllangan va isbotlangan bir qator algebraik ayniyatlar mavjud.
Mana misol uchun, unda “yig’indining kvadrati” qanday ifodalangan: Agar to'g'ri chiziq (ya'ni AB segmenti) qandaydir tarzda (C nuqtasi bo'yicha) kesilgan bo'lsa, unda butun tekis chiziqdagi (ya'ni, ABga biriktirilgan) kvadrat bir segmentdagi kvadratga teng (ya'ni, AC va CB ustida qurilgan kvadratchalar yig'indisi) segmentlar orasiga olingan ikkita to'rtburchak bilan birgalikda . Isbot chizmaning o’zidan kelib chhiqadi (76-rasm).
Bobilliklar shuningdek, ko’paytmani "to'rtburchak" deb atashgan, ni -"kvadrat", lekin ular ham sonlar va arifmetikadan foydalanganlar,yunonlar esa hamma narsani geometrik tilga aylantirmoqchi bo'lganlarida.
Geometrik algebraning paydo bo’lishi sabablari va matematika rivojidagi ahamiyati haqida gapirganda, gap eski sinflar haqida boradi. Shu yerda aytib o’tamizki, XVI asrda geometrik algebra o'zining noqulay isbotlash usullari va uzun og'zaki formulalari bilan algebra rivojlanishiga to'sqinlik qildi.Hatto Viyet antik geometrik an'analarga qo'shilib, ko'p jihatdan harfli algebraning imkoniyatlarini cheklab qo’ygan.Faqat XVII asr olimlari, birinchi navbatda Nyuton, geometrik algebrani butunlay tark etishga va yangi, zamonaviy asosda algebra qayta tiklashga muvaffaq bo'ldi.