Mühazirə 3
Elementar riyaziyyat 1.
Mühazirə 3.
Tərtib etdi A. Həsənov
Hesabın əsas teoremi. Natural ədədin kanonik yazılışı.
Natural ədədlərin ən böyük ortaq böləni (ƏBOB) və ən kiçik ortaq bölünəni (ƏKOB), onların xassələri. ƏBOB və ƏKOB-un kanonik təsviri. Evklid alqoritmi
Ədədin bölənlərinin sayı və bölənləri cəmi.
Riyazi induksiya metodu və onun tətbiqi.
Vilson teoremi. Fermanın kiçik teoremi.
Rasional ədədlər. Onluq kəsrlər. İrrasional ədədlər Həqiqi ədədlər. Ədəd oxu. Həqiqi ədədlərin mütləq qiyməti.
Ədədin tam və kəsr hissəsi.
Hesabın əsas teoremi. Natural ədədin kanonik yazılışı
Teorem 1-dən böyük istənilən tam ədədi sadə vuruqların hasilinə ayırmaq olar və bu ayrılış yeganədir.
İsbatı. Tutaq ki, a tam ədədi 1-dən böyükdür.
Əvvəlcə isbat edək ki, bu ədədi sadə vuruqların hasili şəklində göstərmək olar. Tutaq ki, a ədədinin 1-dən fərqli
ən kiçik müsbət böləni
p1 -dir və məlum teoremə görə
p1 sadə ədəddir. Bölmə əməlinə verilən tərifə görə elə
a1 tam
ədədi var ki,
a = a1 p1 . Əgər
a1 vuruğu sadə ədəddirsə, onda teorem isbat edilmiş olar. Əgər
a1 vuruğu mürəkkəb
ədəddirsə, onda onun ən kiçik sadə müsbət
p2 böləni var:
a1 = a2 p2 a = p1 p2 a2 . Əgər a2
vuruğu sadə
ədəddirsə, onda teorem isbat edilmiş olar. Əgər a2 vuruğu mürəkkəb ədəddirsə, onda onun ən kiçik sadə müsbət p3
böləni var: a2 = a3 p3 a = p1 p2 p3 a3 . Proses bu qayda ilə an = 1 alınana qədər davam edir:
a = p1 p2 p3 ... pn .
n = 1
olduqda
a = p1
alırıq. Bu a-nın sadə ədəd olduğu hala uyğundur. Qeyd etək ki, bu ayrılışda
p1 p2 ... pn .
İndi isə bu ayrılışın yeganə olduğunu isbat edək.
Tutaq ki, a-ədədinin
a = p1 p2 ... pn
sadə vuruqlara ayrılışı ilə yanaşı,
q1 , q2 ,..., qm
sadə ədədlərinə uyğun
digər a = q1 q2 ... qm
şəklində sadə vuruqlara ayrılışı da vardır. Onda
p1 p2 ... pn = q1 q2 ... qm .
Göstərək ki,
n m
olduqda belə ayrılış mümkün deyil,
n = m
olduqda isə
p1 p2 ... pn
və q1 q2 ... qm
hasilləri eynilkilə bərabərdir. Axırıncı bərabərliyin sağ tərəfi
q1 -ə bölündüyündən sol tərəfin
p1 , p2 ,..., pn vuruqlarından
biri
q1 -ə bölünməlidir. Fərz edək ki,
p1 vuruğu
q1 -ə bölünür. Ancaq
p1 və
q1 sadə ədədlər olduğundan
p1 = q1 . Ona
görə də
p1 p2 ... pn = q1 q2 ... qm
bərabərliyinin hər iki tərəfini
p1 = q1 -ə ixtisar edə bilərik. Nəticədə
p2 ... pn = q2 ... qm
alırıq. Analoji mühakimə ilə olduğu hal üçün
p3 ... pn = q3 ... qm
bərabərliyini alırıq. Prosesi bu qayda ilə davam etdiririk.
1 = qn+1 ... qm
n < m
alınır ki, bu da mümkün deyil. Çünki, qn+1 ,..., qm
vahiddən fərqli sadə ədədlərdir.
n = m olduğu halda isə, 1 = 1 alınır. Bu da
a = p1 p2 ... pn və a = q1 q2 ... qm
ayrılışlarının eynilklə bərabə olduğunu göstərir. Bununla da yeganəlik isbat olundu.
a = p1 p2 ... pn
sadə vuruqlara ayrılışında vuruqlar təkrarlana bilər. Onda ədədin qüvvəti anlayışından istifadə
edərək ayrılışı daha kompakt yazmaq olar. Tutaq ki, təkrarlanır və k1 + k 2 + ... + ki = n . Onda
p1 vuruğu
k1 dəfə,
p2 vuruğu k2
dəfə və s.
pi vuruğu ki
dəfə
a = pk1 pk2 ... pki
1 2 i
yaza bilərik. Bu şəkildə yazılış natural ədədin kanonik yazılışı adlanır. Burada
p1 < p2 < ... < pi və k1 , k 2 ,..., ki N .
deyilir.
Tərif. a1 , a2 ,..., an
Natural ədədlərin ən böyük ortaq böləni (ƏBOB) və ən kiçik ortaq bölünəni (ƏKOB), onların xassələri
natural ədədlərindən hər biri b natural ədədinə bölünərsə, onda b-yə bu ədədlərin ortaq böləni
Məsələn, 24 və 18 ədədlərinin ortaq bölənləri 1, 2, 3, 6-dır. Qeyd edək ki, 1-istənilən ədədin ortaq bölənidir.
Tərif.
deyilir və
a1 , a2 ,..., an
natural ədədlərinin ortaq bölənlərindən ən böyüyünə bu ədədlərin ən böyük ortaq böləni
( a1 , a2 ,..., an ) və ya ƏBOB ( a1 , a2 ,..., an )
kimi işarə edilir.
Verilmiş iki a və b ədədlərindən biri digərinin böləni olarsa, yəni a ədədi b-yə bölünərsə, onda ƏBOB(a,b)=b.
Verilmiş a1 , a2 ,..., an natural ədədlərindən hər biri bu ədədlərdən birinə tam bölünərsə, məsələn, ai
ƏBOB (a1 , a2 ,..., ai ,..., an ) = ai
Məsələn, 6, 24 və 18 ədədlərinin ƏBOB-u 6-dır.
-yə Onda
Tərif. Əgər ( a1 , a2 ,..., an ) = 1 olarsa, onda a1 , a2 ,..., an natural ədədləri qarşılıqlı sadə ədədlər adlanır.
Məsələn, ƏBOB (24, 35)=1 olduğundan 24 və 35 ədədləri qarşılıqlı sadə ədədlərdir. ƏBOB ( a1 , a2 ,..., an ) -nin tapılmasının standart alqoritmi aşağıdakı kimidir:
a1 , a2 ,..., an natural ədədlərindən hər birini sadə vuruqlara ayırırıq;
a1 , a2 ,..., an natural ədədlərindən hər birinə daxil olan sadə vuruqları seçirik;
seçilmiş sadə vuruqları bir-birinə vurmaqla a1 , a2 ,..., an ədədlərinin ƏBOB-nu tapırıq.
Teorem. Əgər a = b q + c olarsa, onda ( a, b)=( b, c).
İsbatı. a = b q + c şərtinə görə aydındır ki, a və b ədədlərinin ortaq bölənləri həm də c ədədinin bölənləridir. Həmçinin a = b q + c şərtindən b və c ədədlərinin ortaq bölənləri həm də a ədədinin bölənləridir.
Beləliklə,
a = b q + c
şərti ödənildikdə a və b ədədlərinin ortaq bölənləri ilə b və c ədədlərinin ortaq bölənləri
eynidir. Ən böyük ortaq bölən də bu bölənlər içərisində olduğundan ( a, b)=( b, c).
Evklid alqoritm. ƏBOB-un tapılmasında tətbiq edilən üsullardan biri də Evklid alqoritmidir. Tutaq ki, a və b
natural ədədləri verilmişdir və a > b . Qalıqlı bölmə haqqındakı teoremə görə aşağıdakı bərabərlikləri yaza bilərik.
a = b q1 + r1 , 0 < r1 < b .
Əgər r1 = 0 olarsa, onda (a,b)=b. 0 < r1 < b olduqda proses davam etdirilir.
b = r1 q2 + r2 , 0 < r2 < r1 .
Əgər
r2 = 0 olarsa, onda ( b, r1 ) = r1 ( a, b) = r1 . 0 < r2 < r1
olduqda proses davam etdirilir. Beləliklə, proses qalıqda sıfır
alınana qədər davam etdirilir. Fərz edək ki, n-ci addımda rn = 0 . Onda
rn2 = rn1 qn + rn ,
rn = 0 , (a, b) = rn1 .
Yuxarıda şərh edilən prosesin ardıcıllığı aşağıdakı kimidir:
a = b q1 + r1 , b = r1 q2 + r2 , r1 = r2 q3 + r3 ,
r2 = r3 q4 + r4 ,
rn2 = rn1 qn ,
0 < r1 < b .
0 < r2 < r1 .
0 < r3 < r2 ,
0 < r3 < r2 ,
rn = 0 .
(a, b) = (b, r1 ) = (r1 , r2 ) = ... = (rn2 , rn1 ) = rn1 .
Tərif. b natural ədədi bölünəni deyilir.
a1 , a2 ,..., an
natural ədədlərindən hər birinə bölünərsə, onda b-yə bu ədədlərin ortaq
Məsələn, 72 ədədi həm 24-ə, həm də 18-ə bölündüyündən 24 və 18-in ortaq bölünənidir.
Tərif. Verilmiş
a1 , a2 ,..., an
natural ədədlərinin ortaq bölünənləri içərisində ən kiçiyinə bu ədədələrin ən kiçik
ortaq bölünəni deyilir və
kimi işarə edilir.
ƏKOB (a1 , a2 ,..., an ) və ya [a1 , a2 ,..., an ]
ƏKOB ( a1 , a2 ,..., an ) -nin tapılmasının standart alqoritmi aşağıdakı kimidir:
a1 , a2 ,..., an natural ədədlərindən hər birini sadə vuruqlara ayırırıq;
a1 , a2 ,..., an natural ədədlərinin vuruqları içərisindən qüvvəti ən yüksək olanlarını seçirik;
seçilmiş vuruqları bir-birinə vurmaqla a1 , a2 ,..., an natural ədədlərinin ƏKOB-nu tapırıq.
ƏBOB və ƏKOB-un xassələri. İstənilən a, b, c, d natural ədədləri üçün aşağıdakı xassələr doğrudur. Bu xassələri müstəqil isbat edin.
ƏBOB(a,b)=ƏBOB(b,a); ƏKOB(a,b)=ƏKOB (b,a).
ƏBOB (a, b) ƏKOB (a, b) = a b . Xüsusi halda ƏBOB (a, b) = 1 olarsa, ƏKOB (a, b) = a b .
Əgər ƏBOB (a, b) = k olarsa, onda elə c və d natural ədədləri var ki, a = c k, b = d k (c, d ) = 1.
ƏBOB (a, b) = 1 olarsa, onda ixtiyari m və n natural ədədləri üçün (am , bn ) = 1 .
Əgər a ədədi b ədədinə tam bölünərsə, ƏBOB (a, b) = b və ƏKOB (a, b) = a .
Do'stlaringiz bilan baham: |