В принципе достигнуть, либо применяя схемы пе слишком высокого порядка точности, реализуемые на подробных пространственно-временных сетках, либо существенно по­вышая порядок точности схем

%j= 2
fe=i


•s;


2
/1=1

. nki
O'k,j sin jy ,

COi.i
_hJ sin^, (6.4.8)

dk,i = 7Г 2 't’i.i^sin1 < ;< М/ — 1- (6.4.9)
“ i=i ^v»
Аналогичные выражения можно записать для b_k)i. Здесь использовано разложение сеточной функции в ряд только в одном направлении. Будем предполагать разностную сетку в зтом направлении равномерной.
Разностная аппроксимация уравнения Пуассона (яв­ляющаяся частным случаем аппроксимации (6.4.3) или

4. 
   ) будет иметь вид
   

1
h

? ⁺ *J+Vi
- Т~"~) - (6.4.10)
Для дальнейшего схему (6.4.10) удобнее переписать сле­дующим образом:
з + ^i-1, з + i + МЧ i+i + ТЛЧ j-i ⁸⁼⁸ p®i, и (6.4.11)
где
aj= — 2 (Rj + Л_х-_Х), р h?R_h yj = h²R^_lf
Rj = 2iy¹(l_j + l_j^₁y\ р = Л*.
П
Nx-i


я к (J + 1)


. тск (ь—1)


sin

одставив (6.4.8), (6.4.9) в (6.4.11), получим
N~-1
. л . зткъ . . пкъ ”| т . тскъ
+
k=i

^sinlv7 + Vi^ah,j-i ^Я1ПлН = P 2d ^bk,i ^sm7iZ’
(6.4,42)
Далее, приравнивая коэффициенты при одинаковых гар­мониках в уравнении (6.4.12), придем к соотношению
Pj'®A, I+l ^ ^к, flk, } + Jк, A, )-i ~ рЪк, h (6.4.13)
^гДе. Лй j = щ + 2 cos 1 / < Ny—i. Система Х6.4.13.).
для определения величин а_к,} при каждом к решается ме­тодом прогонки. Затем функция тока ifoj отыскивается с помощью обратного преобразования (6.4.8).

Использование такой методики ранее ограничивалось большим числом операций Ш²), необходимых для опре­деления коэффициентов дискретного преобразования Фурье. Развитие техники быстрого преобразования Фурье (см., например, [19], [28] из списка литературы к допол­нению 2) позволило сократить количество арифметиче­ских операций до величины порядка Nlog₂N, что делает этот метод весьма перспективным. Результаты конкретных: расчетов показывают, что решение уравнений Пуассода на сетке с числом узлов около 4000 изложенным выше методом занимает примерно столько же времени, сколько четыре итерации по методу переменных направлений (схема (6.4.3), (6.4.4)); при этом невязка уменьшается до величины, соответствующей «машинной точности». При­менение этого метода, как упоминалось выше, ограничи­вается геометрией области, конструкцией сетки (равно­мерная по х сетка), характером граничных условий).
§ 6.5. Аппроксимация граничных условий для вихря
Особенностью постановки задачи для системы урав­нений Навье — Стокса в переменных вихрь, функция то­ка (6.1.15), (6.1.16) являются граничные условия, кото­рые в случае твердой неподвижной поверхности имеют вид
Ч> = 0, ||- = 0. (6.5.1),
Оба граничных условия (6.5.1), относящиеся к систе­ме (6.1.15), (6.1.16), заданы лишь для функции тока и не заданы для вихря. Поэтому при численном решении разностных уравнений для вихря (6.3.11), (6.3.12) возни­кает проблема определения недостающих граничных ус­ловий. Для решения этой проблемы имеется несколько путей; мы остановимся ниже на двух из них.
Всюду ниже для расчета уравнений вихря и функции тока будет предполагаться использование разностных схем на неравномерных сетках, рассмотренных в §§ 6.3, 6.4. Однако формулы для производных вблизи границы при этом будут аппроксимироваться на равномерной сет­ке, что связано с необходимостью сохранения точности в непосредственной близости к границе и удобством напи­сания формул. Для первых и вторых производных, аппроксимируемых внутрь области, используются
следующие формулы:
6
(6.5.2)
(6.5.3)


jAj)
дг?


+


(6.5.4)


г,О

.5.1. Разложение функции тока в ряд вблизи грани­цы. Этот способ, применявшийся еще в работах Тома [281, состоит в том, что функция тока вблизи границы пред­ставляется в виде ряда Тейлора, например,
Если в разложении (6.5.4) отбросить члены выше второ­го порядка по А, то можно получить выражение для вихря на границе в виде
( 6.5.5)
При практическом использовании этой формулы предпо­лагается, что граничные условия (6.5.1) выполняются. Это приводит к простому соотношению, связывающему вихрь на границе с функцией тока в ближайшем к гра­нице узле сетки:
со*, о = 2г|з i/h². (6.5.6)
Связь между вихрем и функцией тока на границе мо­жет быть найдена и непосредственно из уравнения для функции тока, считая его справедливым и на границе области, как это было проделано выше в § 6.2. При этом можно получить формулы и более высокого порядка, ап­проксимируя вторую производную функции тока по фор­мулам типа (6.5.3). Например, полагая в формуле (6.5.3) справедливыми условия (6.5.1), получим формулу второго порядка, связывающую значение вихря на границе и функцию тока в двух узлах сетки, примыкающих к границе:
©0,1 - + О (А*). (6.5.7)
При использовании формул (6.5.6) или (6.5.7) граничное условие «прилипания» (6.5.1) выполняется косвенно; на­
пример, для (6.5.7) на решении имеет место соотношение
1Нг-0<п ⁽⁶'⁵'⁸⁾
откуда следует, что (dty/dn)\_v Ф 0, т. е. на твердой стенке имеется некоторая скорость скольжения, соответствующая порядку точности аппроксимации производной функции тока. При этом вихрь на границе в соответствии с фор­мулой (6.5.7) аппроксимируется с точностью ОШ²).
Приближенные граничные условия (6.5.6) или (6.5.7) замыкают систему разностных уравнений основной схе­мы. Полная последовательность расчета по этой схеме мо­жет быть, например, следующей:

1. 
   По известным значениям поля вихря CDij и поля
   

функции тока определяется поле функции тока
путем итерационного решения уравнений (6.4.3), (6.4.4) при заданном условии на границе области. Воз­можно также использование прямого метода, рассмотрен­ного выше в п. 6.4.2.

2. 
   По формуле (6.5.7) определяется значение вихря на границе области со |г⁺¹-
   
3. 
   По формулам (6.3.11), (6.3.12) определяется поле
   

М , 1- *| ' - К *|
вихря (Dij при найденном граничном условии сог ^и заданном значении cd™j. Далее, весь цикл повторяется. Результаты практически не зависят от того, начинается ли расчет с поля функции тока или с поля вихря.
Использование рассмотренных выше приближенных граничных условий приводит обычно к существенному снижению устойчивости основной схемы. Одним из спо­собов повышения устойчивости является так называемая релаксация (усреднение), согласно которой значения вих­ря на границе представляются в виде
с0г⁺¹ = а/ (г|>^п+1) + (1 - а) ©г, ‘ (6.5.9)
где а — параметр релаксации, изменяющийся в пределах O^a^l; /(\|)ⁿ⁺¹) — зависимость между вихрем на гра­нице и функцией тока вида (6.5.6) или (6.5.7).
Введение релаксации рассмотренного типа, строго го­воря, возможно лишь для стационарных задач, где на решении имеет место сог⁺¹ = сог, т. 6. выполняется со­отношение вида (6.5.6) или (6.5.7), аппроксимирующее с соответствующей точностью условие «прилипания». Для нестационарного режима использование релаксации при­водит к дополнительной по сравнению с (6.5.8) невязке

в выполнении граничных условий «прилипания», которая пропорциональна разности сог — о>г- Для . устранения этой невязки необходимо введение внутреннего итераци­онного цикла, в котором на каждом временном слое п вместе с решением уравнения для вихря и уравнения для функции тока осуществляется релаксация граничных ус­ловий вихря
o+^s+1 = a/(i|>”'^s+1) + (1 - a) <»?•% (6.5.10)
где s — индекс итерационного цикла. Внутренние итера­ции осуществляются до выполнения условия
I C0r’^S+1 — C0r’^S I < 8.
6.5.2_# Непосредственное удовлетворение граничным ус­ловиям. Идея этого подхода состоит в том, чтобы обеспе­чить выполнение разностного аналога граничного усло­вия «прилипания» (dty/dn)_v = 0 на каждом временном ” слое непосредственно, что достигается цодправлением по- Дя функции тока вблизи границы.
Пусть решение системы (6.1.15), (6.1.16) ищется в не­которой области Q₀. Рассмотрим внутри области Q₀ вспо­могательную область Qi, границы которой располагаются от границы основной области £2₀ на расстоянии одного ша-. га сетки. Уравнение для вихря при этом решается в об­ласти Qi, а уравнение для’функции тока—-в области й₀. Последовательность расчета такова:

1. 
   Граничные условия для вихря (Oq₁ на границе об­ласти Qi определяются, исходя из уравнения для функ­ции тока. Для этого используется, например, следующая аппроксимация этого уравнения;
   

- .. + , *и+1-21>и + 1’и-₁