I. A. Karimov Darhaqiqat, istiqlol davrida barpo etilgan, barcha shart-sharoitlarga EGA bo‘lgan akademik litsey va kasb-hunar kollejlari, oliy o‘quv yurtlarida tahsil olayotgan, zamonaviy kasb-hunar va ilm-ma’rifat

2.Gorner sxemasi

ko`phadni ikkihadga bo`lishdagi qoldiqni hisoblashning Gorner (Xorner Uilyam (1786-1837) – ingliz matematigi) sxemasi deb ataluvchi usulini ko`rsatamiz.

bo`lsin. Bunda

(1) da x ning bir xil darajalari oldidagi koeffitsiyentlarni tenglashtirib quyidagiga ega bo`lamiz:

_-1

Bundan ko`rinadiki,

Bo`linma va qoldiqni hisoblash quyidagi jadval yordamida topiladi.

				...
				...
				...

2-teorema. Agar α soni ko`phadning ildizi bo`lsa, ko`phad x-a ikkihadga qoldiqsiz bo`linadi.

Isbot. Bezu teoremasiga ko`ra, ni x-a ga bo`lishdan chiqadigan qoldiq P(α) ga teng, shart bo`yicha esa P(α)=0. Isbot bajarildi.

Bu teorema P(x)=0 tenglamani yechish masalasini P(x) ko`phadni chiziqli ko`paytuvchilarga ajratish masalasiga keltirish imkonini beradi.

1-natija. Agar ko`phad har xil ildizlarga ega bo`lsa, ko`paytmaga qoldiqsiz bo`linadi.

2-natija. n-darajali ko`phad n tadan ortiq har xil ildizga ega bo`la olmaydi.

Isbot. Agar n- darajali ko`phad ta har xil ildizlarga ega bo`lganda, u -darajali ko`paytmaga qoldiqsiz bo`linardi. Lekin bunday bo`lishi mumkin emas.

Yuqorida qaralgan teoremalardan foydalanib, Fransua Viyet (fransuz olimi, 1540-1603) tomonidan berilgan hamda P(x)=0 butun algebraik tenglamaning a_i haqiqiy koeffitsiyentlari va α_i ildizlari orasidagi munosabatni ifodalovchi formulalarni keltiramiz:

1) .

Agar x ning bir xil darajalari oldidagi koeffitsiyentlari tenglashtirilsa, bo`ladi. Natijada ushbu formulalar topiladi:

2) shu tartibda

uchun:

formulalar topiladi.

Hosil qilingan tengliklarning bajarilishi sonlarining ko`phad ildizlari

2-misol. ko`phadni Gorner sxemasidan foydalanib, ga bo`lishni bajaramiz.

	1	4	-3	5
1	1	5	2	7

Demak,

Bezu teoremasidan ko`phadni ko`rinishdagi ikkihadga bo`lishda hosil bo`ladigan r qoldiq ga teng bo`lishi kelib chiqadi.

3-misol. ga bo`lishdan hosil bo`lgan qoldiqni toping.

Yechish. Qoldiq

ga teng.

2-teorema. Agar α soni ko`phadning ildizi bo`lsa, ko`phad x-a ikkihadga qoldiqsiz bo`linadi.

Isbot. Bezu teoremasiga ko`ra, ni x-a ga bo`lishdan chiqadigan qoldiq P(α) ga teng, shart bo`yicha esa P(α)=0. Isbot bajarildi.

Bu teorema P(x)=0 tenglamani yechish masalasini ko`phadni chiziqli ko`paytuvchilarga ajratish masalasiga keltirish imkonini beradi.

1-natija. Agar ko`phad har xil ildizlarga ega bo`lsa, ko`paytmaga qoldiqsiz bo`linadi.

2-natija. n-darajali ko`phad n tadan ortiq har xil ildizga ega bo`la olmaydi.

Isbot. Agar n- darajali ko`phad ta har xil ildizlarga ega bo`lganda, u -darajali ko`paytmaga qoldiqsiz bo`linardi. Lekin bunday bo`lishi mumkin emas.

Yuqorida qaralgan teoremalardan foydalanib, Fransua Viyet (fransuz olimi, 1540-1603) tomonidan berilgan hamda P(x)=0 butun algebraik tenglamaning a_i haqiqiy koeffitsiyentlari va α_i ildizlari orasidagi munosabatni ifodalovchi formulalarni keltiramiz:

1) . Agar x ning bir xil darajalari oldidagi koeffitsiyentlari tenglashtirilsa, bo`ladi. Natijada ushbu formulalar topiladi:

2) shu tartibda

uchun:

formulalar topiladi.

Hosil qilingan tengliklarning bajarilishi sonlarining ko`phad ildizlari