Navoiy davlat pedagogika instituti fizika -matematika fakulteti matematika-informatika ta

2-misol. Ushbu   

         

)

0

(

)

cos

1

(

)

sin

(















t

t

a

y

t

t

a

x

 

tenglamalar  sistemasi  bilan  berilgan 

B

A



  egri  chiziqning  (sikloidaning)  uzunligi 

topilsin. 

 

42 

◄ Ravshanki, 

)

cos

1

(

2

)

(

)

(

,

)

cos

1

(

2

sin

)

cos

1

(

)

(

)

(

,

sin

)

(

,

)

cos

1

(

)

(

2

2

2

2

2

2

2

2

2

t

a

t

y

t

x

t

a

t

a

t

a

t

y

t

x

t

a

t

y

t

a

t

x





































 

bo`ladi.  (5) formulaga ko`ra  izlanayotgan egri chiziqning uzunligi 

a

t

a

dt

t

a

dt

t

a

B

A

8

)

2

(cos

4

2

sin

2

)

cos

1

(

2

)

(

2

0

2

0

2

0





























 

bo`ladi. ► 

4

0

. Qutb koordinatalar sistemasida berilgan egri chiziqning  uzunligini 

hisoblash. 

Faraz qilaylik, 

B

A



 egri chiziq qutb koordinatalar sistemasida quyidagi   

)

(

,

)

(

















r

 

tenglama  bilan  berilgan  bo`lsin.  Bunda 

]

,

[

)

(









C



  bo`lib,  u  uzluksiz 

)

(







 

hosilaga ega bo`lsin. 

Қutb  koordinatalari 

)

,

(





  dan  Dekart  koordinatalari 

)

,

(

y

x

  ga  o`tish 

formulasiga binoan  

)

(

sin

)

(

,

cos

)

(































y

x

 

bo`ladi. Natijada 

B

A



 parametrik ko`rinishda 

)

(

sin

)

(

)

(

,

cos

)

(

)

(







































 

berilgan  egri  chiziq  sifatida  ifodalanadi,  bunda 

 









),

(

    funksiyalari  3

0

  da 

keltirilgan shartlarni bajaradigan funksiyalar bo`ladi. 

(5) formuladan foydalanib 

B

A



 egri chiziqning uzunli-gini topamiz: 





































d

B

A

2

2

)

sin

)

(

(

)

cos

)

(

(

)

(



 

.

)

(

)

(

2

2























d

 

Bu formula yordamida egri chiziqning uzunligi hisoblanadi. 

 

43 

3-misol. Ushbu 

3

3





Sin

a





 

tenglama bilan berilgan egri chiziqning uzunligi topilsin. 

◄ 



  o`zgaruvchi  0  dan 



3

  gacha  o`zgargandan 

)

,

(





  nuqta          18-

chizmada tasvirlangan  

l

 

egri chiziqni chizib chiqadi: 

 

(2) formuladan foydalanib 

l

 chiziqning uzunligini topamiz: 























3

0

2

3

2

3

)

3

sin

(

)

3

sin

(

)

(

d

a

a

l

 





















3

0

6

2

2

4

2

3

sin

3

cos

3

sin

d

a

a

  

.

2

3

3

sin

3

0

2

a

d

a















► 

5

0

. Yoy differensiali. Aytaylik, tekislikdagi 

B

A



 egri chiziq ushbu 

)

(

)

(

,

)

(























t

t

y

t

x

 

tenglamalar  sistemasi  bilan  berilgan  bo`lib,  bunda 

)

(t



  hamda 

)

(t



  funksiyalari 

]

,

[





 da uzluksiz 

)

(t





 hamda 

)

(t





  hosilalarga ega bo`lsin  (19-chizma)  

 

 

44 

 

Ma’lumki, 

t

  o`zgaruvchining 





t

  qiymatiga 

B

A



  egri  chiziqda 

A

  nuqta 

mos keladi. 

Endi  ixtiyoriy 

]

,

[







t

  ni  olib,  unga  mos 

B

A



  egri  chiziqdagi  nuqtani 

C

 

bilan belgilaylik: 

.

,

))

(

,

)

(

(













t

t

t

С

 

Ravshanki, 

C

A



 yoyining uzunligi 

C

 nuqtaning 

B

A



 egri chiziqdagi holatiga 

qarab  o`zgaradi  va  ayni  paytda 

t

  ning  har  bir  tayin  qiymatida  yagona 

C

A



 

yoyining  uzunligiga  ega  bo`lamiz.  Binobarin 

C

A



  yoyining  uzunligi 

t

C

A )

(





 

o`zgaruv-chining funksiyasi bo`ladi: 

)

(

)

(











t

C

A

t



 

(5) formuladan foydalanib topamiz: 











t

t

dt

t

t

C

A









.

)

(

)

(

)

(

2

2



 

Modomiki, 

]

,

[

)

(

)

(

2

2









C

t

t









  ekan,  unda 

)

( C

A

t





      funksiya 

hosilaga ega bo`lib, 

)

(

)

(

)

)

(

(

2

2

t

t

C

A

t



















 

bo`ladi. 

Keyingi tenglikning kvadratini 

2

dt

 ga ko`paytirib, ushbu  

,

)

(

)

(

)

)

(

(

2

2

2

2

2

2

dt

t

dt

t

dt

C

A

t





















 

ya’ni 

2

2

2

)

)

(

(

dy

dx

C

A

d

t











 

 

45 

munosabatga  kelamiz.  Bu  munosabat  yoy  differensialining  kvadratini  ifodalaydi. 

Demak, 

yoy 

differensiali 

)

( C

A

d

t





 

yuqoridagi 

)

(

,

)

(

t

y

t

x









 

funksiyalarning  differensial-lari 

dx

  hamda 

dy

  lar  orqali  ifodalanadi.  Binobarin, 

(5) formula, uzluksiz hosilaga ega bo`lgan 

)

(

,

)

(

t

y

t

x

 funksiyalar yordamida egri 

chiziq yoyining turli usullarda parametrlash-tirishda o`z ko`rinishini saqlaydi.  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

46 

 

 

Xulosa 

)

(x

f

y



tenglama  bilan  berilgan  egri  chiziq  uzunligini  hisoblash.  Faraz 

qilaylik, 

B

A



 egri chiziq ushbu  

b

x

a

x

f

y







,

)

(

 

tenglama  bilan  berilgan  bo`lsin.  Bunda 

)

(x

f

  funksiya 

]

,

[

b

a

  segmentda  uzluksiz 

va uzluksiz  

)

(x

f



 hosilaga ega.                         

]

,

[

b

a

 segmentning ixtiyoriy 

)

...

(

}

,...,

,

{

1

0

1

0

b

x

x

x

a

x

x

x

P

n

n













 

bo`laklashini olib, unga mos 

B

A



 yoyiga chizilgan  

l

 siniq chiziqni hosil qilamiz. 

Bu siniq chiziqning perimetri  



















1

0

2

1

2

1

)]

(

)

(

[

)

(

)

(

n

k

k

k

k

k

x

f

x

f

x

x

l



 

bo`ladi. 

Har  bir 

]

,

[

1



k

k

x

x

  segmentda 

)

(x

f

  funksiyaga  Lagranj  teoremasini  qo`llab 

topamiz: 

,

)

(

1

)

(

)

(

1

)]

(

)

(

[

)

(

)

(

1

0

1

0

2

1

2

1

0

2

1

2

1

























































n

k

k

n

k

k

k

k

k

n

k

k

k

k

k

k

x

f

x

x

f

x

x

f

x

x

l









 

bunda  

.

]

,

[

1





r

k

k

x

x



 

Bu tenglikdagi yig`indining 

)

(

1

2

x

f





 funksiyaning integral yig`indisidan 

farqi  shuki,  integral  yig`indida   

]

,

[

1





k

k

k

x

x



  nuqta  ixtiyoriy  bo`lgan  holda 

yuqoridagi  yig`indida  esa 

k



  nuqta  Lagranj  teoremasiga  muvofiq  olingan  tayin 

nuqta  bo`lishidadir.  Ammo 

)

(

1

2

x

f





  funksiya    integrallanuvchi  bo`lganligi 

sababli 

k

k







 deb olinishi mumkin. Natijada 

 

47 

















1

0

2

)

(

1

)

(

n

k

k

k

x

f

l





 

bo`lib, undan 

dx

x

f

x

f

l

b

a

n

k

k

k

p

p





























)

(

1

)

(

1

lim

)

(

lim

2

1

0

2

0

0









 

bo`lishi kelib chiqadi. 

Demak, 

B

A



 yoyining uzunligi 

 









b

a

dx

x

f

B

A

)

(

1

)

(

2





                       

bo`ladi. Bu formula yordamida yoy uzunligi hisoblanadi. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

48 

 

Fodalanilgan adabiyotlar 

 

1. Azlarov T. A., Mansurov X. T. “Matematik analiz”. I, II tom 1994, 1995.  

2. G.  Xudoyberganov,  A.  Vorisov,  X.  Mansurov.  «Matematik  analiz».  Nasaf 

nashriyoti. 2003 yil.  

3. A. Sadullayev, X. Mansurov, G. Xudoyberganov, A. Varisov,  

   R. Ғulomov “Matematik analiz kursidan misol va masalalar 

   to’plami” 1,2 tom. ”O`zbekiston”, 1993, 1995.  

4. Tuychiyev T. T., Djumaboyev D. X. “Matematik analiz fanidan  

    1- kurs talabalari uchun laboratoriya ishlari”,T.”Universitet” 

     2003.