Sonlar nazariyasidan misol va masalalar

Eslatma.  Isbotlangan tengsizlik 
|   
 
 
 
 
| uchub quyi chegarani beradi va shuning 
uchun ham u bizga ma‘lum bo‘lgan 
|   
 
 
 
 
|  
 
 
 
 
   
 tengsizlikni to‘ldiradi. 
 
373.  Bu yerda  
 
 
 
 
 
 
   
 
 
  
   
 
   
 
 
  
   
 bo‘lgani uchun  
 
   
  
 
        
   
 
   
  
 
        
   
 
 
   
 
 
   
   
 
   
 
 
   
   
 
  
   
 
   
   
   
 
   
  
  
   
  
 
        
   
    
   
 
 
   
   
  
  
    
   
  
  
   
  
 
     
   
    
   
 
 
  
   
  
  juft tartibli munosib kasrlar ortadi, toq tartiblilari 
esa kamayadi. 
374.  Bu yerda  
|   
 
 
 
 
|   |   
 
   
 
   
|   |
 
 
 
 
 
 
   
 
   
|  
 
 
   
 
 
 
 
  
 
 
 
 
  
   
 
 
munosabat o‘rinli bo‘lgani uchun  
|   
 
   
 
   
| ifoda  aynan 
 
  
   
 
 dan kichik bo‘lishi 
mumkin. Chunki  372- masalaga ko‘ra  
|   
 
   
 
   
|  
 
 
   
  
   
  
 
 
  bo‘lgani uchun,  
albatta 
|   
 
   
 
   
|  
 
 
    
 bajariladi.  
VI.3-§. 
 
375.  1). 
   
̅̅̅̅   uzluksiz  kasr  yordamida  berilgan  kvadrat  irratsionallikni  topish 
uchun  berilgan ifodani 
             ko‘rinishda yozib olib, uning munosib kasrlarini 
topamiz: 
 
 
 
 
 
Bundan 
    
    
        
 
              kvadrat  tenglamaga  kelamiz.  Uning 
ildizlarini aniqlaymiz. U holda 
 
 
 
 
  
  
  
 
 
 
 
 
    
  
  
       
 
 
 
 
 
    
 
 
    
  
       

---

 
 
297 
 
 
   
 
    √     
 
 
    √  
 
     
√  
 
      √
 
 
      √       
hosil  bo‘ladi.  Berilgan  ifoda  musbat  bo‘lgani  uchun  izlanayotgan  kvadrat 
irratsionallik 
    √       dan iborat bo‘ladi. Javob:    √
 
 
. 
 
2). 
       
̅̅̅̅̅̅̅̅̅   uzluksiz  kasr  yordamida  berilgan  kvadrat  irratsionallikni  topish 
uchun    berilgan  ifodani 
                  ko‘rinishda  yozib  olib,  uning  munosib 
kasrlarini topamiz:  
 
 
 
 
 
  
 
Bundan 
     
    
        
 
             kvadrat tenglamaga kelamiz. Uning 
ildizlarini aniqlaymiz. U holda  
 
   
 
  √       
  
 
  √   
  
  hosil bo‘ladi. Berilgan 
ifoda musbat bo‘lgani uchun izlanayotgan kvadrat irratsionallik  
  √   
  
  dan iborat 
bo‘ladi. Javob: 
  √   
  
. 
 3). 
(     
̅̅̅̅̅̅) uzluksiz kasr yordamida berilgan kvadrat irratsionallikni topish uchun  
berilgan  ifodani 
                ko‘rinishda  yozib  olib  uning  munosib  kasrlarini 
topamiz:  
 
 
 
 
 
Bundan 
      
     
       
 
   
 
               kvadrat tenglamaga kelamiz. 
Uning ildizlarini aniqlaymiz. U holda 
 
   
 
     √              
  
 
     √    
  
 
hosil bo‘ladi. Berilgan ifoda musbat bo‘lgani uchun izlanayotgan kvadrat 
irratsionallik 
   √    
  
 dan iborat bo‘ladi. Javob: 
   √    
  
. 
4). 
             ̅  uzluksiz kasr yordamida berilgan kvadrat irratsionallikni topish 
uchun    berilgan ifodani 
               ko‘rinishda yozib olamiz. Bunda       ̅   
 
 
 
 
  
  
  
2 
  
 
 
 
 
 
    
  
  
  
12 
        
 
 
 
 
 
    
 
 
    
  
  
7 
       
 
 
  
  
  
  
 
 
 
 
 
    
  
   
   
         
 
 
 
 
 
    
 
 
    
  
   
        

---

 
 
298 
 
   
 
 
  Avvalo    ni aniqlaymiz.        
 
 
 dan 
 
 
            . Bu tenglamaning 
yechimi 
 
   
      √   dan iborat bo‘lib,        bo‘lgani uchun         √     
Endi  
               dan foydalanib   ni topamiz.  Buning uchun   ning  munosib 
kasrlarini aniqlaymiz. 
 
 
 
 
 
 
Bundan 
 
       
      
         
       √ 
      √ 
 
(       √ )(      √ )
(      √ )(      √ )
 
     √ 
  
 
hosil bo‘ladi. Shunday qilib izlanayotgan kvadrat irratsionallik 
   √ 
  
 dan iborat 
bo‘ladi. Javob: 
   √ 
  
. 
5).
                      
̅̅̅̅̅̅  uzluksiz kasr yordamida berilgan kvadrat irratsionallikni 
topish  uchun    berilgan  ifodani 
                    ko‘rinishda  yozib  olamiz.  Bunda 
          
̅̅̅̅̅̅   Avvalo    ni aniqlaymiz.                
 
 
 
 
 
 
dan   
     
    
        
 
                 
 
              kvadrat tenglamaga 
kelamiz.  Uning  ildizlarini  aniqlaymiz.  U  holda     
 
   
 
  √   
 
      √   hosil 
bo‘ladi.  Berilgan  ifodada   
   musbat  bo‘lgani  uchun         √    Endi       
               dan foydalanib   ni topamiz.  Buning uchun   ning  munosib kasrlarini 
aniqlaymiz. 
 
 
 
 
Bundan 
 
 
   
  
  
  
  
 
 
 
 
 
    
  
  
   
        
 
 
 
 
 
    
 
 
    
  
  
       
 
 
 
 
  
  
  
  
 
 
 
 
 
    
  
  
   
        
 
 
 
 
 
    
 
 
    
  
  
       
 
 
 
 
  
  
  
1 
1 
  
 
 
 
 
 
    
  
  
  
  
  
       
 
 
 
 
 
    
 
 
    
  
  
  
  
       

---

 
 
299 
 
      
      
         
     √ 
     √ 
 
(     √ )(     √ )
(     √ )(     √ )
 
     √ 
  
 
hosil bo‘ladi. Shunday qilib izlanayotgan kvadrat irratsionallik 
   √ 
  
 dan iborat 
bo‘ladi. Javob: 
   √ 
  
. 
6). 
              
̅̅̅̅̅̅̅                 
 
 
  uzluksiz  kasr  yordamida  berilgan  kvadrat 
irratsionallikni  topish  uchun    berilgan  ifodani 
              
̅̅̅̅̅̅̅                 
 
 
 
ko‘rinishda yozib olamiz. Bunda 
          
̅̅̅̅̅̅                Avvalo    ni aniqlaymiz.  
 
 
 
 
 
 
dan 
   
 
      
     
        
 
                       kvadrat tenglamaga kelamiz. 
Uning  ildizlarini  aniqlaymiz.  U  holda     
 
   
 
  √ 
 
  
 
  hosil  bo‘ladi.  Berilgan 
ifodada  
  musbat bo‘lgani uchun    
  √ 
 
  
 
  Endi             dan foydalanib   
ni topamiz.  Buning uchun 
  ning  munosib kasrlarini aniqlaymiz.         
 
 
     
 
  √ 
 
  
 
   √ 
 
    √ 
 
  
  √ 
 
  
  √ 
 
     hosil  bo‘ladi.  Shunday  qilib  izlanayotgan 
kvadrat irratsionallik 
√ 
 
    dan iborat bo‘ladi.  Javob: √ 
 
   . 
7). 
            
̅̅̅̅̅̅̅̅̅                uzluksiz  kasr  yordamida  berilgan  kvadrat 
irratsionallikni  topish  uchun    berilgan  ifodani 
                  ko‘rinishda  yozib 
olamiz.  Bunda 
                      ni  aniqlaymiz.  Buning  uchun  esa  munosib 
kasrlardan foydalanamiz. 
 
 
 
 
 
dan 
     
    
        
 
             kvadrat tenglamaga kelamiz. Uning 
 
 
 
 
  
2a 
  
 
 
 
 
 
    
  
  
 
    
   
 
          
 
 
 
 
 
    
 
 
    
   
        
 
 
 
 
  
  
1 
1 
  
 
 
 
 
 
    
  
  
7 
12 
        
 
 
 
 
 
      
 
    
  
3 
5 
       

---

 
 
300 
 
ildizlarini aniqlaymiz. U holda   
 
   
 
   √   
  
 hosil bo‘ladi. Berilgan ifodada  
  
musbat  bo‘lgani  uchun
    
   √   
  
     Shunday  qilib  izlanayotgan  kvadrat 
irratsionallik 
   √   
  
 dan iborat bo‘ladi.      Javob:
   √   
  
. 
376.  Bir  xil  chala  bo‘linmali  cheksiz  davriy  uzluksiz  kasrni 
                   
             
 
 
  ko‘rinishida  yozib  olish  mumkin.  Bundan 
 
 
             kvadrat 
tenglamaga kelamiz. Uning ildizlarini aniqlaymiz. 
U  holda     
   
  √ 
 
  
 
  hosil  bo‘ladi.  Shunday  qilib,  izlanayotgan  kvadrat 
irratsionallik 
  √ 
 
  
 
  dan  iborat  bo‘ladi.        Misol  uchun:   
       bo‘lsa,       
              ̅   
   √ 
 
      √           bo‘lsa,                      ̅   
  √  
 
  va 
hokazo. Javob: 
  √ 
 
  
 
. 
377.1). 
 
 
 
 
 
  
 
   
   
  √   bo‘lsa,  α  ni  topish  kerak. 
 
 
 
 
 
  
 
  da   
 
 
   
 
      
bo‘lgani uchun 
 
 
       
 
    ni hosil qilamiz. Ikkinchi tomondan 
 
 
 
 
 
  
 
     
 
 
 
bo‘lgani  uchun 
 
   
       
   
     kelib  chiqadi.  Bu  qiymatlarni     
 
 
 
   
  
   
 
 
 
   
  
   
  
da foydalansak 
   
  √   
 √   
 
   √ 
  
 ekanligi kelib hiqadi. 
Javob: 
   
   √ 
  
. 
2).   
 
 
 
 
 
  
  
   
   
 
  √ 
 
  bo‘lsa,  α  ni  topish  kerak. 
 
 
 
 
 
  
  
  da   
 
 
   
 
      
bo‘lgani uchun 
 
 
       
 
     ni hosil qilamiz. Ikkinchi tomondan  
 
 
 
 
 
  
  
      
  
  
      
 
  
  
     
 
  
 
  
     
 
  
 
  
 
     
 
  
 
   
 
             
bo‘lgani uchun 
 
 
 
 
 
dan 
 
   
        
   
    kelib chiqadi. Bu qiymatlarni    
 
 
 
   
  
   
 
 
 
   
  
   
  da 
foydalansak   
   
  (
  √ 
 
)   
  (
  √ 
 
)  
 
     √ 
     √ 
 
(     √ )      √  
      √        √  
 
    √ 
  
   
ekanligi kelib hiqadi.    Javob: 
   
    √ 
  
. 
 
 
 
 
  
  
5 
2 
 
 
 
 
 
    
  
  
17 
37 
 
 
 
 
 
      
 
    
  
6 
13 

---

 
 
301 
 
378.1).
    √ 
 
          (√ 
 
       )      
 
√ 
 
    
     
 
 
 
  bunda  
 
 
  √ 
 
               (√ 
 
       )       
 
√ 
 
    
      
 
 
 
  
Demak, 
          
̅̅̅     Misol  uchun         da  √         ̅            da  √         ̅          da 
√          ̅  va hakozo.  Endi  
 
 
 
 
  aniqlaymiz. 
 
 
 
 
 
Bundan 
 
 
 
 
 
  
 
   
  
 
  
   Javob:           
̅̅̅  va 
 
 
 
 
 
  
 
   
  
 
  
. 
 
2).
    √ 
 
        
 
  (√ 
 
        
 
)    
 
 
  
√ 
 
     
 
   
 
 
 
√        
  
   
 
 
 
 
 
  
bunda 
 
 
 
√ 
 
     
 
  
      (
√ 
 
     
 
  
   )      
√ 
 
     
 
  
     
 
  
√        
     
 
 
 
       Bu  yerda   
 
 
  
√ 
 
     
 
  √ 
 
      
 
 
    
 
 (√ 
 
        
 
)=
   
 
 
  
√ 
 
     
 
    
 
 
 
 
 
   Demak, 
   
( 
 
       
 
̅̅̅̅̅̅̅̅)   Endi 
 
 
 
 
 aniqlaymiz. 
 
 
 
 
 
 
Bundan 
 
 
 
 
 
  
 
   
 
  
 
  
   Javob:     ( 
 
       
 
̅̅̅̅̅̅̅̅) va 
 
 
 
 
 
  
 
   
 
  
 
  
.