Nochiziqli chegaraviy masalalarni yechish usuli



Download 49,96 Kb.
bet2/9
Sana29.06.2022
Hajmi49,96 Kb.
#717558
1   2   3   4   5   6   7   8   9
Bog'liq
==

f X ning barcha uzluksizlik nuqtalarida amal qiladi . Umuman olganda, agar f X ning f¯X chegarasi x = y da o'rtacha ma'noda mavjud bo'lsa, biz inversiya formulasini olish uchun (11.8) tenglamadagi chegarani olamiz.
(11.10) fX(y+0)=fX(y−0) ⇒ 12 p lim s →0∫−∞∞ ϕ X(t)e−itye− s 2t2/2dt=f¯X(y)
Agar, masalan, f X y da oddiy sakrashga ega bo'lsa, (11.10) ning o'ng tomonini y da chap va o'ng chegaralarning o'rtacha qiymati sifatida talqin qilish kerak .
Misol Ikki tomonlama eksponensial zichlik holatida f(x)=12e−|x| , xarakteristik funktsiya to'g'ridan-to'g'ri s ( t ) = 1/(1 + t 2 ) sifatida hisoblanadi. Bu haqiqiy chiziqdagi integral funksiyadir, shuning uchun inversiya formulasi (11.9) hosil bo'lishi uchun qo'llaniladi.
12e−|y|=12 p ∫−∞∞11+t2e−itydt, t ∈ R
f X ( x ) = 1/ p (1 + x 2 ), ya'ni ϕ X ( t ) = e −| ning xarakteristik funktsiyasini olish uchun y va t rollarini o'zgartirishimiz mumkin. t| . Bu integral bo'lganligi sababli, bizda (11.9) hech qanday cheklovsiz inversiya formulasi mavjud.
Misol Bir xil zichlik f X ( x ) = (1/( b a ))1 [ a , b ] ( x ) bo‘lsa, xarakteristik funksiya ϕ X ( it ( b − a )) bo‘ladi. haqiqiy chiziq ustida integrallash mumkin emas. Demak, biz inversiya formulasining umumiy shaklini (11.10) ishlatishimiz kerak.
Misol Uchburchak zichlik holatida, masalan, f ( x ) = 1 – | x | uchun | x | ≤ 1 va boshqa joylarda nol bo‘lsa, f - [ −12,12 ] da ikkita bir xil zichlikning konvolyutsiyasi ekanligini ta’kidlab, (11.9) inversiya formulasini asoslashimiz mumkin, buning uchun s ( t ) = O (1 / t ), t → s . Demak, 11.1 teoremaga ko’ra f ning xarakteristik funksiyasi O(1/ t 2 ), t → s dir . Demak, Furye inversiya formulasini olish uchun (11.9) ni qo'llashimiz mumkin.
11.2.1 Furye o'zaro munosabati/mahalliy noyoblik *
Furye integrali juftligi sifatida qayta yozish mumkin: s ( t ) = 1 − | t | uchun | t | < 1 va boshqa joylarda nol.
f(x):=∫−∞∞ s ( t)eitxdt=∫−11(1−|t|)eitxdt=21−cosxx2 x≠0,f(0)=1.
Inversiya formulasini integrallanuvchi xarakterli funksiyalar uchun qo‘llagan holda, biz bor
(t)=12 p ∫− ∞∞eitx21 −cosxx2 dx, t ∈ R
( t ) ning xarakterli funktsiya ekanligini ko'rsatadi . Endi biz belgilash orqali davriylashtiramiz
t ):=∑K ∈ Z s (t−2k p )
chiziqda 2 p davriy funksiya bo'lib, | uchun s ( t ) ga mos keladi. t | < 1. Uning Furye koeffitsientlari xisoblanadi
12 p ∫− pp (t)e−intdt=12 p ∫− p ∑k ∈ Z ϕ ( t−2k p )e−intdt=12 p ∑k ∈ Z∫− (2K−2K) +1 ) p (y)e−in(y+2k p )dy=12 p ∫−∞∞ ϕ (y)e−inydy=1 p 1−coskk2
mutlaq konvergent Furye qatoriga olib keladi:
t )=1 p ∑k ∈ Z1−coskk2eikt, t ∈ R.
Bu taqsimot orqali butun sonli tasodifiy o'zgaruvchini aniqlash imkonini beradi
pK=1−cosk p k2, 0≠k ∈ Z, p0=12 p
Bu aniq manfiy bo'lmagan va yig'indisi s (0) = 1. Bu taqsimot butun sonlarda to'planganligi sababli, uning xarakteristik funktsiyasi davriy funktsiya bo'lishi kerak, ya'ni s ( t ). Aniq s ( t ) = s ( t ) uchun | t | < 1, lekin tenglik [–1,1] oraliqdan tashqarida bajarilmaydi. Qisqa bayoni; yakunida,
INTERVAL BO'YICHA MAVJUD BO'LADI [-1, 1].
11.2.2 Furye inversiyasi va Parseval identifikatori
Inversiya formulasini (11.9) isbotlash uchun foydalanilgan g'oyalar ps mutlaq integrallanuvchi funktsiyaning Furye konvertatsiyasini davolash uchun kengaytirilishi mumkin , bu erda biz aniqlaymiz.
(11.11) ps ˆ(t)=∫−∞∞ ps (x)eitxdx
Agar ps tasodifiy miqdor X ning ehtimollik zichligi bo'lsa , u holda ps ˆ= ϕ X , X ning xarakteristik funktsiyasi . Umumiy holda, yuqoridagi kabi ps ˆ ga bir xil o'zgarishlarni qo'llashimiz mumkin, ya'ni (11.11) ni e−itye− s 2t2/2 ga ko'paytirish va integrallash orqali hosil bo'ladi.
∫−∞∞ ps ˆ(t)e−itye− s 2t2/2dt=∫−∞∞(∫−∞∞eit(x−y)e− s 2t2/2dt) ps (x)dx=2 p ∫− ∞∞e−(x−y)2/2 s 22 ps 2 ps (x)dx
Agar ps ˆ ham absolyut integrallansa, u holda s → 0 chegarasini olib, Furye inversiya formulasini olishimiz mumkin.
(11.12) ps (y)=12 p ∫−∞∞ ps ˆ(t)eitydt.
Tasodifiy o'zgaruvchiga y = X ( ō ) qo'llanilib, kutilgan natijani olamiz.
Taklif 11.1 (Parsevalning shaxsi). Faraz qilaylik, ps ˆ mutlaq integrallash mumkin. Keyin bizda inversiya formulasi (11.12) va har qanday X tasodifiy o'zgaruvchisi uchun Parseval identifikatoriga egamiz:
(11.13) E ps (X)=12 p ∫−∞∞ ps ˆ(t) ϕ X(−t)dt
Bu quyida davomiylik teoremasini isbotlashda qo'llaniladi.
Kitobni sotib olish bo'limini ko'ring
Furye seriyalari va transformatsiyalari
RF Hoskins tadqiqot professori, Delta Functions (Ikkinchi nashr) , 2011 yil
6.4.2 Delta funksiyalarning Furye transformatsiyalari.
Delta funksiyasining tanlab olish xususiyatini Furye integralining o'ziga qo'llash orqali biz hosil bo'lamiz.
(6.27) ∫−∞+∞e−i ō t d tdt=1
yoki umuman olganda,
(6.28) ∫−∞+∞e−i ō t d t−adt=e−i ō a.
Bu shuni ko'rsatadiki, d ( t a ) ning Furye konvertatsiyasini exp(– i ō a ) bo'lishini aniqlaymiz. Keyin inversiya formulasi rasmiy ravishda qondiriladi, chunki ( 6.19 ) dan foydalanib, biz shunday bo'lar edik.
12 p ∫−∞+∞ei ō te−i ō ad ō =12 p ∫−∞+∞ei ō t−ad ō = d t−a.
Ikki tomonlama biz Furye inversiya integraliga delta funksiyasining namuna olish xususiyatini qo'llashimiz mumkin:
12 p ∫−∞+∞ei ō t dō − a d ō =12 p ei a t
va shunga o'xshash
12 p ∫−∞+∞ei ō t dō + a d ō =12 p e−i a t.
Shunday qilib, Furye konvertatsiyasi kompleks qiymatli funktsiyalar uchun umumiy aniqlanganligini eslatib, bu natijalar e i a t va e - i a t kabi murakkab ko'rsatkichlarning Furye o'zgarishlariga quyidagi ta'riflarni berishimiz mumkinligini ko'rsatadi :
(6.29) ℱei a t=2 pdō − a ;ℱe−i a t=2 pdō + a .

Download 49,96 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish