Mavzu : Yo’nalish bo’yicha hosila. Gradient Reja: Skalyar maydon tushunchasi

2.2.1-teorema.Sirtda yotuvchi ixtiyoriy chiziq bo’yicha urinma vektorlarni parallel ko’chirish operatsiyasi skalyar ko’paytmani saqlovchi chiziqli izomorfizmdir.
Isbot. Regulyar F sirtda = tenglama bilan chiziq berilib, bo’lsin. Agar urinma vektorlarni bo’ylab q nuqtaga ko’chirish natijasida vektorlar hosil bo’lsa, bu chiziq bo’ylab parallel X,Y vektor maydonlar mavjud bo’lib, X(t₁)= X(t₂)= Y(t₁)= , Y(t₂)= tengliklar bajariladi.Bu vektor maydonlar parallel bo’lganligi uchun X+Y vektor maydon va ixtiyoriy 𝞴 haqiqiy son uchun 𝞴 X vektor maydon ham bo’ylab parallel bo’ladi, chunki =0, =0 tengliklardan
=0, =0 munosabatlar kelib chiqadi. Bu munosabatlarni isbotlash uchun = ,

formulalarni isbotlaymiz. Bu yerda f(t) differensiallanuvchi funksiya fX vektor maydon fX(t)=f(t)X(t) qoida bo’yicha aniqlanadi.
Bu formulalarni isbotlash uchun
=
tengliklardan foydalanamiz. Uchinchi formulani isbotlaylik :
17

Ikkinchi formulaning isboti
,

tengliklardan kelib chiqadi. Endi teorema isbotiga qaytaylik, quyidagi
(X+Y)(t₁)=X(t₁)+Y(t₁)=
(X+Y)(t₂)=X(t₂)+Y(t₂)=
𝞴 X(t₁) = 𝞴
munosabatlardan chiziq bo’ylab parallel ko’chirish operatsiyasi
urinma fazolar orasidagi chiziqli izomorfizm ekanligi kelib chiqadi.
Endi akslantirishda skalyar ko’paytmaning saqlanishini ko’rsataylik .

tenglikda har bir t uchun

=0, =0

bo’lganligi uchun ni hosil qilamiz.

Demak, chiziq bo’ylab nuqtadan nuqtaga harakat qilganimizda (X(t), Y(t)) skalyar ko’paytma o’zgarmaydi va
18
(X(t₁), Y(t₁)) =(X(t₂), Y(t₂)) tenglik o’rinli bo’ladi.
Regulyar F sirtda yotuvchi va tenglama bilan aniqlangan chiziq geodezik chiziq bo’lishi uchun uning urinma vektori bo’ylab parallel bo’lishi zarur va yetarlidir.
Isbot.Urinma vektorning kovariant differensialini hisoblasak

munosabatni hosil qilamiz. Demak, geodezik chiziq bo’lishi uchun
bo’lishi zarur va yetarlidir.
Misol. Doiraviy silindr Oxyz dekart koordinatalar sistemasida x²+y²=R² tenglama bilan berilsa, unda yotuvchi
x=Rcost, y=Rsint, z=Rt
tenglama bilan aniqlanuvchi vint chizig’i uchun uning

urinma vektori shu chiziq bo’ylab paralleldir, chunki

Vector urinma tekislikka ortogonal va demak
Regulyar F₁ va F₂ sirtlar uchun f:F₁ F₂ differensiallanuvchi akslantirishlar berilib, F₁ sirtda = tenglama bilan aniqlangan chiziq bo’ylab sirtga urinuvchi X(t) vektor maydon berilgan F₂ sirtda chiziqning obrazi F( ) silliq chiziq bo’ladi, va F( ) bo’ylab aniqlangan Y=dF(X) silliq vektor maydon hosil bo’ladi.