Mavzu: fazoda tekislik tenglamalari

2–ta‘rif. Fazoning M nuqtasidan o’tuvchi tekisliklar to’plami tekisliklar bog’lami deb ataladi. M nuqta bog’lamning markazi deyiladi.
A,B,C koeffitsientlar har xil qiymatlarni qabul qilganda (7.2) tenglama markazi М₁(х₁;у₁;z₁) nuqtada bo’lgan tekisliklar bog’lamining tenglamasini ifodalaydi.
1–misol. М₁(3;-2;1) nuqtadan vektorga perpendikulyar o’tkazilgan tekislik tenglamasi yozilsin.
Yechish. Bu yerda А=1, В=1, С=-2; х₁=3, у₁=-2, z₁=1. (7.2) formulaga binoan 1·(х-3)+1·(у+2)+(-2)·(z-1)=0 yoki х+у-2z+1=0 tekislik tenglamasiga ega bo’lamiz.
3.Tekislikning umumiy ko’rinishdagi tenglamasi
Biz yuqorida tekislik tenglamasi dekart koordinatalari x,y va z ga nisbatan birinchi darajali (chiziqli) tenglama ekanini ko’rdik. Endi aksini ya‘ni x,y va z ga nisbatan birinchi darajali har qanday tenglama tekislik tenglamasi ekanini ko’rsatamiz.
Ах+Ву+Сz+D=0 (7.3)
tenglamaga ega bo’laylik. Bu yerdagi A,B,C,D ma‘lum sonlar bo’lib ulardan A,B,C koeffitsientlar bir vaqtda nolga teng emas. Aks holda biz tenglama emas balki D=0 ayniyatga ega bo’lamiz.
С≠0 deb faraz qilib (7.3) tenglamani
(7.4)
ko’rinishda yozamiz. Bu tenglamani (7.2) tenglama bilan taqqoslab u nuqtadan o’tib normal vektorga ega tekislik tenglamasi ekanini ko’ramiz.
(7.3) tenglama tekislikning umumiy tenglamasi deb ataladi.
Endi tekislikning umumiy tenglamasining xususiy hollari bilan tanishib chiqamiz.

1. 
   Ozod had D=0 bo’lsin. Bu holda tekislik tenglamasi Ax+By+Сz=0 ko’rinishga ega bo’ladi. x=0, y=0, z=0 bu tenglamani qanoatlantirgani uchun tekislik koordinatalar boshi 0(0;0;0) nuqtadan o’tadi. Demak tekislik tenglamasining ozod hadi nolga teng bo’lganda tekislik koordinatalar boshidan o’tar ekan.
   
2. 
   Tenglamada dekart koordinatalari oldidagi koeffitsientlardan biri, masalan С=0 bo’lsin. Bu holda tenglama Ax+By+D=0 ko’rinishga ega bo’ladi. dan normal vektorning 0z o’qqа perpendikulyarligi va tekislikning 0z o’qqa parallelligi kelib chiqadi. Agar Ах+Ву+D=0 tenglamani 0ху tekislikda qarasak u to’g’ri chiziqning umumiy tenglamasini ifoda etadi. Biz qaraydigan holda 0z o’qqа parallel tekislik 0ху tekislikni ana shu to’g’ri chiziq bo’ylab kesib o’tadi.
   

Shunga o’xshash Ах+Сz+D=0 tekislik 0у o’qqа parallel, Ву+Сz+D=0 tekislik esa 0х o’qqа parallel ekanligini ko’rsatish mumkin: agar tekislik tenglamasida dekart koordinatalari х,у,z lardan qaysi biri qatnashmasa tekislik o’sha koordinataga mos o’qqa parallel bo’ladi.
3. Tenglamada dekart koordinatalari oldidagi koeffitsientlardan biri va ozod had nolga teng, masalan С=D=0 bo’lsin. Bu holda Ах+Ву=0 tenglama 1–bandga asosan koordinatalar boshidan o’tadi va 2-bandga ko’ra u 0z o’qqa parallel bo’lishi lozim. Demak Ах+Ву=0 tekislik 0z o’q orqali o’tadi.
Shuningdek Ву+Сz=0 va Ах+Сz=0 tenglamalarga 0х va 0у o’qlar orqali o’tuvchi tekisliklar mos keladi.
4.Tenglamada dekart koordinatalari koeffitsientlaridan ikkitasi nolga teng bo’lsin. Masalan, А=В=0. Bu holda Сz+D=0 tekislik 3–banddagi mulohazaga ko’ra ham 0x o’qqa, ham 0y o’qqa parallel bo’ladi. Demak u 0xy tekislikka parallel bo’ladi. Shuningdek Ах+D=0 va Ву+D=0 tekisliklar 0уz va 0хz koordinata tekisliklariga parallel tekisliklarning tenglamalaridir.
5.Tenglamada ikkita dekart koordinatalarining koeffitsientlari hamda ozod had nolga teng bo’lsin. Masalan, А=В=D=0. U holda tenglama Сz=0 yoki z=0 ko’rinishga ega bo’ladi. 4–banddagi mulohazalarga ko’ra u 0ху tekislikka parallel. 1–bandga asosan u koordinatalar boshidan o’tadi. Demak z=0–0ху tekislikning tenglamasi. Shuningdek у=0-0хz tekislikning tenglamasi, х=0-0уz tekislikning tenglamasidir.