Sh. Ismailov, A. Qo’chqorov, B. Abdurahmoi

^a—^a—...—— va n

o’rta garmonik qiymat N (a)=N_n= — _--ⁿ — larni aniqlaymiz.

a1 + a₂ +... + an

X
x² + y² . n₂ = 2 xy 2 ’ x + y
ususan x, y musbat sonlar uchun bu o’rta qiymatlar quyidagicha aniqlanadi:

A2=^; G2=4^; K2=_]}

2. 
   O’rta arifmetik va o’rta geometrik qiymatlar haqida Koshi tengsizligi va uning turli isbotlari.
   

Teorema. A_n >G_n va A_n = G_n tenglik faqat va faqat aj=a₂ =... = a_n tenglik bo’lganda o’rinli.

1. 
   Isboti. x>1 da e^{x -1}>x ekanligi ma’lum, e^{x -1}=x tenglik esa faqat x=1 da bajariladi. Bundan:
   

1= e⁰ = exp X~^a^ ^-1| = Пexp^~^a~ -1) >П

—

\i
11^A(a) j i—1 ^A(a) i—1 ^A(a) v^A(a) J

a.

Demak, A_n > G_n va tenglik esa faqat —ⁱ— — 1, i=1, 2,., n bulganda bajariladi.

An (a)

Bundan esa a₁=a₂ = ... = a_n = A_n ekanligi kelib chiqadi

.
A, > G_n ekanligini isbotlaymiz: n — 2 da _yJa₁ * a₂ < ^a1 +^a2 . Bu tengsizlik

ixtiyoriy musbat a₁ va a₂ sonlar uchun o’rinli bo’lgan ((-y[a) > 0

tengsizlikdan oson hosil qilinadi. Berilgan tengsizlikni ixtiyoriy p ta natural sonlar uchun to’g’ri deb, p+1 ta natural sonlar uchun to’g’riligini isbotlaymiz. Bu sonlar a₁, a₂, ...,a_n, a_n+1 bo’lsin. a_n+1 ularning orasida eng kattasi bo’lsin. Ya’ni,

1. 
   + a~ +... + a
   

a_n+₁ > a₁,... a_n+₁ > a_n. Shuning uchun a_n+₁ > -. Quyidagicha

n

belgilash kiritamiz:

1. 
   + a₂ +... + a , a. + a₂ +... + a + a +₁ n * A + a +₁
   

>(AnГ¹ +(4,)" a —(A)ⁿ-(4, +a) — (a.)ⁿ *4,,. 8

a,p, \a₂p₂ \...\a p 19

p_x \ p₂ \... \ p_n 19

^гк + ^ ^к+¹ 32

p q 55

(4,+1 У+¹ — 4, + ^r —(4. )"¹ + ^c-!+1 (A

n
a
+ 1 „1 / . \n ОС

n
n +1
+ 1

>(AnГ¹ +(4,)" a —(A)ⁿ-(4, +a) — (a.)ⁿ *4,,.

Farazga ko’ra, (A_n)" > a₁ *a₂ *... * a_n. Buni e’tiborga olib

(
n ^an+1 .
^An+1 )"+¹ >(^An )" * ^an+1 > ^a1 * ^a2 *... * ^an • ^an+1 . ^{Bundan A}"+1 > "+^{1 a}1 * ^a2 *... * a

Tenglik a₁ — a₂ —... — a_n bo’lganda o’rinli bo’ladi.

isbot. Teoremaning isboti quyidagi tasdiqqa asoslangan

:

2. 
   
   

Agar nomanfiy b₁, b₂,...,b_n sonlar b₁ *b₂ *... * b_n — 1 tenglikni qanoatlantirsa, u holda b₁ + b₂ + ... + b_n > n.

Bu tasdiqni masalani matematik induktsiya usulida isbotlaymiz. n — 1 da masala ravshan. n — k da b₁ *b₂ *... * b_k — 1 tenglikni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy b₁, b₂, ...,b_k - nomanfiy sonlar uchun b₁ + b₂ + ... + bk > k tengsizlik o’rinli bo’lsin. n — k +1 da b₁ *b₂ *... * b_k+1 — 1 tenglikni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy b₁, b₂, ...,b_k+1 - nomanfiy sonlar uchun b₁ *b₂ *... * b_k * b_k+1 > 1 tengsizlikni qanoatlantirishini ko’rsatamiz.

Umumiylikka zarar etkazmasdan b_k < 1 < b_k+1 deb hisoblaymiz. Unda

b₁ *b₂ *... * b_k—1 * (b_k * b_k+1) — 1 bo’lgani uchun induktsiya faraziga ko’ra

^b1 + ^b2 + ... + ^b_k-1 + ^b_k * ^b_k+1 > ^{k bo}’^ladi. E^{ndi b}_k + ^b_k+1 > ^bk * ^b_k+1 ^{- 1 ekanli}gⁱⁿⁱ isbotlash etarli. Bu (1 + b_k)*(b_k+1 -1)> 0 tengsizlikka teng kuchli b_k < 1 <b_k+1 bo’lgani uchun ohirgi tengsizlik o’rinli ekanligi ravshan.

3.