Navoiy davlat pedagogika instituti fizika -matematika fakulteti matematika-informatika ta

4

0

.  Bo`laklab  integrallash  formulasi.  Aytaylik  , 

)

(x

u

  va 

)

(x

v

 

funksiyalarning har biri 

]

,

[

b

a

 segmentda uzluksiz 

)

(

/

x

u

 va 

)

(

/

x

v

 hosilalarga ega 

bulsin. U holda 











b

a

b

a

b

a

x

du

x

v

x

v

x

u

x

dv

x

u

)

(

)

(

))

(

)

(

(

)

(

)

(

               (5) 

bo`ladi. 

◄ Hosilani hisoblash qoidasiga ko`ra  

)

(

)

(

)

(

)

(

)

)

(

)

(

(

/

/

x

v

x

u

x

v

x

u

x

v

x

u













 

bo`ladi. 

Demak, 

)

(

)

(

x

v

x

u



 

funksiya 

]

,

[

b

a

 

oraliqda                                                                             

)

(

)

(

)

(

)

(

/

/

x

v

x

u

x

v

x

u







  funksiyaning  boshlang`ich  funksiyasi  bo`ladi.  Nyuton-

Leybnits formulasidan foydalanib topamiz: 

b

a

b

a

x

v

x

u

dx

x

v

x

u

x

v

x

u

))

(

)

(

(

)

)

(

)

(

)

(

)

(

(

/

/















. 

Keyingi tenglikdan  











b

a

b

a

b

a

x

du

x

v

x

v

x

u

x

dv

x

u

)

(

)

(

))

(

)

(

(

)

(

)

(

 

bo`lishi kelib chiqadi. ► 

(5) formula aniq integrallarda bo`laklab integrallash formulasi deyiladi. 

  

 

3-misol. Ushbu 



2

1

ln xdx

x

 

integral hisoblansin. 

◄    Bu  intervalda 

 

 

x

x

dv

x

x

u





,

ln

  deb 

 

 

2

,

1

2

x

x

v

dx

x

x

du





 

bo`lishini topamiz. Unda (5) formulaga ko`ra: 

 

12 





















2

1

2

1

2

1

2

2

1

2

4

3

2

ln

2

2

1

2

ln

2

1

2

)

ln

2

(

ln

xdx

dx

x

x

x

x

xdx

x

  bo`ladi. ► 

4-misol. Ushbu  





2

0

sin



xdx

J

n

n

         

,...)

2

,

1

,

0

(



n

 

integral hisoblansin. 

◄ Ravshanki, 







2

0

0

2





dx

J

      ,    

1

)

cos

(

sin

2

0

2

0

1















x

xdx

J

. 

2



n

 bo`lganda berilgan integralni 













2

0

2

0

1

)

cos

(

sin

sin

  





x

d

x

xdx

J

n

n

n

 

ko`rinishida  yozib, unga bo`laklab integrallash formulasini qo`llaymiz. Natijada 

n

n

n

n

n

n

n

n

J

n

J

n

xdx

n

xdx

n

dx

x

x

n

xdx

x

n

x

x

J

)

1

(

)

1

(

sin

)

1

(

sin

)

1

(

)

sin

1

(

sin

)

1

(

cos

sin

)

1

(

)

cos

sin

(

2

2

0

2

0

2

2

0

2

2

2

0

2

2

2

0

1

































































 

bo`lib, undan ushbu 

2

1







n

n

J

n

n

J

 

rekurrent formula kelib chikadi. 

Bu  formula  yordamida  berilgan  integralni 

,........

3

,

2

,

1



n

  bo`lganda  ketma-

ket hisoblash mumkin. 

Aytaylik, 

m

n

2



- juft son bo`lsin. Unda 

2

!

)!

2

(

!

)!

1

2

(

2

1

4

3

6

5

......

2

2

3

2

2

1

2

0

2

























m

m

J

m

m

m

m

J

m

 

 

13 

bo`ladi. 

Aytaylik, 

1

2





m

n

- toq son bo`lsin. Unda 

!

)!

1

2

(

!

)!

2

(

3

2

5

4

7

6

......

1

2

2

2

1

2

2

1

1

2























m

m

J

m

m

m

m

J

m

 

bo`ladi. 

!

!

(m  simvol 

m

 dan katta bo`lmagan va u bilan bir xil juftlikka ega bo`lgan 

natural sonlarning ko`paytmasini bildiradi.) ► 

5

0

. Vallis formulasi. Ma’lumki, 

2

0







x

 bo`lganda  

,...)

3

,

2

,

1

(

sin

sin

sin

1

2

2

1

2











n

x

x

x

n

n

n

 

tengsizliklar o`rinli bo`ladi. Bu tengsizliklarni 

]

2

,

0

[



 oraliq bo`yicha integrallab,  

,

sin

sin

sin

2

0

1

2

2

0

2

2

0

1

2





















xdx

xdx

xdx

n

n

n

 

so`ngra 4

0

 da keltirilgan formulalardan foydalanib topamiz: 

.

!

)!

1

2

(

!

)!

2

2

(

2

!

)!

2

(

!

)!

1

2

(

!

)!

1

2

(

!

)!

2

(















n

n

n

n

n

n



 

Bu tengsizliklardan  

n

n

n

n

n

n

2

1

!

)!

1

2

(

!

)!

2

(

2

1

2

1

!

)!

1

2

(

!

)!

2

(

2

2









































 

bo`lishi kelib chiqadi. 

Keyingi tengsizliklardan topamiz: 

2

!

)!

1

2

(

!

)!

2

(

1

2

1

lim

2























n

n

n

n



. 

 

         (6) 

(6) formula Vallis formulasi deyiladi. 

 

 

 

 

 

 

14 

 

2. Aniq integralni taqribiy hisoblash 

 

Odatda,  aniq  integrallar  Nyuton-Leybnits  formulasi  yordamida  hisoblanadi. 

Bu  formula  boshlang`ich  funksiyaga  asoslanadi.  Ammo  boshlang`ich  funksiyani 

topish masalasi doim osongina hal bo`lavermaydi. Agar integral ostidagi funksiya 

murakkab bo`lsa, tegishli aniq integralni taqribiy hisoblashga to`g`ri keladi. 

1

0

. To`g`ri to`rtburchaklar formulasi. Faraz qilaylik, 

)

(x

f

 funksiya 

]

,

[

b

a

 

segmentda berilgan va uzluksiz bo`lsin. Demak, 

])

,

([

)

(

b

a

R

x

f



. 

Masala 



b

a

dx

x

f

)

(

 integralni taqribiy hisoblashdan iborat. 

]

,

[

b

a

  oraliqni 

b

x

x

x

x

x

a

n

n







,

,...,

,

,

1

2

1

0

  nuqtalar 





n

x

x

x

x









...

2

1

0

 

yordamida 

n

 

ta 

teng 

bo`lakka 

bo`lib, 

har 

bir 

)

1

,...,

2

,

1

,

0

(

]

,

[

1







n

k

x

x

k

k

bo`yicha integralni quyidagicha         

)

(

)

(

)

2

(

)

(

2

1

1

1

1























k

x

x

k

k

k

k

x

f

n

a

b

x

x

x

x

f

dx

x

f

k

k

 

taqribiy hisoblaymiz, bunda  

n

a

b

x

x

n

a

b

k

a

x

x

x

n

a

b

k

a

x

k

k

k

k

k

k































1

1

2

1

,

)

2

1

(

2

,

  

).

1

,...,

2

,

1

,

0

(





n

k

 

Aniq integral xossasidan foydalanib topamiz: 





















1

0

1

2

1

...

)

(

...

)

(

)

(

)

(

x

x

x

x

x

x

b

a

k

k

dx

x

f

dx

x

f

dx

x

f

dx

x

f

 

...

)

(

)

(

)

(

)

(

...

2

1

2

2

1

1

2

1

1

























x

f

n

a

b

x

f

n

a

b

x

f

n

a

b

dx

x

f

n

n

x

x

 

)].

(

...

)

(

...

)

(

)

(

[

)

(

...

)

(

...

2

1

2

1

2

1

1

2

1

2

1

2

1





































n

k

n

k

x

f

x

f

x

f

x

f

n

a

b

x

f

n

a

b

x

f

n

a

b

 

Natijada   

 

15 



b

a

dx

x

f

)

(

 

integralni taqribiy hisoblash uchun quyidagi  

)

(

)

(

1

1

2

1















n

k

k

b

a

x

f

n

a

b

dx

x

f

                        (1) 

formulaga kelamiz. 

(1) formula to`g`ri to`rtburchaklar formulasi deyiladi. 

Endi (1) taqribiy formulaning xatoligini aniqlaymiz.  

(1) formulaning xatoligini 

















1

0

2

1

)

(

)

(

n

k

k

b

a

n

x

f

n

a

b

dx

x

f

R

                    (2) 

deylik. 

Aytaylik, 

)

(x

f

  funksiya 

]

,

[

b

a

  segmentda  uzluksiz 

)

(x

f



  hosilaga  ega 

bo`lsin.  

Avvalo 

n

R

 ni quyidagicha yozib olamiz: 

.

)]

(

)

(

[

)

(

)

(

)

(

)

(

1

0

2

1

1

0

2

1

1

0

1

0

1

0

2

1

1

1

1

dx

x

f

x

f

dx

x

f

dx

x

f

x

f

n

a

b

dx

x

f

R

n

k

k

n

k

x

x

k

n

k

x

x

n

k

n

k

x

x

k

n

k

k

k

k

k

k



 

 



 

















































 

Teylor formulasidan foydalanib topamiz: 

2

2

1

2

1

2

1

2

1

)

(

)

(

2

1

)

(

)

(

)

(

)

(



























k

k

k

k

k

x

x

f

x

x

x

f

x

f

x

f



 

(bunda 

k



 son 

x

 va 

2

1



k

x

  sonlar orasida). Natijada 







 



























































1

1

1

)

)

(

)

(

2

1

)

(

)

(

(

)

)

(

)

(

2

1

)

(

)

(

(

2

2

1

1

0

2

1

2

1

1

0

2

2

1

2

1

2

1

k

k

k

k

k

k

x

x

k

k

n

k

x

x

k

k

n

k

x

x

k

k

k

k

n

dx

x

x

f

dx

x

x

x

f

dx

x

x

f

x

x

x

f

R





 

bo`ladi. 

 

16 

Ravshanki, 



























1

0

2

1

k

k

x

x

k

dx

x

x

. 

Demak,                    

 

 

































1

0

2

1

1

.

2

1

n

k

x

x

k

k

n

k

k

dx

x

x

f

R



 

O`rta qiymat haqidagi teoremaga binoan 

)

]

,

[

(

)

(

12

)

(

)

(

12

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

1

*

*

3

3

*

2

1

2

2

1

*

2

2

1

1

1













































k

k

k

k

k

k

k

x

x

k

x

x

k

k

k

x

x

f

n

a

b

f

x

x

dx

x

x

f

dx

x

x

f

k

k

k

k











 

bo`ladi. 

Shunday  qilib, 

n

R

  uchun ushbu 



























1

0

*

2

3

1

0

3

3

)

(

1

24

)

(

)

(

12

)

(

2

1

n

k

k

k

n

k

n

f

n

n

a

b

f

n

a

b

R





 

ifodaga  kelamiz. 

Ravshanki,       

n

f

f

f

n

n

n

k

k

)

(

...

)

(

)

(

)

(

1

*

1

*

1

*

0

1

0

*































 

miqdor 

)

(

)

1

,...,

2

,

1

,

0

],

,

[

(

*

x

f

n

k

b

a

k











  ning 

]

,

[

b

a

  oraliqdagi  eng  kichik  

m



 hamda eng katta 

M



 qiymatlar orasida, 















1

0

*

)

(

1

n

k

k

M

f

n

m



 

bo`ladi. 

Shartga  ko`ra 

)

(x

f



  funksiya 

]

,

[

b

a

  da  uzluksiz.  Uzluksiz  funksiyaning 

xossasiga muvofiq 

)

,

(

b

a

 da shunday 



 nuqta topiladiki, 













1

0

*

)

(

1

)

(

n

k

k

f

n

f





 

bo`ladi. 

Natijada 

n

R

 uchun quyidagi 

 

17 

)

(

24

)

(

2

3



f

n

a

b

R

n







 

tenglikka  kelamiz. 

Demak,   

)

(

24

)

(

)

(

)

(

2

3

1

0

2

1



f

n

a

b

x

f

n

a

b

dx

x

f

n

k

k

b

a





















 

bo`ladi. 

Shunday qilib, 

]

,

[

b

a

 oraliqda ikkinchi tartibli uzluksiz hosilaga ega bo`lgan 

)

(x

f

 funksiyaning 



b

a

dx

x

f

)

(

 

integralini  (1)  tug`ri  to`rtburchaklar    formulasi  yordamida  taqribiy  hisoblansa,  bu 

taqribiy hisoblash  xatoligi quyidagi 

))

,

(

(

)

(

24

)

(

2

3

b

a

f

n

a

b

R

n













 

formula bilan ifodalanadi.