В принципе достигнуть, либо применяя схемы пе слишком высокого порядка точности, реализуемые на подробных пространственно-временных сетках, либо существенно по­вышая порядок точности схем

*Й^м+1-*Е/ _
О
♦Sk¹*,'-²+
. - + _h%
— «й¹. (6,2,6)
Аппроксимация оператора Лапласа здесь строится таким образом, чтобы искомое значение можно было оп­
ределить, не прибегая к решению системы алгебраических уравнений.
После преобразований (6.2.6) можно представить в виде
«
S+1 ,
2 "Г

^м+‘-ч>Й'"
+ 4#+i* + + Мой¹’*) - (6-2.7)
где а₀ — итерационный параметр, определяемый через се­точные параметры a, h tea =*4o/h^z).
Граничным условием при расчете по формуле (6.2.7) является условие г|) = 0, задаваемое на границе области (другое из граничных условий д^/дп = 0 уже было ис­пользовано при получении граничного условия для вихря

5. 
   ).
   

1
177

2 В. М. Паеконов и др.

Расчет поля функции тока по формуле (6.2.7) прово­дится до получения стационарного решения. Это значит, что внутренний итерационный цикл с параметром s дол­жен заканчиваться при определенном условии, которое характеризует достижение стационарного режима. При плавном изменении в процессе итераций можно ис­пользовать самое простое из этих условий, состоящее в том, что разность значений функции тока в двух сосед­них итерациях s и s +1 не превосходит некоторой задан­ной величины
maxl^¹ — %Vl6.2.8)
При выполнении условия (6.2.8)- расчет уравнения Пуассона по формуле (6.2.7) прекращается, и мы имеем поле вихря и поле функции тока, удовлетворяющие раз­ностным аналогам уравнений (6.2.1), (6.2.2) на временном слое п +1. Для получения решения в следующий момент рассмотренная выше процедура повторяется, с той лишь разницей* что в качестве начальных значений теперь ис­пользуются найденные величины полей г^^¹, ©ij’¹.
. Повторим в краткой форме еще раз всю последователь­ность расчета полей вихря и функции тока при переходе от слоя к слою.

1. 
   Значения o>ij, предполагаются известными внутри расчетной области Q.
   
2. 
   Значения вихря на границе расчетной области Q определяются по формуле (6.2.5).
   
3. 
   Определяется поле вихря внутри области Q на слое гс+1 по формуле (6.2.4) при граничных условиях (6.2.5).
   
4. 
   Определяется поле функции тока при граничном условии ярь = 0 и при использовании найденных значений вихря cofj¹ путем итераций по формуле (6.2.7) до тех пор, пока не будет выполнено условие (6.2.8).
   

Элементарный анализ устойчивости (гл. 1), подтверж­дающийся практикой вычисления, свидетельствует о том, что рассмотренная явная схема устойчива при условии т<с/г²/4. В общем случае с зависит от числа Рейнольдса й убывает от 1 до 0,1 при увеличении этого числа от 0 до 400 -г- 500. Ограничения на величину т, налагаемые этим условием, являются существенными при малом значении, пространственного . шага h и могут быть уменьшены при переходе к схемам с неявной аппрок­симацией уравнений вихря и функции тока (см. ниже §§ 6.3—6.5).
6.2.2. Подходы к построению разностных схем для уравнений Навье — Стокса. Переходя от общих требова­ний и элементарных примеров к описанию разностных схем, применяемых в настоящее время в практике вычис- 'лений, укажем некоторые основные признаки, которыми могут отличаться конкретные схемы.

1. 
   Исходная запись (зависимые переменные V, р или со, и т. д.).
   
2. 
   Схемы для стационарных или нестационарных уравнений.
   
3. 
   Общая структура схемы: явная, неявная.
   
4. 
   Аппроксимация основного оператора, в частности, аппроксимация конвективных составляющих (односторон­ние разности, симметричная и т. д.).
   
5. 
   Метод решения систем разностных уравнений (для неявных схем).
   
6. 
   Способ аппроксимации граничных условий (урав­нения в переменных (со, г|>)).
   
7. 
   Способ решения уравнения Пуассона и критерии точности его решения.
   
8. 
   Расположение пространственных узлов (равномер­ная или неравномерная сетка, использование специаль­ных преобразований независимых переменных и т. д.).
   

В настоящее время существует и используется не­сколько десятков разновидностей разностных схем. Поис­ки наилучших из них имеют, как правило, эвристический характер и в значительной мере опираются на опыт и прямое сопоставление различных вариантов схем. Важ­ность тех или иных из перечисленных выше признаков зависит в значительной степени от порядка чисел Рей­нольдса (Re ~ 1, Re ~ 100, Re ~ 10³).
Для получения численных решений в первом диапа­зоне выбор указанных признаков не является существен­ным. В частности, удовлетворительное решение может быть получено и с помощью явной схемы, рассмотренной выше в п. 6.2.1 (схема для стационарных уравнение ча равномерных сетках и т. д.).
Во втором диапазоне перечисленные признаки суще­ственны, хотя не имеют решающего значения. Получение же удовлетворительных решений при Re ~ 10³ практиче­ски невозможно без дальнейшего усовершенствования разностных схем, связанного с использованием неявных схем, аппроксимирующих нестационарные уравнения, без неравномерных сеток, специальных способов аппроксима­ции граничных условий и т. д. Рассмотрению одной та­

кой схемы будут посвящены следующие три параграфа этой главы.
При дальнейшем изложении мы будем рассматривать двумерные нестационарные уравнения Навье — Стокса, записанные в переменных вихрь, функция тока (6.2.1),

2. 
   
   ’0(
   ⁿ⁺¹,\|)ⁿ⁺¹) ‘ д (*» У)
   
   .