Sonlar nazariyasidan misol va masalalar

379. 
    √ 
 
         ni  uzliksiz  kasrga  yoyamiz.  U  holda  quyidagiga  ega 
bo‘lamiz: 
        (√ 
 
           )      
   
√ 
 
      
     
  
 
 
   bunda  
 
 
 
√ 
 
      
   
 
      (√ 
 
      )
   
     
(√ 
 
      ) (√ 
 
      )
      (√ 
 
      )
     
 
 
      
      (√ 
 
      )
     
 
√ 
 
      
      
 
√        
 
     
 
 
 
   bo‘lib  
 
 
 
 
  
   
2
  
... 
 
 
 
 
 
    
  
  
 
    
  
 
     
… 
 
 
 
 
 
      
 
    
   
  
 
    
… 
 
 
 
 
 
 
 
  
2
 
 
 
... 
 
 
 
 
 
    
 
 
 
 
 
    
  
 
    
 
 
… 
 
 
 
 
 
      
 
    
  
  
 
    
… 

---

 
 
302 
 
 
 
 
√ 
 
      
 
 
  (√ 
 
        )
 
     
√ 
 
        
 
     
 
 
√            
 
   
 
 
 
     bo‘ladi.  Bulardan foydalanib  
 
 
 
 
 ni aniqlaymiz. 
 
 
 
 
 
Bundan 
 
 
 
 
 
    
 
 ekanligi kelib chiqadi.    
 
380. Avvalo berilgan kvadrat uchhadning musbat ildizini aniqlaymiz. 
  
 
                   
   √ 
 
 
 
    
  
      (
   √ 
 
 
 
    
  
   )      
√ 
 
 
 
       
  
     
 
  
√           
     
 
 
 
  bunda      
 
 
  
√ 
 
 
 
       
 
 
 
 
  
√ 
 
 
 
          
 
√ 
 
 
 
          
  
     
√ 
 
 
 
          
  
     
 
  
√ 
 
 
 
       
     
 
 
 
 bo'lib
 
 
 
  
√ 
 
 
 
          
 
√ 
 
 
 
          
  
     
 Demak, 
   
   √ 
 
 
 
    
  
  (    
̅̅̅̅̅)  ya‘ni berilgan tenglamaning musbat ildizi 
davr uzunligi 2 ga teng bo‘lgan sof davriy uzluksiz kasrga yoyilar ekan.  
 
381. 380-misolda  
 
 
  (    
̅̅̅̅̅)  ning   
 
              tenglamaning musbat 
ildizi ekanligini ko‘rsatgan edik. Berilgan tenglamani 
 
 
      
 
 
    ko‘rinishda 
yozish mumkin.  Bundan, Viyet teoremasiga asosan  
 
 
   
 
      
 
 
       
 
      (    
̅̅̅̅̅)       (   
 
  
 
    
   
)     (
 
  
 
    
   
)    
 
    
̅̅̅̅̅ 
  
bo‘lishi kerak ekanligi kelib chiqadi.  Shunday qilib 
 
 
   
 
    
̅̅̅̅̅ 
. 
 
382. Bu holda 
      
   
   
 
       
 
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅  soni     
 
   
   
   
 
   
   
   
  tenglamani 
qanoatlantiradi, ya‘ni 
        
   
 
 
    
   
   
   
      
   
 ko‘phadning  
musbat  ildizi  bo‘lishi  kerak.  Bu ko‘phadning ikkinchi ildizi 
  ga qo‘shma   
̅ bo‘lib,  
         
   
    va           
   
   
   
      
   
   
   
      bo‘ladi, 
chunki  
  ning o‘sishi bilan cheksiz uzluksiz kasrning maxraji o‘sadi.  Shuningdek, 
 
 
 
 
  
  
1 
... 
 
 
 
 
 
    
  
      
       
… 
 
 
 
 
 
      
 
    
  
  
… 

---

 
 
303 
 
cheksiz  uzluksiz kasrning surati 
 
 
 monoton o‘suvchi  bo‘ladi.  Bu holda 
      
bo‘lgani uchun 
  
̅           bo‘lishi kerak.  
383.  Bu yerda  
    (        
̅̅̅̅̅)      
 
     
̅̅̅̅̅ 
 bo‘lgani chun   
       
 
     
̅̅̅̅̅ 
  (     
̅̅̅̅̅)  
 
   
  bo‘ladi. Bunda 
(     
̅̅̅̅̅) soni (380-misol) soni   
 
              tenglamaning  
ildizi. U holda  bu tenglamaning ikkinchi ildizi 381-misolga asosan  
 
 
     
̅̅̅̅̅ 
 
 
   
 
tenglikdan topish mumkin. Bundan 
(     
̅̅̅̅̅)                    (     
̅̅̅̅̅) kelib 
chiqadi.  
384. 381-misolga asosan 
 
 
  (    
̅̅̅̅̅) soni     
 
              tenglamaning 
musbat ildizi ekanligini ko‘rgan edik. Uning ikkinchi ildizi 
 
 
   
 
    
̅̅̅̅̅ 
 
  (   (    
̅̅̅̅̅))  dan iborat bo‘ladi. Berilgan tenglamani  
 
      
 
 
    ko‘rinishda 
yozish mumkin.  Bundan, Viyet teoremasiga asosan  
 
 
   
 
   
 
 
   
 
   
 
 
(    
̅̅̅̅̅)   (   (    
̅̅̅̅̅))  
 
 
  Javob:(    
̅̅̅̅̅)   (   (    
̅̅̅̅̅))  
 
 
  
385.   Bu yerda 
       
 
  
 
 
     
 
    
   
       
    
  va  
       
 
  
 
 
     
 
    
   
       
    
  bo‘lgani uchun 
 
 
 
    
    
 ekanligi kelib 
chiqadi. 
    (       
̅̅̅̅̅̅̅) va      (       
̅̅̅̅̅̅̅) lar mos ravishda quyidagi tenglamalarni 
qanoatlantiradi:  
       
 
   
 
  
 
 
     
 
   
 
    
     
      
           
 
                        
           
 
 
         
 
                                 
           
      
         
 
                                     
Shunga o‘xshash   
        
 
                                   .  
 Bu tenglamalarni yechib  
   
                    √                 
 
                   
         
  
   
                    √                 
 
                   
         
 
larga ega bo‘lamiz.  Bulardan  
 
 
 
      
      
 
 
 
 
kelib chiqadi. 

---

 
 
304 
 
 
386.  Agar 
  natural soni uchun √      
 
   
 
      bo‘lsa, u holda  √     
 
 
   
 
   
 
          va       
 
  √      bajariladi. Shuning uchun ham √     
 
 
ifoda sof uzluksiz kasrga yoyiladi, ya‘ni √     
 
     
 
   
 
       
 
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅   Bundan  
√      
 
   
 
       
 
    
 
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ . Bu esa isbotlanishi talab etilgan tasdiq.  Misol uchun 
√           
̅̅̅    √                
̅̅̅̅̅̅̅̅    
VI.4 -§. 
 
 
387.  Malumki,  agar  α  (haqiqiy  yoki  kompleks  soni  )  biror  ratsional 
koeffisitsiyentli  darajasi 
       bo‘lgan          ko‘phadning  ildizi  bo‘lsa,  α  ga 
algebraik son deyiladi. Shu ta‘rifning bajarilishini tekshiramiz. 
 
1). 
   
 
 
  soni  algebraik  son,  chunki  u 
   
 
 
       tenglamaning,  ya‘ni      
      tenglamaning  ildizi.  Oxirgi  tenglamaning  chap  tomoni  esa  birinchi  darajali  
butun koeffitsiyentli  ko‘phad. 
 
2). 
    √   soni  algebraik  son,  chunki  u   
 
         tenglamaning  ildizi. 
Oxirgi  tenglamaning  chap  tomoni  esa  ikkinchi  darajali    butun  koeffitsiyentli  
ko‘phad. 
 
3). 
    √ 
 
  soni  algebraik  son,  chunki  u 
    √ 
 
   
 
       
 
        
tenglamaning  ildizi.  Oxirgi  tenglamaning  chap  tomoni  esa  uchinchi  darajali    butun 
koeffitsiyentli  ko‘phad. 
 
 
4). 
        √   soni  algebraik  son,  chunki  u          √           
√           
 
           
 
             tenglamaning 
ildizi. 
Oxirgi 
tenglamaning chap tomoni esa ikkinchi darajali  butun koeffitsiyentli  ko‘phad. 
5). 
        √   soni  algebraik  son,  chunki  u          √            √        
  
 
           
 
             tenglamaning  ildizi.  Oxirgi  tenglamaning  chap 
tomoni esa ikkkinchi darajali  butun koeffitsiyentli  ko‘phad. 
6). 
           soni  algebraik  son,  chunki  u                                 
 
 
 
 
   
 
             tenglamaning  ildizi.  Oxirgi  tenglamaning  chap  tomoni  esa 
ikkinchi darajali  butun koeffitsiyentli  ko‘phad. 
7). 
    √    √  soni algebraik son, chunki u     √    √     
 
       √    
  
 
    
 
        
 
     
 
       tenglamaning  ildizi.  Oxirgi  tenglamaning 
chap tomoni esa to‘rtinchi darajali  butun koeffitsiyentli  ko‘phad. 
8). 
    √    √ 
 
 
  soni  algebraik  son,  chunki  u 
    √    √ 
 
 
   
 
      √ 
 
 
  
 
    
 
        
  
     
 
     
 
        tenglamaning 
ildizi. 
Oxirgi 
tenglamaning chap tomoni esa                  12- darajali  butun koeffitsiyentli  ko‘phad. 

---

 
 
305 
 
9). 
        √ 
 
  (a,b  lar  ratsional  sonlar)  soni  algebraik  son,  chunki  u 
       
√ 
 
         
 
             
 
         tenglamaning  ildizi.  Oxirgi  tenglamaning 
chap tomoni esa 
    darajali  ratsional koeffitsiyentli  ko‘phad. 
10). 
         √  (a,b lar ratsional sonlar) soni  algebraik son, chunki u        
 √           
 
        
 
         
 
        tenglama-ning 
ildizi. 
Oxirgi 
tenglamaning chap tomoni esa ikkinchi darajali  ratsional koeffitsiyentli  ko‘phad. 
11). 
       
 
 
      
 
 
    soni  algebraik  son,  chunki  u 
       
 
 
      
 
 
   
 
 
                
 
       tenglamaning  ildizi.  Oxirgi  tenglamaning  chap  tomoni 
esa n- darajali  butun koeffitsiyentli  ko‘phad. 
12). 
         
 
  soni algebraik son, chunki 
              
 
                  
Ikkinchi 
tomondan 
esa 
              
 
     
 
         
 
           
 
        
 
     
 
   
 
  
dan
              
 
            
 
             
 
             
 
           
    
 
  kelib chiqadi. Oxirgi tenglikda       
 
 deb olsak 
     
 
            
 
 
    
 
  
 
 
 
 
        
 
      
 
  
 
        
 
      
 
  
 
       tenglikka 
kelamiz.  Demak 
         
 
  soni 
  
 
    
 
          tenglamaning  ildizi.  Oxirgi 
tenglamaning chap tomoni esa 3- darajali  butun koeffitsiyentli  ko‘phad. 
388.  Algebraik  sonning  tartibi  deb  u  ildizi  bo‘lgan  ratsional  koeffitsientli  eng 
kichik darajali ko‘phadning daraja ko‘rsatkichiga aytiladi.  
1).
                                                      
 
    
 
 
       
 
   
 
       
 
          
 
   
 
        Bu  yerdan              ning  2- 
darajali    butun  koeffitsiyentli    ko‘phadning  ildizi  ekanligi  kelib  chiqadi.  Lekin 
            soni  darajasi  2  dan  kichik  bo‘lgan  ratsional  koeffitsiyentli  ko‘phadning 
ildizi  bo‘la  olmaydi.  Agar 
           tenglamaning  ildizi  desak,                  
,         
     
 ni hosil qilamiz. Shart bo‘yicha 
       Shuning uchun ham qaralayotgan 
son ikkinchi tartibli algebrai sondir. 
2).
     √ 
 
  sonining 
 
 
         tenglamaning  ildizi  ekanligini  387.  3-misolda 
ko‘rgan  edik.  Oxirgi  tenglamaning  chap  tomoni  esa  uchinchi  darajali    butun 
koeffitsiyentli  ko‘phad. 
 Lekin 
    √ 
 
  soni  darajasi  2  dan  kichik  bo‘lgan  ratsional  koeffitsiyentli 
ko‘phadning ildizi bo‘la olmaydi. Agar 
√ 
 
 ni  
 
 
             tenglamaning ildizi 
desak,  
√ 
 
   √ 
 
          √ 
 
   √ 
 
        √ 
 
   √ 
 
 
 
   
 
→ 
 √ 
 
        
 
√ 
 
   
 
  ni  hosil  qilamiz.  Bu  yerda 
√ 
 
    √ 
 
     bo‘lgani 
uchun 
 √ 
 
        
 
(      √ 
 
)    
 
  kelib  chiqadi.  Bundan   
     
 
 √ 
 
 
        
 
     
 
    √ 
 
 
     
 
   
 
   
 
   ratsional  son  bo‘lishi  kerak.       
 
     

---

 
 
306 
 
bo‘lgani uchun  bunday bo‘lishi mumkin emas. Shuning uchun ham qaralayotgan son 
uchinchi tartibli algebraik sondir. 
3).
     √ 
 
    
sonining 
       
 
           
 
    
 
              teng-
lamaning  ildizi.    Oxirgi  tenglamaning  chap  tomoni  esa  uchinchi  darajali    butun 
koeffitsiyentli  ko‘phad. 
 Lekin 
    √ 
 
     soni  darajasi  3  dan  kichik  bo‘lgan  ratsional  koeffitsiyentli 
ko‘phadning  ildizi  bo‘la  olmaydi.  Agar 
    √ 
 
     ni     
 
             
tenglamaning ildizi desak,  
(√ 
 
   )
 
   (√ 
 
   )           √ 
 
         √ 
 
 
            (√ 
 
         √ 
 
)
 
             
 
   √ 
 
            
       
 
√ 
 
             
 
   √ 
 
          
 
√ 
 
             
 
            ni 
hosil  qilamiz.  Bu  yerda 
√ 
 
                     √ 
 
  bo‘lgani  uchun 
 √ 
 
 
        
 
                    √ 
 
               
 
              kelib  chiqadi. 
Bundan 
        
 
     √ 
 
         
 
                         
 
            
√ 
 
 
     
 
               
 
       
     
 
  
   ratsional  son  bo‘lishi  kerak.         
 
     
   bo‘lgani uchun  bunday bo‘lishi mumkin emas. Shuning uchun ham qaralayotgan 
son uchinchi tartibli algebraik sondir. 
4).
     √    √   soni   
 
       √          
 
 
 
        
 
     
 
     
  tenglamaning ildizi.  Oxirgi tenglamaning chap tomoni esa to‘rtinchi darajali  butun 
koeffitsiyentli  ko‘phad. 
 Lekin 
    √    √  soni darajasi 4 dan kichik bo‘lgan ratsional koeffitsiyentli 
ko‘phadning ildizi bo‘la olmaydi. Agar 
    √    √ ni   
 
    
 
             
tenglamaning ildizi desak 
(√    √ )
 
   (√    √ )
 
   (√    √ )          
 √     √     √     √          √          √     √            
        √           √     √               ni hosil qilamiz. Bu yerda          
ratsional sonlar bo‘lgani uchun 
                    
 
                                                    Shuning 
uchun ham bu tenglik o‘rinli emas. Demak,  qaralayotgan son to‘rtinchi tartibli 
algebraik sondir. 
5).
     √    √  
soni
 
 
       √       
 
    
 
        
 
     
 
     
 tenglamaning ildizi.  Oxirgi tenglamaning chap tomoni esa to‘rtinchi darajali  butun 
koeffitsiyentli  ko‘phad. 
 Lekin 
    √    √   soni  darajasi  4  dan  kichik  bo‘lgan  ratsional  koeffitsiyentli 
ko‘phadning  ildizi  bo‘la  olmaydi.  Agar 
    √    √ ni     
 
    
 
             
tenglamaning  ildizi  desak 
(√    √ )
 
   (√    √ )
 
   (√    √ )          
 √     √      √     √          √           √     √            

---

 
 
307 
 
        √            √     √                ni hosil qilamiz. Bu yerda          
ratsional 
sonlar 
bo‘lgani 
 
uchun 
                    
 
                                                     Shuning 
uchun  ham  bu  tenglik  o‘rinli  emas.  Demak,    qaralayotgan  son  to‘rtinchi  tartibli 
algebraik sondir. 
6).
            soni       
 
        
 
            tenglamaning  ildizi.    Oxirgi 
tenglamaning  chap  tomoni  esa    ikkinchi  darajali    butun  koeffitsiyentli    ko‘phad.  
Lekin 
         soni  darajasi  2  dan  kichik  bo‘lgan  ratsional  koeffitsiyentli 
ko‘phadning ildizi bo‘la olmaydi. 
 Agar 
         ni            tenglamaning ildizi desak                        
  va        mumkin bo‘lmagan tenglikka ega bo‘lamiz. Demak,  qaralayotgan son 2- 
tartibli algebraik sondir.