Navoiy davlat pedagogika instituti fizika -matematika fakulteti matematika-informatika ta

1-ta’rif. Agar  

0



p



 da  

B

A



 yoyiga chizilgan siniq chiziq perimetri 























1

0

2

1

2

1

)

(

)

(

)

(

)

(

n

k

k

k

k

k

x

f

x

f

x

x

l



 

chekli limitga ega bo`lsa, 

B

A



 yoy uzunlikka ega deyiladi. 

Ushbu 

)

(

)

(

lim

0

B

A

l

P













 

limit 

B

A



 yoyining uzunligi deyiladi. 

Masalan, agar 

)

(

)

(

b

x

a

C

kx

x

f









 

 

36 

bo`lsa, unda 

B

A



 ning uzunligi 

















































1

0

2

1

2

0

1

0

2

1

2

2

1

0

)

(

1

)

(

1

lim

)

(

)

(

lim

)

(

n

k

k

k

n

k

k

r

k

k

a

b

k

x

x

k

x

x

k

x

x

B

A

p

P









 

bo`ladi.  

Aytaylik, 

B

A



 egri chiziq ushbu 

 

 



























t

t

y

t

x

,

 

tenglamalar sistemasi bilan berilgan bo`lsin. 

(Bu holda egri chiziq parametrik ko`rinishda berilgan deyiladi). Bunda: 

 

1)  

;

]

,

[

)

(

,

]

,

[

)

(













C

t

C

t





 

2)  

2

1

2

1

,

]

,

[

,

t

t

t

t











 uchun                                         (1) 

           

))

(

,

)

(

(

)

,

(

,

))

(

,

)

(

(

)

,

(

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

t

t

A

y

x

A

t

t

A

y

x

A













 

nuktalar turlicha ; 

3)  





t

  ga  

A

  nuqta,  





t

  ga 

B

 nuqta mos kelsin. 

]

,

[





 segmentning ixtiyoriy 

   

















n

n

t

t

t

t

t

t

P

...

(

}

,...,

,

{

1

0

1

0

 

bo`laklashni  olib,  bu  bo`laklashning  bo`luvchi 

)

,...,

2

,

1

,

0

(

n

k

t

k



  nuqtalariga 

mos  kelgan 

B

A



  yoydagi 

)

,

(

k

k

k

k

y

x

A

A



 

)

,...,

0

;

)

(

,

)

(

(

n

k

t

y

t

x

k

k

k

k











 

nuqtalarni bir-biri bilan to`g`ri chiziq kesmalari yordamida birlashtirib, 

B

A



 yoyga 

chizilgan siniq chiziq  

l

 ni hosil qilamiz.   (17-chizma). 

 

 

37 

Bu siniq chiziq perimetri 



















1

0

2

1

2

1

)]

(

)

(

[

)]

(

)

(

[

)

(

n

k

k

k

k

k

t

t

t

t

l











 

bo`ladi. 

2-ta’rif. Agar 

0



p



 da 

B

A



  yoyiga chizilgan siniq chiziq perimetri 

)

(l



 

chekli limitga ega bo`lsa, 

B

A



 yoy uzunlikka ega deyiladi. 

Ushbu 

)

(

)

(

lim

0

B

A

l

p













 

limit  

B

A



 yoyining uzunligi deyiladi. 

Yuqorida keltirilgan ta’riflardan yoy uzunligining    ( agar u mavjud bo`lsa ) 

musbat bo`lishi kelib chiqadi. 

Endi yoy uzunligining ikkita xossasini isbotsiz keltiramiz: 

1) Agar 

B

A



 yoyi uzunlikka ega bo`lib, u 

B

A



 yoydagi nuqtalar yordamida 

n

  ta 

1



k

k

A

A



  yoylarga 

;

,...,

2

,

1

,

0

(

n

k



 

)

,

1

0







n

A

B

A

A

  ajralgan  bo`lsa,  u  holda 

har bir 

1



k

k

A

A



 yoy uzunlikka ega va 

   









n

k

k

k

A

A

B

A

0

1

)

(

)

(









 

bo`ladi. 

2) Agar 

B

A



 yoyi 

n

 ta 

1



k

k

A

A



 yoylarga ajralgan bo`lib, har bir 

1



k

k

A

A



 yoy 

uzunlikka ega bo`lsa, u holda 

B

A



 yoyi ham uzunlikka ega bo`ladi. 

2

0

. 

)

(x

f

y



tenglama  bilan  berilgan  egri  chiziq  uzunligini 

hisoblash. Faraz qilaylik, 

B

A



 egri chiziq ushbu  

b

x

a

x

f

y







,

)

(

 

tenglama  bilan  berilgan  bo`lsin.  Bunda 

)

(x

f

  funksiya 

]

,

[

b

a

  segmentda  uzluksiz 

va uzluksiz  

)

(x

f



 hosilaga ega.                         

]

,

[

b

a

 segmentning ixtiyoriy 

)

...

(

}

,...,

,

{

1

0

1

0

b

x

x

x

a

x

x

x

P

n

n













 

 

38 

bo`laklashini olib, unga mos 

B

A



 yoyiga chizilgan  

l

 siniq chiziqni hosil qilamiz. 

Bu siniq chiziqning perimetri  



















1

0

2

1

2

1

)]

(

)

(

[

)

(

)

(

n

k

k

k

k

k

x

f

x

f

x

x

l



 

bo`ladi. 

Har  bir 

]

,

[

1



k

k

x

x

  segmentda 

)

(x

f

  funksiyaga  Lagranj  teoremasini  qo`llab 

topamiz: 

,

)

(

1

)

(

)

(

1

)]

(

)

(

[

)

(

)

(

1

0

1

0

2

1

2

1

0

2

1

2

1

























































n

k

k

n

k

k

k

k

k

n

k

k

k

k

k

k

x

f

x

x

f

x

x

f

x

x

l









 

bunda  

.

]

,

[

1





r

k

k

x

x



 

Bu tenglikdagi yig`indining 

)

(

1

2

x

f





 funksiyaning integral yig`indisidan 

farqi  shuki,  integral  yig`indida   

]

,

[

1





k

k

k

x

x



  nuqta  ixtiyoriy  bo`lgan  holda 

yuqoridagi  yig`indida  esa 

k



  nuqta  Lagranj  teoremasiga  muvofiq  olingan  tayin 

nuqta  bo`lishidadir.  Ammo 

)

(

1

2

x

f





  funksiya    integrallanuvchi  bo`lganligi 

sababli 

k

k







 deb olinishi mumkin. Natijada 

















1

0

2

)

(

1

)

(

n

k

k

k

x

f

l





 

bo`lib, undan 

dx

x

f

x

f

l

b

a

n

k

k

k

p

p





























)

(

1

)

(

1

lim

)

(

lim

2

1

0

2

0

0









 

bo`lishi kelib chiqadi. 

Demak, 

B

A



 yoyining uzunligi 

 









b

a

dx

x

f

B

A

)

(

1

)

(

2





                      (2) 

bo`ladi. Bu formula yordamida yoy uzunligi hisoblanadi. 

1-misol. Ushbu 

 

39 

)

,

0

(

)

(

2

)

(

a

x

a

a

e

e

a

x

f

a

x

a

x















 

tenglama bilan berilgan 

B

A



 egri chizig`ining uzunligi topilsin. 

Bu tenglama bilan aniqlanadigan chiziq zanjir chizig`i deyiladi. 

◄ Ravshanki, 

,

)

(

2

1

)

(

a

x

a

x

e

e

x

f









 

,

)

(

4

1

)

(

1

2

2

a

x

a

x

e

e

x

f











 

)

(

2

1

)

(

1

2

a

x

a

x

e

e

x

f











 

bo`ladi. (2) formuladan foydalanib, zanjir chizig`ining uzunligini topamiz: 























a

a

a

a

a

x

a

x

a

x

a

x

e

e

a

e

e

a

dx

e

e

B

A

).

1

(

)

(

2

)

(

2

1

)

(





► 

3

0

. Parametrik ko`rinishda berilgan egri chiziq uzunligini hisoblash. 

Faraz qilaylik, 

B

A



 egri chiziq ushbu 

             



























t

t

y

t

x

)

(

),

(

 

tenglamalar sistemasi bilan berilgan bo`lib, (1) shartlar-ning bajarilishi bilan birga 

)

(

),

(

t

t





funksiyalari 

]

,

[





  da  uzluksiz 

)

(t





hamda 

)

(t





hosilalarga  ega 

bo`lsin. 

]

,

[





segmentning ixtiyoriy 





)

...

(

,...,

,

1

0

1

0

















n

n

t

t

t

t

t

t

P

 

bo`laklashini 

olib, 

ularga 

mos 

B

A



 

yoyiniig 

)

,

(

k

k

k

k

y

x

A

A



 

))

(

,

)

(

(

k

k

k

k

t

y

t

x









  nuqtalarini  bir-biri  bilan  to`g`ri  chiziq  kesmasi 

yordamida birlashtirishdan hosil bo`lgan 

l

 siniq chiziq perimetri 



















1

0

2

1

2

1

))]

(

)

(

[

)]

(

)

(

[

)

(

n

k

k

k

k

k

t

t

t

t

l











 

ni qaraymiz. 

 

40 

Lagranj teoremasidan foydalanib topamiz: 





k

k

k

k

n

k

k

k

n

k

k

k

k

k

k

k

t

t

t

t

t

t

t

t

l























































1

1

0

2

2

1

0

2

1

2

2

1

2

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(



















 

bunda                    

.

]

,

[

.

]

,

[

1

1









k

k

k

k

k

k

t

t

t

t





 

Keyingi tenglikni quyidagicha yozib olamiz: 





















k

n

k

k

k

t

l

1

0

2

2

)

(

)

(

)

(











 

k

k

k

n

k

k

k

t



























]

)

(

)

(

)

(

)

(

[

2

2

1

0

2

2

















         (*) 

bunda,      

].

,

[

1





k

k

k

t

t



 

Modomiki,    

]

,

[

)

(

)

(

2

2









C

t

t









 

ekan unda 

]

,

[

)

(

)

(

2

2









R

t

t









 

bo`lib, 





























1

0

2

2

2

2

0

)

(

)

(

)

(

)

(

lim

n

k

k

k

k

dt

t

t

t

p



















        

(3) 

bo`ladi.                                                                        

Ixtiyoriy  

d

c

b

a

,

,

,

 haqiqiy sonlar uchun ushbu                                           

d

b

c

a

d

c

b

a















2

2

2

2

 

tengsizlik o`rinli bo`ladi. 

◄ Haqiqatan ham, 

 

41 





















































2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

)

(

)

(

d

c

b

a

d

b

d

b

d

c

b

a

c

a

c

a

d

c

b

a

d

b

c

a

d

c

b

a

 

             

.

d

b

c

a









► 

Bu tengsizlikdan foydalanib topamiz: 

 

























k

k

k

n

k

k

k

t

]

)

(

)

(

)

(

)

(

[

2

2

1

0

2

2

















 



































1

0

1

0

)

(

)

(

)

(

)

(

n

k

n

k

k

k

k

k

k

k

t

t

















 





























1

0

1

0

.

)

(

)

(

n

k

n

k

k

k

t

t









 

]

,

[

)

(

,

]

,

[

)

(













R

t

R

t









 

bo`lganligi sababli 

0

]

)

(

)

(

)

(

)

(

[

lim

2

2

1

0

2

2

0





























k

k

k

n

k

k

k

t

p



















                    (4) 

bo`ladi. 

(3)  va  (4)  munosabatlarni  e’tiborga  olib, 

0



p



  da  (*)  tenglikda  limitga 

o`tsak, u holda 

B

A



 yoyining uzunligi uchun  

dt

t

t

B

A





















)

(

)

(

)

(

2

2



                       (5) 

bo`lishi kelib chiqadi. Bu formula yordamida yoy uzunligi hisoblanadi.