Sh. Ismailov, A. Qo’chqorov, B. Abdurahmoi

к-5	5	5^5
f 5 Л
	—		— =		—
5!	V^6		6	5!	V^6 J

<


к+1-5

Matematik induktsiya printsipiga asoslanib ixtiyoriy n > 6 natural son uchun (8) tengsizlik bajariladi deb xulosa qilamiz.

4. 
   masala. Ixtiyoriy n natural son uchun
   

sin кх| < к |sin x |, (9)

tengsizlik o’rinli bo’lishini isbotlang

.Induktsiya bazasi. n = 1 da: |sin1x| < 1 • |sin x|. Induktsiya bazasi isbotlandi. Induktiv o’tish. n = к da |sin Ax| < к|sin x|tengsizlik bajariladi deb faraz qilamiz. ^т(к +1)x| < (к + 1)|sin x| tengsizlik bajarilishini isbotlash kerak.

^т(к +1) x| = |sin кх cos x + sin x cos Ax| < |sin Ax| • |cos x + sin x |cos Ax| <

<к| sin x <¹ <1

• 
  (к + 1)|sinx .
  

Matematik induktsiya printsipiga asoslanib, ixtiyoriy n natural son uchun (9) tengsizlik bajariladi deb xulosa qilamiz.

5. 
   masala. Ixtiyoriy n natural son uchun
   

1. 
   +... + > 1, (10)
   

n +1 n + 2 3n +1 tengsizlik o’rinli bo’lishini isbotlang.

S, = —¹—^ ¹ +... + ¹— deb belgilab olamiz.

^к к +1 к + 2 3к +1

Induktsiya bazasi. n = 1 da: S = ——I—¹—+... + ¹— =¹³ > 1.

1. 
   1 +1 1 + 2 3-1 +1 12
   

Induktsiya bazasi isbotlandi.

Induktiv o’tish. n = к da S_k =—¹—! ¹ +... + ¹— > 1 tengsizlik

к +1 к + 2 3к +1

bajariladi deb faraz qilamiz.

11. 
    1111,
    

S₁+₁ = + +... + + + + > 1

^к+¹ к + 2 к + 3 3к +1 3к + 2 3к + 3 3к + 4

tengsizlik bajarilishini isbotlash kerak.

11. 
    1 1 1 1 f 1 1 ^л
    

S =

^к
к +1 к +1
+¹ к + 2 к + 3 3к +1 3к + 2 3к + 3 3к + 4
= + 1 + 1 + + 1 + 1 + 1 + 1 1_ > ₁

= к + 1 + к + 2 ⁺ к + 3 + ". ⁺ 3£ + 1 + 3k + 2 ⁺ 3£ + 3 + 3k + 4_ k + 1 > .

>(AnГ¹ +(4,)" a —(A)ⁿ-(4, +a) — (a.)ⁿ *4,,. 8

a,p, \a₂p₂ \...\a p 19

p_x \ p₂ \... \ p_n 19

^гк + ^ ^к+¹ 32

p q 55

6. 
   masala. x⁴ + y⁴ + z⁴ > xyz(x + y + z) tengsizlikni isbotlang, bu yerda x, y, z - musbat sonlar.
   

Yechilishi. 1-masalaga ko’ra:

x⁴ + y⁴ + z⁴ = (x²)² + (y²)² + (z²)² > x²y² + y²z² + x²z² ga egamiz. Bu yerdan esa

о о о о о о

x y + y z + xz > xyyz + yzzx + zxxy = xyz (x + y + z) ni olamiz.

7. 
   masala. x⁴ + y⁴ + z⁴ + u⁴ > 4xyzu tengsizlikni isbotlang, bu yerda x, y, z, u - musbat sonlar.
   

Л Л OO/l Л oo

Yechilishi. x + y> 2 xy, z + u> 2 z u ga egamiz. Demak,

Л Л Л Л oo oo о о о о

x + y + z + u > 2x y + 2 z u . Bundan tashqari x y + z u > 2xyzu . Demak, x⁴ + y⁴ + z⁴ + u⁴ > 4xyzu .

8. 
   masala. -2(x + y)² + 4(x + y) > xyfy + yjx tengsizlikni isbotlang, bu yerda x, y - musbat sonlar.
   

Yechilishi. Birinchidan, 2 (x + y )² + 4 ( x + y) = 2( x + y)(x + y + -2).

Ikkinchidan, ^x + ^y >Jxy , x + y +¹ = x +¹ + y +¹ > л/x + л/y .

2. 
   2 4 4
   

Demak, -2(x + y)² + 4(x + y) = yjxy (^/y + Vx) > x^ + yVx .

9. 
   masala. x > 0, y > 0 va x + y = 2 bo’lsin. x² y ²( x² + y²) < 2 tengsizlikni isbotlang.
   

Aniqlik uchun x = 1 + s, y = 1 -s, 0 1 deb olamiz. U holda x² y ²( x² + y²) = (1 - s)²(1 + s)²((1 - s)² + (1 + s)²) = (1 - s²)²(2 + 2s²) =

= 2(1 - s²)(1 - s²)(1 + s²) = 2(1 - s²)(1 - s⁴) < 2

10. 
    masala. a va b bir xil ishorali sonlar bo’lsin.