Ўзбекистон республикаси олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги алишер навоий номидаги самарқанд давлат

Кўпхадларни кўпайтиришни ўрганаётганда аввало арифметик 
мисоллар бир хонали сонни икки хонали сонга, иккита икки хонали 
сонни ва кўп хонали сонларини кўпайтириш мисоллари кўрсатилиши 
мақсадга мувофиқ. 
Сонлар кўпайтмасини кўпайтиришнинг тақсимот қонуни асосида 
топамиз: мисоллар, 825=8(20+5)=820+85. Бу қоидани бирҳадни бирҳадга 
кўпайтиришда 
қўллаймиз. 
Масалан, 
р(а+в)=ра+рв. 
ўқувчиларга 

---

кўпайтиришнинг бу тақсимот қонуни ёзуви деб баён этиш мумкин. Кейин 
икки хонали сонлар кўпайтмасини ҳисоблаш тартибини қараймиз.
Мисол: 9498=94(10-2)=94100-942=(100-6)100-(100-6)2 ва х.к. ёки
Шундай қилиб, кўпҳадлар алгебраик йигиндисида шакл алмаштириш 
тартибини топамиз:
(а+в) 
.
(с+р)=ас+вс+ар++вр, (а-в) 
.
(с-р)=ас-вс-ар+вр. 
Кейин 
ҳадлари 
кўп 
бўлган 
кўпҳадлар 
кўпайтмасини 
шакл 
алмаштиришларини қараш мумкин. Бошидаги қоида асосида ва мулоҳазалар 
кетма-кетлиги билан амалга ошириш зарур. 
Кўпайтувчиларнинг бирортасини алмаштириб ҳам кўпҳадларни 
кўпайтиришга эришиш мумкинлигини айтиб ўтиш мумкин. Масалан, 
(х+у+р)
.
(а+в) да биринчи кўпайтувчини бирор ўзгарувчи билан алмаштириб 
соддарок кўпҳадни ҳосил қиламиз. Сўнгра унинг ифодасини ўрнига қўйиб, 
натижани ҳосил қиламиз. Икки кўпайтувчидан учта ва ундан ортиқ 
кўпайтувчиларни кўпайтиришга ўтиш мумкин. Қоида: ишоралар қоидасини 
қўллаб кўпайтувчи ҳар бир ҳадини кетма-кет кўпайтувчини биринчи ҳадга, 
сўнгра иккинчи ҳадга ва ҳ.к.га кўпайтириш, хосил бўлган кўпайтмаларни 
қўшиш, яъни уларнинг йиғиндисини ёзиш керак. Кўпинча ўқувчилар буни 
системали бажармай хатога йўл қўядилар. Шунинг учун биринчи 
қадамларданоқ ўрнатилган тартиб қоиданинг бажарилишини талаб қилиш 
лозим.
Кўпҳадларни формула бўйича кўпайтиришда қуйидаги машқлар 
ёрдамида амалга оширилиши мумкин: 
1) а ва в сонлар берилган. Қуйидаги ифодалар маъносини айтинг:
а+в, а-в, 2ав, (а+в)(а-в). 
2) Икки сон йиғиндиси квадрати формуласидан фойдаланиб, икки сон 
айирмаси квадрати формуласини чиқаринг. 
3) (а-в)
2
= (в-а)
2 
айниятни исботланг. 
4) Формулаларни келтириб чиқаришда геометрик тасвирлардан 
фойдаланинг. 
5) Келтириб чиқарилган формулаларга доир машқларни қийинлаштириб 
бориш керак. 
6) Киска купайтириш формулаларининг ҳисоблашларга тадбиқига доир 
мисоллар кўриш лозим. 
Кўпҳадларни бўлишни ўрганишда кўп хонали сонни бир хонали сонга 
бўлиш қандай бажарилишини эслаш фойдали. 248:8=(200:8)+(8:8). Шунга 
ўхшаш қоида келтирилиб чиқарилади: кўпҳадни бирҳадга бўлинмаси 
кўпҳаднинг 
ҳар 
бир 
ҳадини 
бирҳадга 
бўлинмалари 
йиғиндисига
алмаштирилади. 
Масалан,
(8ав-2а):2а=(8ав:2)-(2а:2а)=2в-1.















5
2
4
*
3
2
5
5
2
4
*
3
2
5

---

Кўпҳадни кўпайтувчиларга ажратишда қуйидаги саволлар берилиши 
мумкин:
а)18 а
2
в
4
бирҳад берилган. Қайси бирҳадлар кўпайтмаси шаклида 
тасвирлаш мумкин?
б) а
2
+ав кўпҳадни қандай кўпайтувчилар кўпайтмаси шаклида 
тасвирлаш мумкин?
Натижа: а) ҳар бир ҳадни турли кўпайтувчилар кўпайтмаси шаклида 
тасвирлаш мумкин, лекин бу алмаштириш афзалликлар бермайди;
б) кўпҳадга ҳар бир ҳад бир хил кўпайтувчига эга бўлса, уни қавсдан 
ташқарига чиқариш мумкин.
Бундай машқларни қисқа кўпайтириш формулалари ўргангандан сўнг 
ҳам ечиш мумкин. Масалан, ифодалар қийматларини ҳисоблашга доир 
машқлар берилади. Қавсдан ташқарига чиқариш орқали ҳисоблашни 
осонлаштиришга доир машқлар таклиф этилади ва бунда таққослашни 
амалга ошириш керак. Ўқувчиларда кўпҳадни кўпайтувчиларга ажратиш – бу 
уни бутун ифодалар кўпайтмаси шаклида тасвирлаш тушунчаси пайдо 
бўлади. Кўпҳадни кўпайтувчиларга ажратиш тугатилган бўлади, агар 
кўпайтмада ҳар бир кўпайтувчи яна кўпайтувчиларга ажралмайдиган бўлса, 
бу 
билан 
ўқувчиларда 
а+ав+1+в=а(1+в)+(1+в) 
каби 
ҳолларда 
яна 
кўпайтувчиларга ажратиш зарурлигига олиб келади. 
6. Алгебраик каср асосий хоссасидан фойдаланганда каср олдидаги 
ишора ўзгаришига, агар сурат ва махраж кўпҳадлар бўлса, сурат ва махраж 
олдидаги ишорани ўзгартириш кўпҳаднинг ҳар бир ҳади олдидаги ишорани 
ўзгартириш билан тенг кучли. Ўқувчилар бунда қуйидаги хатога йўл 
қўядилар 
(с-р)/с+р=-(с+р)/с+р. 
Ўқувчиларга сурат ва махраж кўпайтувчилари қарама-қарши ифодалар 
бўлса, касрни қисқартириш имконияти борлигини тушунтириш лозим. Бу 
ҳолда каср компонентлари ишорасини ўзгартирмаслик керак, касрни шакл 
алмаштирмасдан қисқартириш керак. Масалан, 
а-4/а+4=-(4-а)/4+а. 
Алгебраик касрларни қўшиш ва айиришни касрлар йигиндисини битта 
касрини айний шакл алмаштириш сифатида қаралади. Бунда оддий касрни 
қўшиш ва айириш қоидаларини эслатиш, бунга ухшаш алгебраик касрлар 
учун амаллар қоидалари келтириб чиқарилади. 
Касрларни қисқартириш ва қўшишда кўпҳадларнинг энг катта 
булувчиси ва касрлар махражлари энг кичик умумий карралиси масаласи 
пайдо бўлади. Лекин бу тушунча алоҳида кўрсатилмайди. 
Турли махражли касрларни қўшиш ва айиришда қуйидаги кетма-
кетликка риоя қилиш зарур: дастлаб касрлар маражлари умумий 
кўпайтувчисига эга бўлмаган хол, масалан, 2х/5р+х/3р сўнгра касрлардан 
биринчи махражи бошқа касрлар махражлари учун каррали бўлган хол, 
масадан, 5а/20в+4а/5в касрлар қаралади ва ниҳоят ҳеч бир махраж 
бошқаларга каррали бўлмаган, лекин баъзилари ёки ҳаммаси умумий 
кўпайтувчига эга, масалан, ах/10ав+4х/15в+3х/18вс қўшишга доир шакллар 

---

орасида умумий махражга келтиришда каср олдидаги ишорани ўзгартириш 
тўгри келадиган машқлар ҳам бўлиши мақсадга мувофиқ. 
Кўпайтувчиларга ажратиш ва умумий махражни топиш қуйидагича 
ёзилиши мумкин: 3а/2а-2в-а-2/3а+9+8а-в/27-3а
2
., бунда 2а-2в га қўшимча 
кўпайтувчи 3(а+3), 3а+9 га қўшимча кўпайтувчи 2(а-3), 27-3а
2
га қўшимча 
кўпайтувчи –1. Умумий махраж 6(а-3)(а+3). Алгебраик йигинди 7а/6(а-3) га 
тенг. 
Касрларни ўрганишда берилган касрлар маънога эга бўлган шартларни 
ҳам таҳлил этиш ва ҳисобга олиш зарур. 
Шунингдек, алгебраик ифодалар тузишга оид матнли масалаларни 
ечишга эътибор бериш ҳам мумкин.Бўлиш ва кўпайтириш қоидалари ҳам 
оддий касрларга ўхшаш ҳолда келтирилиб чиқарилади.