Sh. Ismailov, A. Qo’chqorov, B. Abdurahmoi

12 n

111л a² b³ c⁶ _

1. 
   —\ \— — 1 ^ \ \ > abc tengsizlik o rinli.A
   bo’lsa,
   
   bo’lsa,
   
   bo’lsa,
   gar x, y, z > 0 va x + y + z — 2 bo’lsa, -y/x³y + y³z + z³x +yjxy³ + yz³ + zx³ < 2 ni isbotlang.
   
2. 
   Agar a, b, c > 0 va a² + b² + c² — 3 (2 - ab)2 - bc)2 - ac) > 1 ni isbotlang.
   

Agar a, b, c > 0 va a + b + c — 2
a + b b + c a + c

a

> 4

ni isbotlang.

b

c

a

b + c a + c a + b

b

§6. Gel’der tengsizligi.

Teorema. — +¹ — 1 shartni qanoatlantiruvchi barcha musbat p, q sonlar va a,-,

p

q

bj, j = 1, ..., n sonlar uchun

Zl ai l^p

V i—1 У

Z i b i^q

V i—1 У

(4)

<

i—1

tengsizlik har doim to’g’ri.

n n

Isboti. Z | ^ i^p ^ 0, Zlbl^q Ф 0 deb faraz qilamiz (aks holda (4) tengsizlik

i—1 i—1

bajarilishi ravshan). Yung tengsizligini qo’lla

b

IbI

a

a

I—

i—1f n

II

<

<

Л p ( ⁿ

Л p f ⁿ

II bk

II bk

a

a

bI_— ^I

i—1 n

Ii

V к—1 J

V к—1 J

V к—1 J

V к—1 J

^{n 1} a ^|p

I b |^q

I

i

<

^i—1 pI ¹ a^{1 p} qI^{1 b}k¹

к—1 к—1

ga ega bo’lamiz. Bu yyerdan (4) tengsizlik kelib chiqadi

.

I
I ab

<
zoh. Gyol’der tengsizligining p = q= 2 dag

i

i—1

Koshi-Bunyakovskiy-Shvarts tengsizligi deb ataluvchi bir muhim hususiy holini aytib o’tamiz.

1. 
   misol (Minkovskiy tengsizligi). Ixtiyoriy musbat aj, bj (j = 1,...,n) sonlar va natural p son uchun
   

(Ia \b_t)^p)^{11 p}<(Iap)^{11 p} (Ibp) ^{11 p} (5)

tengsizlikni isbotlang

Yechilishi. a +Ь*)^р = ai^ a +b_к)^р'¹ + Ь* a +b])^p'¹ (к=1, 2, ..., n ) tengsizlikni qo’shib,

I a +Ь])^р =I ak a +Ь])^р'¹ + Ibk a +Ь])^{р -1} ni olamiz.

4. 
   tengsizlikka ko’ra
   

1. 
   a_t a +b_k)^p-' < (Iap) ^1p (I(a* \ b_k )^q(P-1)) "^q,
   

!Ь] a +Ь])^р1 <(Ibp) ^1/p (I(a_t \ b_t )^q(P-1))"^q

larga ega bo’lamiz, bu yyerdan q(p-1)= p tenglik yordamida (6) tengsizlik kelib chiqadi

1. 
   .(a₁b₁ + a₂b₂) < (² + a2 )² * (² + b₂ )² Gyol’der tengsizligining p — q — 2 holiga ko’ra o’rinli.
   

a₁³ + a2, + a₃³

b₁³ + b₂³ + b₃³

Gyol’der

5 _5

f 5 5 5Л₂ f 5 5 5Л₂

2) {a_lb_l + a₂b₂ + a₃b₃) <

5 5

tengsizligining n — 3, p — 3, q — 2 holiga ko’ra o’rinli.

3. 
   Agar a, b, c > 0 va a³ + b³ + c³ — 3 bo’lsa, a⁴b⁴ + b⁴c⁴ + c⁴a⁴ < 3 ni isbotlang.
   
4. 
   Agar a, b, c > 0 bo’lsa, a² + b² + c² + 2abc +1 > 2{ab + bc + ac) isbotlang.
   

a + b + c /a + b + c

3. 
   Agar a, b, c > 0 va abc — 1 bo lsa, > ⁵ ni
   

isbotlang.

Amaliyot uchun masalalar.

masala. Tengsizliklarni isbotlang

:
n! >

(1)

(2)

(3)

(4)

n! <

n! > n², Vn e N: n > 3; n! > 2^n—1, Vn e N: n > 3;

, Vn e N: n > 2;

n e N:

ⁿ

n

ⁿ

n

n +1

ⁿ

n

(5)

< n < e

V ^e J

Vn e N.

t
ga egamiz. Induktsiya bazasi

V-V
engsizlikni isbotlaymiz. Induktsiya bazasi. n — 1 da: 1! > isbotlandi

.

t
(к

V 3 у

Induktiv o’tish. n — к da к! >
engsizlik to’g’ri deb faraz qilamiz

.

n — к \ 1 da tengsizlik bajarilishini isbotlaymiz:

V

ga egamiz.

(к \ 1 ^^к \¹⁾ 3