Microsoft Word Elem riy. Müh. 1 docx

Teorem 2. Əgər a və b tam ədədlərindən heç olmasa biri c tam ədədinə qalıqsız bölünürsə, onda onların hasili də c tam ədədinə tam bölünür.

Müstəqil isbat edin.

Teorem 3. Əgər a tam ədədi b tam ədədinə, b isə c tam ədədinə tam bölünürsə, onda a tam ədədi də c tam ədədinə qalıqsız bölünür.

Müstəqil isbat edin.

Tərif. Əgər a və b tam ədədlərinin c tam ədədinə bölünməsindən alınan qalıqlar bərabər olarsa, onda a və b tam ədədləri c tam ədədinə bölməyə nəzərən bərabərqalıqlı ədədələr adlanır.

Teorem 4. a və b tam ədədlərinin c tam ədədinə bölməyə nəzərən bərabərqalıqlı olması üçün zəruri və kafi şərt

a-b fərqinin c-yə tam bölünməsidir.

Teorem 5. a₁ , a₂ ,..., a_n

tam ədədlərinin c tam ədədinə bölünməsindən alınan qalıqlar uyğun olaraq

b₁ , b₂ ,..., b_n

tam ədədlərinin c tam ədədinə bölünməsindən alınan qalıqlara bərabər olarsa, onda onların

a₁ + a₂ +... + a_n və

b₁ + b₂ + ... + b_n cəmləri, həmçinin a₁  a₂ ...  a_n

və b₁  b₂  ...  b_n

hasilləri də bərabərqalıqlı olacaqdır.

Modula nəzərən müqayisə

Tam ədədlərə aid məsələlərin həllində geniş istifadə edilən mühüm anlayışla-modula nəzərən müqayisə anlayışı ilə tanış olaq.

Tərif. Əgər a və b tam ədədlərinin m natural ədədinə bölünməsindən alınan qalıqlar bərabər olarsa və ya a-b

fərqi m-ə tam bölünərsə, onda a və b tam ədədlərinə m moduluna nəzərən müqayisə olunan ədədlər deyilir və

a  b(mod m)

kimi işarə edilir.

Əgər a tam ədədi m- ə tam bölünərsə, onda a ədədi m moduluna nəzərən sıfır ilə müqayisə olunandır:

a  0 (mod m).

Nümunələr. 1. 15  23 (mod 4) . 2.  37  35 (mod 6) .

Modula nəzərən müqayisənin əsas xassələri

1. 
   Refleksivlik : istənilən a tam ədədi üçün a  a (mod m) .
   
2. 
   Simmetriklik: əgər a  b (mod m) olarsa, onda b  a (mod m) .
   
3. 
   Tranzitivlik: əgər a  b (mod m) və b  d (mod m) larsa, onda a  d (mod m) .
   

Digər xassələr. Tutaq ki, a  b (mod m) və d  l (mod m) . Onda:

1. 
   a + d  b + l (mod m) , yəni müqayisəni hədbəhəd toplamaq olar;
   

11  5 (mod 2), 17  26 mod(3)  28  22 mod(3) .

2. 
   a  d  b  l (mod m) , yəni müqayisəni hədbəhəd çıxmaq olar;
   

11  5 (mod 2), 17  26 mod(3)  6  21mod(3) .

3. 
   a  d  b  l (mod m) , yəni müqayisəni hədbəhəd vurmaq olar;
   

11  5 (mod 2), 17  26 mod(3)  187  130 mod(3) .

4. 
   Əgər a₁ , a₂ ,..., a_n
   

ədədlərinin m-ə bölünməsindən alınan qalıqlar uyğun olaraq b₁ , b₂ ,..., b_n

ədədlərinin m-ə bölünmə-

sindən alınan qalıqlara bərabər olarsa, yəni

a₁  b₁ mod(m), a₂  b₂ mod(m),..., a_n  b_n mod(m)

olarsa, onda

a₁ + a₂ + ... + a_n ,

b₁ + b₂ + ... + b_n

cəmlərinin, həmçinin

a₁  a₂  ...  a_n ,

b₁  b₂  ...  b_n

hasillərinin m-ə

bölünməsindən alınan qalıqlar bərabərdir, yəni

a₁ + a₂ + ... + a_n  b₁ + b₂ + ... + b_n mod(m) ,

a₁  a₂  ...  a_n  b₁  b₂  ...  b_n mod(m) .

5. 
   aⁿ  bⁿ (mod m) :
   

16  9(mod 7)  16²  9² mod (7) ;16  9(mod 7)  16ⁿ  9ⁿ mod (7) .

6. 
   Müqayisənin hər iki tərəfini eyni tam ədədə vurmaq olar: istənilən tam ədəddir.
   

a  k  b  k(mod m)

və ya

a  k  b  k (mod km) , burada k

7. 
   Müqayisənin hər iki tərəfini və modulunu onların istənilən ortaq böləninə bölmək olar.
   

Doğrudanda: a = a₁d , b = b₁d , m = m₁ d

olarsa, onda

a  b mod(m)  a₁d  b₁d mod(m₁d )  a₁  b₁ mod(m₁ ) .

Qeyd. Müqayisənin hər iki tərəfini həmişə eyni bir ədədə bölmək olmaz! Məsələn, 16  12(mod 4) . Hər tərıfi 4-ə bölsək, 4 və 3 ədədləri 4-ə nəzərən müaqayisə olnan ədədlər deyil.

8. 
   Əgər a və b tam ədədlərinin m tam ədədinə bölünməsindən alınan qalıqlar bərabər və m tam ədədi d-yə tam
   

bölünərsə, onda a və b tam ədədlərinin d-yə bölünməsindən alınan qalıqlar bərabərdir.

İsbatı. Tutaq ki, a  q  m + r, b = k  m + r, m = l  d .

a  q  l  d + r, b = k  l  d + r  a  b = (q  k)  l d . Göründüyü kimi a-b tam ədədi d tam ədədinə bölünür. Deməli, a  b (mod d ) .

Ədədlərin modula nəzərən müqayisəsinin tətbiqi ilə bəzi nümunə misalların həllinə baxaq.

1. 
   İstənilən n natural ədədi üçün 5ⁿ + 3 -ün 4-ə bölündüyünü isbat edək. Yəni 5ⁿ + 3  0 mod(4) .
   

İsbatı. Modula nəzərən müqayisənin xassələrindən istifadə edirik.

5  1mod(4)  5ⁿ  1ⁿ mod(4)  5ⁿ  1mod(4) ,

4  0 mod(4)  5ⁿ + 4  1mod(4)  5ⁿ + 3  0 mod(4) .

2. 
   İstənilən n natural ədədi üçün 7 ⁿ + 5  0 mod(6)
   

olduğunu isbat edək.

İsbatı. Modula nəzərən müqayisənin xassələrindən istifadə edirik.

7  1mod(6)  7 ⁿ  1ⁿ mod(6)  7 ⁿ  1  0 mod(6) ,

6  0 mod(6)  7 ⁿ + 5  0 mod(6) .

3. 
   X = 13¹⁶  2²⁵  5¹⁵ ədədinin 3-ə bölünməsindən alınan qalığı tapaq.
   

Həlli. Modula nəzərən müqayisənin xassələrindən istifadə edirik.

13  1mod(3)  13¹⁶  1mod(3) ,

2  1mod(3)  2²⁵  1mod(3) ,

5  1mod(3)  5¹⁵  1mod(3) .

13¹⁶  2²⁵  5¹⁵  1  (1)  (1) mod(3)  13¹⁶  2²⁵  5¹⁵  0 mod(3) .

Deməli,

X = 13¹⁶  2²⁵  5¹⁵

ədədinin 3-ə bölünməsindən alınan qalıq 0-a bərabərdir.

4. 
   X = 13¹⁶  2²⁵  5¹⁵ ədədinin 37-yə bölünməsindən alınan qalığı tapaq.
   

Həlli. Verilmiş ədədi

X = (169)⁸  (32)⁵  (125)⁵

şəklində yazaq.

169  16 mod(37)  169⁸  (16)⁸ mod(37) ,

32  5 mod(37)  32⁵  (5)⁵ mod(37) ,

125  14 mod(37)  125⁵  14⁵ mod(37) .

Buradan alırıq ki, verilmiş ədəd
Y = (16)⁸  (5)⁵ 14⁵ = (16² ) ⁴ + (70)⁵

ədədi ilə 37 ədədinə nəzərən müqayisə ediləndir.

256  3 mod(37), 70  4 mod(37) .

Deməli, verilmiş ədəd
Z = (3)⁴ + (4)⁵ = 81  (32) ² .

ədədi ilə 37 ədədinə nəzərən müqayisə ediləndir. 32  5 mod(37)

olduğunu nəzərə alsaq, axırıncı bərabərlikdən:

81  (5) ² = 81  25 = 56  56 = 37 + 19 .

Deməli, axtarılan qalıq 19-a bərabərdir.

5. 
   n-in istənilən natural qiymətində n ³ + 11n ədədinin 6-ya bölündüyünü isbat edin.
   

İsbatı. n-in istənilən natural qiymətində 12n ədədi 6-ya bölünür. Ona görə də n³ + 11n  n³ + 11n  12n mod(6) .

n³ + 11n  12n = n³  n = (n  1)n(n + 1) .

(n-1), n, (n+1) üç ardıcıl natural ədəddir. Üç ardıcıl natural ədədlərdən biri 2-yə, biri isə 3-ə bölünür. Ona görə də onların hasili 6-ya bölünür.

Beləliklə,

Buradan

n³ + 11n  12n  0 mod(6)  n³ + 11n  12n mod(6) .
n³ + 11n  0 mod(6) .

Bölünmə əlamətləri

Ümumi bölünmə əlaməti (Paskal əlaməti).

Tutaq ki, 10-luq say sistemində

A = a_n a_n1...a₁a₀ = a_n 10ⁿ + a_n1 10^n1 + ... + a₁ 10¹ + a₀

natural ədədi verilmişdir və m istənilən natural ədəddir. A natural ədədinin m natural ədədinə bölünmə əlaməti fransız alimi Blez Paskal (1623-1662) tərəfindən isbat edildiyindən onun adını daşıyır.

Paskal əlaməti. 10-luq say sistemində verilmiş A natural ədədinin m natural ədədinə bölünməsi üçün zəruri və kafi şərt B = a_n  r_n + a_n1  r_n1 + ... + a₁  r₁ + a₀ ədədinin m-ə bölünməsidir.


i
Burada r ədədi 10 ⁱ -nin m-ə bölünməsindən alınan qalıqdır (i=1,2,...n). Yəni 10ⁱ  r_i , (i = 1,2,..., n) m-ə bölünür.

Paskal əlamətinin isbatında teorem 1 və 2-dən istifadə edirik.

Zəruriliuin isbatı. Tutaq ki,

A = a_n 10ⁿ + a_n1 10^n1 + ... + a₁ 10¹ + a₀

natural ədədi m natural ədədinə bölünür. İsbat edək ki,

B = a_n  r_n + a_n1  r_n1 + ... + a₁  r₁ + a₀

ədədi də m-ə bölünür.

Şərtə görə

10 ⁿ  r_n,
10^n1  r_n1 ,...,10¹  r₁
ədədləri m-ə bölünür. Onda

a_n  (10ⁿ  r_n ) + a_n1  (10^n1  r_n1 ) + ... + a₁  (10¹  r₁ ) cəmi də m-ə bölünür. Bu cəmi aşağıdakı kimi yazaq:

(a_n

10ⁿ + a
n1

10^n1 + ... + a

10¹ + a

)  (a_n

• 
  r_n
  

^{+ a}n1

• 
  ^rn1
  

+ ... + a₁

· r₁

+ a₀

) = A  B .

1

0
A ədədi və A  B fərqi m natural ədədinə bölündüyündən B ədədi də m natural ədədinə bölünəcək.

Kafiliyin isbatı. Tutaq ki,

B = a_n  r_n + a_n1  r_n1 + ... + a₁  r₁ + a₀

natural ədədi m natural ədədinə bölünür. İsbat edək ki,

A = a_n 10ⁿ + a_n1 10^n1 + ... + a₁ 10¹ + a₀

ədədi də m-ə bölünür.
A  B = (a_n 10ⁿ + a_n1  0^n1 + ... + a₁ 10¹ + a₀ ) 

– (a_n  r_n + a_n1  r_n1 + ... + a₁  r₁ + a₀ ) =

= a_n  (10ⁿ  r_n ) + a_n1  (10^n1  r_n1 ) + ... + a₁  (10¹  r₁ ) .

Şərtə görə 10 ⁿ  r_n , 10^n1  r_n1 ,...,10¹  r₁ ədədləri m-ə bölünür. Ona görə də

A  B = a_n  (10ⁿ  r_n ) + a_n1  (10^n1  r_n1 ) + ... + a₁  (10¹  r₁ )

fərqi də m-ə bölünəcək. Digər tərəfdən şərtə görə B ədədi m-ə bölünür. Ona görə də A ədədi də mə bölünəcək.