Ўзбекистон республикаси олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги алишер навоий номидаги самарқанд давлат

Мустақил ўрганиш учун саволлар: 
1. Тенглама ва тенгсизликлар йўналиши ҳақида нималарни биласиз? 
2. Тенглама деб нимага айтилади? 
3. Тенгсизликларни ечишнинг қандай усуллари мавжуд? 
4. Тенгламаларнингқандай типлари мавжуд 
5.Тенгламалар ва тенгсизликлар ва уларнинг системалари мактабда 
қандай тартибда ўрганилади?
6.Ностандарт усуллар тенглама ва тенгсизликлар ечишда қандай 
қўлланилишига мисоллар келтиринг. 
ЎН БИРИНЧИ МАЪРУЗА 
Мавзу: Функциялар ва графикларни ўрганиш 
1. Функция тушунчасининг киритилиши ва ўрганилиши. 
2. Асосий элементар функциялар. 
3. Функциялар хоссалари ва графикларини ўрганиш. 
4.Алгебра дарсларида ўқувчилар функционал тафаккурини 
ўстириш услубияти ҳақида 

---

Таянч иборалар: функция, функция аниқланиш, ўзгариш сохалари, 
даврийлиги, жуфт-тоқлиги, графиги, графикларни алмаштиришлар, асосий 
элементар функциялар, хоссалари, графиклари. 
1. Функция тушунчасининг киритилишида асосий эътиборли жиҳат 
шундан иборатки, ўқувчилар турли хил функционал боғланишлар тўғрисида 
умумий тасаввурларга эга, яъни бир миқдорнинг ўзгариши билан иккинчи
бир миқдор қандайдир қонуният асосида ўзгаришини ҳаётий мисолларда 
кўрсатиш зарурати туғилади. Шунинг учун функция тушунчасини ва унинг 
таърифини беришда турмушдаги турли хил жараёнлардаги функционал 
боғланишлар ҳақида зарур тушунча ва билимларни бериш талаб этилади. 
Функция тушунчасига таъриф беришда икки тўплам орасидаги мослик 
тушунчасини ёритиб бериш лозим. Бунда икки тўплам элементлари 
орасидаги бу мослик бирор қонуният асосида рўй беришини ва шунинг учун 
функция икки тўплам: аниқланиш соҳаси ва ўзгариш соҳаси билан берилиши 
ҳамда бунда ҳар бир тўплам элементлари бир-бирига маълум бир 
боғланишда эканлигини тушунтириш зарур.
Ўқувчиларга функция таърифини бергандан сўнг, унинг уч хилда 
берилиши усули ҳақида билимлар бериш имконияти туғилади, яъни: 
аналитик, жадвал, график. Бу усулларнинг бир-бирига муносабатини 
ўрнатиш ҳам укувчиларнинг функция хакидаги дастлабки тушунчаларини 
мустахкамлашга хизмат килади. 
Бунда масалан, кандай килиб, аналитик усулда берилганда унинг 
графигини ясаш, ёки тескари масала, графиги берилганда унинг аналитик 
берилишини топиш ҳақида муҳокама ўтказиш мумкин.Албатта кўпинча 
биринчи масала кўп марта қаралади ва формула функция графигини 
тасвирлаш учун барча имкониятларни беради. Лекин агар функция 
графигига қараб унинг аналитик ифодаси ёки формуласини топиш 
қийинчиликлар туғдиради. Буни сезган холда ўқитувчи шундай график 
машқлардан 
фойдаланиши 
лозимки, 
ўқувчи 
мунтазам 
равишда 
графикдан(унинг эскизидан) функция аналитик кўриниши ҳақида тасаввурга 
эга бўлсин, бу албатта маълум қийинчиликлар ва малакаларни талаб этади. 
Худди шундай ҳар бир бошқа жадвал-формула, формула-жадвал, 
график-жадвал, 
жадвал-график 
каби 
функция 
берилиш 
усуллари 
муносабатларини муҳокама этиб, уларга доир зарур машқларни ечиш 
мақсадга мувофиқ бўлади. 
Бундан ташқари, функция берилиш усуллари махсус ҳолларини ҳамда 
функцияни фақат сўз билан ифода этадиган усул ҳақида ҳам маълумотлар 
бериш мумкин. Масалан, аналитик усулда берилишда фақат битта формула 
эмас, бир нечта формула ёрдамида бериладиган функцияларга мисоллар 
келтириб ўтиш мумкин. Сўз билан ифода қилинадиган функцияларга 
қуйидаги мисолларни келтириш мумкин: антье функция, х дан кичик энг 
катта бутун сон, Дирихле функцияси (барча рационал сонларда 1, 
иррационал сонларда эса 0 га тенг). 
Функция тушунчасини киритишда унинг аниқланиш ва ўзгариш 
соҳалари ошкора берилмаганда қандай қилиб топиш, ёки график усулда 

---

берилганда бу соҳаларни қандай аниқлаш мумкинлиги ҳақида маълумотлар 
бериш ўқувчилар функционал тафаккурини ўстириш учун хизмат қилади. 
Функция ҳақида дастлабки умумий тушунчаларни беришда яна 
функционал 
белгилашларга 
алоҳида 
эътиборни 
қаратиш, 
функция 
қийматларини ҳисоблаш малакаларини таркиб топтириш яхши натижалар 
беради. Бунга доир функциянинг берилган нуқтадаги қийматини топишга 
доир ҳисоблаш, исботлаш ва бошқа масалаларни қараб чиқиш ҳам уларнинг 
функционал тасаввурларини ўстиришда аҳамиятга эга. Шунингдек, баъзи 
жараёнлар ўзгаришини функция билан ифодалаш, физик, геометрик 
мазмунли матнли масалаларни ечиш ҳам ижобий натижалар беради.
2. Мактабнинг 7-синфидан бошлаб қуйидаги функциялар ўрганилади, 
булар: чизиқли функция, квадратик функция, даражали функция, логарифмик 
ва кўрсаткичли функция, тригонометрик функциялар.
Бу функцияларни ўрганиш уларнинг хоссаларини келтириб чиқариш 
асосида амалга оширилади. 
Энг дастлаб чизиқли функция хоссалари батафсил ўрганилиб, 
аниқланиш ва ўзгариш соҳалари, бурчак коэффициенти тушунчаси тадқиқ 
этилиб, унинг графиги тўғри чизиқдан иборат эканлиги таъкидланади. Бунда
дастлаб у=кх сўнгра эса у=кх+в кўринишдаги функциялар текширилиб, 
уларнинг хоссаларидан ўсувчилиги ва камаювчилиги ҳақида билимлар 
берилади.
Квадратик функция эса дастлаб у=х
2
функция ва унинг хоссалари 
муҳокама этилиб, унинг қайси оралиқда ўсиши ёки камайиши, жуфт функция 
эканлиги ордината ўқига нисбатан симметрик жойлашиши ҳақида 
тушунчалар берилади. Шундан сўнг у=ах
2
, у=ах
2
+в ва у=а(х-с)
2
+ в ва ниҳоят 
умумий кўринишдаги квадратик функция қаралади. Бунда ҳар бир функция 
хоссалари ҳамда уни текшириш усуллари баён қилинади. Бунда асосан 
қуйидаги ўқув масалалари муҳим ҳисобланади: функция нолларини топиш, 
унинг графиги(парабола) учлари координаталарини топиш, координата 
ўқлари билан кесишиш нуқталарини топиш, ўсиш ва камайиш оралиқларини 
топиш, функциянинг энг катта ва энг кичик қийматларини элементар усуллар 
билан аниқлаш.
Функцияларни ўрганишда ўқувчиларни функция текширишнинг 
умумий схемаси асосида иш юритишларига кўниктириб бориш зарур. Бунда 
дастлаб функция аниқланиш ва ўзгариш соҳаларини ўрнатиш, функциянинг 
нолларини топиш, ўсиш ва камайиш оралиқларини топиш, функциянинг энг 
катта ёки кичик қийматларини топиш, жуфтлигини текшириш ва булар 
асосида графикни ясаш кўникмаларини таркиб топтириш муҳим аҳамиятга 
эга.
Даражали функцияни ўрганишда п нинг қийматларига мос унинг 
хоссалари 
турлича 
бўлиши 
ҳақида 
билимлар 
берилади. 
Бунда 
умумлаштириш 
ва 
махсуслаштириш 
орқали 
зарур 
билимларни 
шакллантириш имконияти туғилади. 
Кўрсаткичли ва логарифмик функцияларни ўрганишда эса асосий 
эътибор ўқувчиларнинг бу функцияларнинг ўзаро боғлиқлиги асосида 

---

тушунишларига имкон бериш ҳамда тескари функция тушунчасини чуқур 
ўзлаштиришларига зарур тушунтириш ва қўшимча машқлардан фойдаланиш 
яхши натижалар беради. Бундан ташқари, бу функциялар хоссаларини чуқур 
билиш кўрсаткичли ва логарифмик тенглама ва тенгсизликларни ечишда 
асосий ўринни эгаллайди. 
Тригонометрик функцияларни ўрганишда қуйидаги асосий жиҳатлар 
эътиборга олиниши зарур: 
- тригонометрик функциялар даврий функциялар бўлиб, уларнинг 
аниқланиш ва ўзгариш соҳалари, ўсиш ва камайиш оралиқларини таққослаш 
асосида баён этиш зарур; 
- тригонометрик функцияларни текширишда ўқувчилар тегишли 
хоссаларни тригонометрик бирлик доира ва координаталар системасида 
тасвирлаган ҳолда муҳокама юритиш уларнинг функционал тасаввурларини 
ривожлантириш учун асос бўлади. 
Тригонометрик 
функцияларга 
доир 
ўқув 
масалалари 
ичида 
қуйидагилар дарсларда қараб чиқилиши мумкин:тригонометрик функциялар 
қийматларини 
ҳисоблаш, 
тригонометрик 
функциялар 
жуфт-тоқлиги, 
даврийлигини аниқлаш, энг кичик мусбат даврини топиш, энг катта ва энг 
кичик қийматларини топиш, тригонометрик функциялар графикларини ясаш. 
Умуман олганда, ҳар бир элементар функциялар синфини ўрганганда, 
уларнинг асосий хоссалари билан бирга, мактаб математика курси бошқа 
йўналишлари билан ҳам узвий алоқани ўрнатиш зарур, масалан, 
тригонометрик тенглама ва тенгсизликларни ечиш на фақат аналитик усул 
билан балки график усулда ечилиб, уларни таққослаш, функционал нуқтаи 
назардан ечимларни текшириш бу функционал йўналиш тадбиқларини 
ўргатишда алоҳида аҳамиятга эга бўлади.
3. Функцияни ўрганишда унинг графигини ясашга ўргатиш асосий 
малакалардан ҳисобланади. Шунинг учун ҳар бир функциялар синфини 
ўрганишда унинг графиги характерли хусусиятлари ҳамда ясаш алгоритми 
ўқувчиларга таништирилиши зарур. Бунда ўқитувчи умуман график усул 
функцияларни текширишнинг муҳим қуроли эканлигига ишонч ҳосил 
қилиши талаб этилади.
Ҳозирги даврда ҳам функциялар графикларини ясаш амалий 
кўникмаларини таркиб топтириш унчалик ҳам аҳамият касб этмасада, янги 
технологиялар, супер ЭҲМ ларнинг ҳаётга жорий этилиши анча мураккаб 
жараёнлар функционал боғланишларини ва уларнинг графикларини ясаш 
беқиёс имкониятларига эга. Лекин ўқувчилар функционал тасаввурларини 
оширишда график саводхонликни бўлиши, келажакда мутахассисларнинг 
турли жараёнлар боғланишлари ҳақида дастлабки тушунчаларни пайдо 
қилиш учун аҳамиятли ҳисобланади.
Ҳар бир функция графигини ясаш алгоритми мавжудлиги ва графикни 
аниқловчи тегишли маълумотлар ҳажми ўқувчиларда функция графикларини 
оптимал усулда ясаш ёки эскизини ясашга ўргатиш муҳимдир. Бунда 
функция графикларини алмаштиришлари ҳақида ўқувчиларга тушунчалар 
бериш, маълум қисмни ясаш орқали бутун график ҳақида тасаввур бўлишига 

---

эришиш мумкин. Шунингдек, графикни ясашда функция хоссаларидан 
фойдаланиш ҳақида ҳам зарур маълумотлар бериш мумкин: функция 
жуфтлиги ёки даврийлиги хоссалари унинг графигини ясаш учун имкон 
беради.
Функция графикларини алмаштиришларидан ОХ ўқи, ОУ ўқи бўйича 
сижитиш, ёки иккаласинининг ҳам бир вақтда бажарилиши, симметрия, 
графикни 
чўзиш, 
қисиш 
ва 
параллел 
кўчириш 
ҳамда 
унинг 
комбинацияларидан иборат алмаштиришларни қўллашга доир машқлар ечиш 
ўқувчиларнинг графикавий кўникмаларини ўстириш билан бирга уларнинг
ўрганилаётган функция хоссаларини чуқур эгаллашга имкон беради. 
Шунингдек, ўқувчилари функционал маданиятини ўстиришда график савол-
машқлар, тенглама ва тенгсизликларни график усулда ечиш, график асосида 
функциялар хоссаларини ажратишга доир машқлардан фойдаланиш яхши 
натижалар беради. 
4. Маълумки, мактабда ўқувчиларнинг математик билимларини 
чуқурлаштиришда функционал тафаккур савиясини ривожлантириш асосий 
ҳисобланади. Бунда функция тушунчаси ва унинг моҳиятини ўрганишга доир 
махсус машқлар мажмуаси алоҳида аҳамиятга эга. 
1. Биз қуйида функция тушунчасини ўрганишда таклиф этиладиган 
топшириқ ва саволлар тузилишига тўхталиб ўтамиз. 
1) Функциялар турли хил усулларда беришдаги ўзаро алоқани 
ўрнатадиган машқлар: 
- формула бўйича функция кўринишини таниш; 
- график бўйича функция кўринишини аниқлаш; 
- Функция графигини ўқий олиш; 
- Формула билан берилган функцияни текшириш; 
- Формула билан берилган функция графигини ясаш; 
- Ҳарфий коэффициентли тенгламаларни ечиш; 
- График билан берилган функция формуласини топиш; 
- Графиклари бўйича функция параметрларини топиш ва таққослаш; 
- Жадвал бўйича берилиш усулидан формула берилишига ўтиш. 
2) Аналитик берилган функцияни аниқлай олиш алгоритми қуйидаги 
қадамларни ўз ичига олади: 
- агар ўзгарувчилар кўрсатилмаган бўлса, уни аниқлаш; 
- функцияни аргумент ва ўзгармаслар орқали ифодалаш, зарур шакл 
алмаштириришларни бажариш; 
- функциянинг аналитик ифодасидаги ҳадларни аргумент даражалари 
ўсиш (камайиш) тартибида жойлаштириш; 
- ҳосил қилинган ифодани таҳлил этиш ( ҳосил қилинган ифодани маълум 
функциялар аналитик ифодаси билан таққослаш ); 
- ўзгарувчилар орасидаги боғланиш характерини аниқлаш. 
3) Функция графигини ўқий олишга доир қуйидаги машқлардан 
фойдаланиш мумкин: 
- Бу функция графиги бўлиб…. ҳисобланади ва…. деб аталади; 
- График тармоқлари… га йўналган, чунки….; 

---

- Берилган функция графиги ОХ ўқи (ОУ ўқи) ни … ларда кесиб ўтади; 
- Берилган функция х нинг…. қийматида максимал (минимал) қийматга 
эга;
- Х нинг… қийматларида функция ўсади, … қийматларида камаяди; 
- Функциянинг ноллари бўлиб… ҳисобланади.; 
- ….. қийматларида функция мусбат қийматлар, … қийматларида манфий 
қийматлар қабул қилади. 
4) Функцияни текширишга доир масалалар: 
- ўқувчиларга маълум бўлган хоссаларни қўллашга доир масалалар; 
- формула билан берилган функцияларни текширишга оид масалалар. 
- Параметрларга кўра функцияни тадқиқ этиш. 
5) Формула бўйича функция графигини ясашга доир масалаларни ечишда 
асосий эътибор қуйидагиларга қаратилиши зарур: 
Функция графигини тахминий тасвирлай олиш; жадвалсиз, лекин 
формула буйича ясай олиш; функция турини аниқлай олиш; функция 
аниқланиш соҳасини эътиборга олиб, унинг графигини тасвирлай олиш каби 
кўникмаларни шакллантириш талаб этилади.