Oddiy differensial tenglamalar Reja

р
k₁ = - +
2
р ² р
- q , k₂ = - -
4 2
^р - q , 4



2
(9)

Bu holda (1) tenglama ikkita chiziqli erkli xususiy yechimlarga ega: y₁=e^kx, y₂= e^{k2 x} e ^kx,
k₁x

ravshanki
^у_{1 =} е
= e^{(k1 -k2 ) x} ¹const, chunki (k ¹k ).

2
_{у еk2 x} 1 2

1. 
   tenglamaning umumiy yechimi esa:
   

у = С е^k1x + С е^{k2 x}
ko„rinishda bo„ladi, bu yerda

1 2
C₁,C₂-ixtiyoriy haqiaiy o‟zgarmaslar.
Misol. Yuqorida xususiy yechimlaridan foydalanilgan (2) tenglamani qaraylik:

1
у ^// - 5у ^/ + 6 у = 0.
Endi y₁=e^2x, y₂= e^3x xususiy yechimlarni qanday topishni ko„rsatamiz. Bu tenglamaning harakteristik tenglamasini tuzamiz: k² -5k+6=0.
Xarakteristik tenglama ildizlari k₁=2, k₂=3 ekani ravshan. Ularga mos chiziqli erkli

xususiy yechimlar: y₁=e^2x va y₂= e^3x bo„ladi, umumiy yechim esa
у = С е^{2 x} + С е^3x (C₁, C₂

1 2
–ixtiyoriy o„zgarmas sonlar).

2. 
   Xarakteristik tenglamaning ildizlari haqiqiy va o„zaro teng (k₁₌k₂).
   

Bu holda (9) dan k = k
= - ^р
bo‟lib, 2k =-p yoki 2k +p=0 bo‟ladi. (1) tenglamani bitta

_{1 2 2} 1 1

xususiy yechimi ma‟lum bo„ladi:
у = е^k1x .Bu yechim bilan chiziqli erkli bo„ladigan (1)

1
tenglamaning ikkinchi xususiy yechimini topish kerak, uni
у = u(x)е^k1x
ko„rinishida

2
izlaymiz, bu yerda u(x)=u aniqlanishi lozim bo„lgan hozircha noma‟lum funksiya. u(x) ni

aniqlash uchun y ^'
va y ^'' larni hisoblaymiz: у^'
= u'e^k1x + uk e^k1x = e^k1x (u'+uk )

2 2 2 1 1

у ^// = k e^k1x (u ^/ + uk ) + e^k1x (u ^// + u ^/ k ) = e^k1x (u ^// + 2u ^/ k

• 
  uk ² )
  

y_2, y₂¢ va y₂" larni (1)

2 1 1 1 1 1

tenglamaga quysak: e^{k1 x} (u^// + 2u^/ k

• 
  uk ² ) + pe^{k1 x} (u^/ + uk ) + que^{k1 x} = 0 yoki
  

1 1 1

e^{k1 x} [u^// + (2k
+ p)u^/ + (k ² + k p + q)u]= 0 .

1 1 1

k (8) xarakteristik tenglamaning ildizi va 2k₁+p=0 bo„lganligi sababli
u ^// = 0
_еk₁x_u //
= 0 yoki

2
u ga nisbatan ikkinchi tartibli eng sodda tenglamaga ega bo„lamiz. Bu tenglamani integrallab u(x)=Ax+B, (A, B- o„zgarmaslar) ni topamiz. Xususan, A=1, B=0 desak, y(x)=x bo„ladi.

Shunday qilib, (1) ni ikkinchi xususiy yechimi
у = xе^k1x
bo„ladi. Umumiy yechimi esa

2

1
у = С e^k1x + С
хe^k1x = (С

• 
  С₂
  

х)e^k1x
ko„rinishda yoziladi.

2

2

1

1

1

1
Misol. у ^// + 4 у ^/ + 4 у = 0. tenglamaning harakteristik tenglamasi k²+4k+4=0 bo‟lib, uning ildizlari k₁= k₂=-2 dir, (1) ning chiziqli erkli xususiy yechimlari

1
у = е^{-2 x} ,
у = xе^{-2 x} bo‟lib, umumiy yechimi esa:
у = С e^{-2 x} + С
хe^{-2 x} = (С

• 
  С₂
  

_х)e-2 x

в) Xаrаktеristik tеnгlаmаninг ildizlаri komplеks sonlаr bo„lgаn hol.

2
Bu holdа (8) xаrаktеristik tеnglаmаninг ildizlаri qo„shmа komplеks sonlardan iborat

р
bо„ladi: k_1,2 =a±ib, bu yerda a = - , b =
2
(1) ni hususiy yechimlari
q - ^p , 4


i- mavhum birlik, i =


-1;

1
_{у = e}k₁x _{= e}(a +ib ) x _{= e}ax _{× e}ibx _;

2
_{у = e}k₂ x _{= e}(a -ib ) x _{= e}ax _{× e}-ibx _;

Agar oliy matematikada isboti keltiriladigan Eyler formulasini e‟tiborga olsak,
_e±ij
= cosj ± i sinj

1
у = e^{a x}

2
у = e^{a x}
(cos bx + i sin bx)
(cos bx - i sin bx) tengliklarga ega bo„lamiz.

Biz qo‟yidagi natijadan foydalanamiz: agar haqiqiy koeffisiyentli bir jinsli chiziqli tenglamaning xususiy yechimi kompleks funksiyadan iborat bo„lsa, u holda uning haqiqiy va mavhum qismlari ham shu tenglamani yechimi bo„ladi.
Binobarin, xususiy yechim

ax
у₁ = e
cos b x + ie^ax
sin b x,
(ёки у₂ )

bo„lgani uchun, uning haqiqiy qismi
^у11
= e^ax cos bx
va mavhum qismi

^у12
= e^ax sin bx
ax
ham (1) tenglamaning yechimi bo„ladi. Ravshanki,
ax

у₁₁ = e
соsbx,
у₁₂ = e
sin bx

1. 
   ni xususiy yechimlari
   

chiziqli erklidirlar:


^у11 = tgb ¹ const. ^у12

Shunday qilib, (1) tenglamaning umumiy yechimi
ax

у = С₁ у₁₁ + С₂ у₁₂ = e
Ko„rinishida bo„ladi.
(С₁ cos b x + С₂ sin b x)

Misol.
у ^// - 6 у ^/ +13у = 0.
tenglamani x=0 da y=1 va y¢=-1 boshlang‟ich shartlarni

1
qanoatlantiruvchi yechimi topilsin.
Yechish: Xarakteristik tenglama k²-6k+13=0 ildizlari k₁=3+2i, k₂=3-2i bo‟lib, a=3,
b=2. Tenglamalarning umumiy yechimi esa qo‟yidagicha bo„ladi:
3x

у = e
(С₁ cos 2x + С₂ sin 2х).

Endi x=0 da y=1, ya‟ni
у = 1
х=0
va x=0 da y¢=-1, ya‟ni
у
х =0
= -1
boshlang‟ich

1
shartlarni qanoatlantiruvchi xususiy yechimni topaylik. Buni uchun umumiy yechimdan y¢ hosilani hisoblaymiz:

1
у ^/ = 3e^3x (С
cos 2x + С₂
sin 2x) + e^3x (-2С
sin 2x

• 
  2С
  

cos 2x) = e^3x [(3С

• 
  2С ) cos 2x + (3С
  

• 
  2С ) sin 2x].
  

2 1 2 2 1
Boshlang‟ich shartlarga ko„ra:
ì^{1 = C}₁
í
_î-1 = 3C₁ + 2C₂
sistemaga ega bo„lamiz. Bu sistemadan noma‟lum C₁ va C₂ larni topib: C₁ =1 C₂= - 2 natijada umumiy yechimdan ushbu izlangan xususiy yechimni aniqlaymiz:
у = e^3x (cos 2x - 2sin 2х).
Hosil qilingan bu yechim berilgan differensial tenglamani va boshlang‟ich shartlarni qanoatlantirishini ko„rsatish qiyin emas.

1. 
   Ushbu
   

у = С е^{-2 x} + С е^3х

Mashqlar.

(C₁,C₂- ixtiyoriy o„zgarmaslar)


у ^// - у ^/ - 6 у = 0

1 2

tenglamaning umumiy yechimi ekanligi ko„rsatilsin.
x
// /

2. 
   Ushbu
   

у = e
(С₁ cos x + С₂ sin х)
(C₁,C₂-const) funksiya
у - 2 у
+ 2 у = 0

tenglamaning umumiy yechimi ekanligi ko‟rsatilsin.

3. у ^// + 3у ^/ + 2 у = 0
tenglamani x=0 da y=-1 va y¢=3 shartlarni qanoatlantiruvchi

xususiy yechimi topilsin.

4. 
   у ^// + 4 у ^/ + 8у = 0 tenglamaning umumiy yechimi topilsin.
   
5. 
   у ^// + 6 у ^/ + 9 у = 0 tenglamani x=0 da y=2 va y¢=1 boshlang‟ich shartlarni
   

qanoatlantiruvchi yechimi topilsin.


Javoblar.

3. (у = e^{- x} - 2e^{-2 x} ),
4. (у = С e^-3x + С e^{- x} ),
1 2
5. (у = (2 + 7х)e^-3x ),