Reja Matritsalar algebrasining elementlari

1
	6
2		7
3		8
4		9
5		10

1-misol.

sistemani yeching.

Yechish (1-jadval).

3-Iteratsiyani bajarib bo‘lmaydi, chunki oxirgi satrdagi koeffitsiyentlar barchasi 0 bo‘lib, o‘ng tomonda noldan farqli 6 soni turibdi (ya’ni 0=6 ziddiyatli tenglikka egamiz). Demak, sistema yechimga ega emas.

1-jadval

Iteratsiya	Bazis	x1	x2	x3	O‘ng tomon	Nazorat ustuni
Boshlang‘ich Iteratsiya		1 -1 1	2 -2 2	-1 3 -4	0 2 3	2 2 2
1-Iteratsiya	x1	1 0 0	2 0 0	-1 2 -3	0 2 3	2 4 0
2-Iteratsiya	x1 x3	1 0 0	2 0 0	0 1 0	1 1 6	4 2 6

Gauss usulida yeching

1.		2.
3		4
5		6
7		8
9		10
11		12
13		14
15		16

1. 
   
   

Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini matrisa usulidan foydalainib yeching:

Nazorat savollari
1. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini matritsalar yordamida yozishni ko‘rsating.

2. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini matritsalar yordamida qanday yechiladi?

3. Chiziqli tenglamalar sistemasi haqidagi Kroneker-Kapelli teoremasini ayting.

4. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Jordan-Gauss usulini tushuntirib bering.

5. Pog‘onali va uchburchak sistemalar haqida tushuncha bering.

6. Matritsaning xos soni va xos vektori haqida tushuncha bering.
MAVZU: ТЎҒРИ ЧИЗИҚ ТЕНГЛАМАЛАРИ ВА УНГА ДОЙР АСОСИЙ МАСАЛАЛАР. ИККИНЧИ ТАРТИБЛИ СОДДА ЧИЗИҚЛАР. ИККИНЧИ ТАРТИБЛИ ЧИЗИҚНИНГ УМУМИЙ ТЕНГЛАМАСИНИ КАНОНИК КЎРИНИШГА КЕЛТИРИШ. ВЕКТОРЛАРНИНГ СКАЛЯР, ВЕКТОР ВА АРАЛАШ КЎПАЙТМАЛАРИ. ФАЗОДА ТЕКИСЛИК ВА ТУҒРИ ЧИЗИҚ ТЕНГЛАМАЛАРИ.
Reja

4. 
   To‘g‘ri chiziqning tekislikdagi tenglamalari
   
5. 
   To‘g‘ri chiziqning normal tenglamasi
   

Berilgan ikki nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasi
Agar nuqtalar berilgan bo‘lib, ular orqali o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzish talab qilingan bo‘lsa, ular ustma-ust tushmagan holda bu masala yagona yechimga egadir (5.1.5-rasm).

bo‘lgan holda talab qilingan tenglama , bo‘lganda esa bo‘lishi ravshandir. Endi, va bo‘lgan holni qarasak, markazi nuqtada bo‘lgan

dasta to‘g‘ri chiziqlaridan orqali o‘tuvchisini ajratsak,

ni olamiz. Buni yuqoridagi tenglamaga qo‘yib, oddiy shakl o‘zgartirish bajarish natijasida

ga ega bo‘lamiz. Bu ikki nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasidir.

Ikki to‘g‘ri chiziq orasidagi burchak
va to‘g‘ri chiziqlar mos ravishda quyidagi tenglamalar bilan berilgan bo‘lsin:

( ):A₁x+B₁y+C₁=0 va ( ): A₂x+B₂y+C₂=0

U vaqtda, ₁={A₁, B₁} ga, ₂={A₂, B₂} esa ga normal vektor bo‘ladi.

Agar ₁ va ₂ o‘zaro kollinear bo‘lmasa, ₁ va ₂ orasidagi  burchak va to‘g‘ri chiziqlar o‘zaro tashkil qilgan burchaklardan biriga teng bo‘ladi. Agar va to‘g‘ri chiziqlar parallel bo‘lsa, ular orasidagi burchak nolga teng deb qabul qilinadi. Endi, umumiy holda  to‘g‘ri chiziqlar orasidagi burchak bo‘lsa, uni topish uchun ₁ va ₂ larning skalyar ko‘paytmasidan foydalanib, quyidagini hosil qilamiz:

(5.1.10)

Agar B₁0, B₂0 bo‘lsa, olingan (5.1.10) formulani

ko‘rinishga keltirib, to‘g‘ri chiziqlar burchak koeffitsiyentlari uchun

ifodalardan foydalansak,

ni olamiz. Sodda hisoblashlar yordamida quyidagi

formulani hosil qilish mumkin.

Endi, ikki to‘g‘ri chiziqning perpendikulyarlik va parallellik shartlarini ko‘raylik. Agar A₁x+B₁y+C₁=0 va A₂x+B₂y+C₂=0 lar berilgan ikki to‘g‘ri chiziqning tenglamalari bo‘lib, ular perpendikulyar bo‘lsa, ₁={A₁;B₁}, ₂={A₂;B₂} normalarning ortogonalligidan

A₁A₂+B₁B₂=0 (5.1.11)

yoki (B₁0, B₂0 deb faraz qilib) burchak koeffitsiyentlar orqali

k₁^.k₂+1=0 (5.1.12)

ni olamiz. (5.1.11) yoki (5.1.12) munosabat to‘g‘ri chiziqlarning perpendikulyarlik shartidan iboratdir.

Ikki to‘g‘ri chiziqning parallellik sharti vektorlarning kollinearlik shartidan kelib chiqadi. Agar ₁= ₂ yoki

{A₁,B₁}={A₂; B₂} bo‘lsa, undan

A₁B₂–A₂B₁=0 . (5.1.13)
Buni B₁0, B₂0 bo‘lganda burchak koeffitsiyentlar orqali

k₁=k₂ (5.1.14)

ko‘rinishda ham yozish mumkin.

(5.1.13) yoki (5.1.14) to‘g‘ri chiziqlarning parallellik shartidir.

1. 
   2x–y+3=0 tenglama bilan berilgan to‘g‘ri chiziqning burchak koeffitsiyenti va ordinatalar o‘qidan ajratgan kesmasini toping.
   

Javob: k= 2; b=3.

2. 
   Oy o‘qdan 2 birlik kesma ajratuvchi hamda x–2y+3=0 to‘g‘ri chiziq bilan 45⁰ li burchak hosil qiluvchi to‘g‘ri chiziqning tenglamasini tuzing.
   

Javob: 3x-y+2=0 yoki .

3. 
   6x–8y–15=0 to‘g‘ri chiziq normalining yo‘naltiruvchi kosinuslarini toping.
   

Javob:

4. 
   A(2;5) nuqtadan 6x+8y–6=0 to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofani toping.
   

Javob: =4,6.
Nazorat savollari

1. 
   To‘g‘ri chiziqning burchak koeffitsiyentli tenglamasini yozing.
   
2. 
   Ox (yoki Oy) o‘qqa parallel bo‘lgan to‘g‘ri chiziq tenglamasi qanday ko‘rinishga ega?
   
3. 
   To‘g‘ri chiziqning umumiy tenglamasini yozing.
   
4. 
   To‘g‘ri chiziqning umumiy tenglamasini burchak koeffitsiyentli tenglamaga keltirish mumkinmi?
   
5. 
   To‘g‘ri chiziqning kesmalarga nisbatan tenglamasini yozing.
   
6. 
   To‘g‘ri chiziqning normal tenglamasi qanday ko‘rinishda bo‘ladi?
   
7. 
   Normallovchi ko‘paytuvchi qanday ko‘rinishda bo‘ladi?
   
8. 
   Ikki to‘g‘ri chiziqlar orasidagi burchakni topish formulasini yozing.
   
9. 
   Nuqtadan to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofani topish formulasini yozing.
   

MAVZU: IKKINCHI TARTIBLI SODDA CHIZIQLAR. IKKINCHI TARTIBLI CHIZIQNING UMUMIY TENGLAMASINI KANONIK KO’RINISHGA KELTIRISH
Reja

6.