Mavzu : Yo’nalish bo’yicha hosila. Gradient Reja: Skalyar maydon tushunchasi

1.2.1-teorema.Silliq vektor maydon berilgan sohaning har bir nuqtasidan shu vektor maydonning yagona integral chizig’i o’tadi.
Isbot.Vektor maydonning
X₁(x,y,z), X₂ (x,y,z), X₃(x,y,z)
koordinata funksiyalari, (x₀, y₀, z₀) nuqta berilgan bo’lsa
(1)
differensial tenglamalar sistemasining
x(0)=x₀, y(0)=y₀, z(0)=z₀ boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi {x(t), y(t), z(t)} yechimi (x_0, y_0, z_o) nuqtadan o’tuvchi integral chiziqni aniqlaydi.Endi sirtlarda berilgan vektor maydonlarni qaraylik. Regulyar F sirtning p nuqta atrofidagi (f, G) parametrlash usuli = (u, v) tenglama
bilan brilgan bo’lsin. Agar F sirtga tegishli har bir nuqtaga shu nuqtadan chiquvchi vektor mos qo’yilgan bo’lsa, sirtda vektor maydon berilgan deyiladi. Agar vektor maydonning koordinata funksiyalari F sirtda aniqlangan differensiallanuvchi funksiyalar bo’lsa, vektor maydon silliq vektor maydon deyiladi. Demak, X={ X₁, X₂, X₃} vektor maydon p nuqta atrofida silliq bo’lishi uchun
X₁ , X₂ , X₃
funksiyalar differesiallanuvchi funksiyalar bo’lishi lozim. Sirtda berilgan X vektor maydoni X(q)= ko’rinishida yozish mumkin. Bu yerda vektorlar mos ravishda X(q) vektorning q nuqtadan o’tuvchi urinma tekislikka va normalga proeksiyalaridir. Shunday qilib, sirtga urinuvchi va sirtga perpendikulyar vektor maydonlar hosil bo’ladi. Agar X silliq vektor maydon bo’lsa, vektor maydonlar ham silliq bo’ladi.
Buni isbotlash uchun berilganlar p nuqta atrofida ularning silliq ekanligini ko’rsataylik. Buning uchun X ni X= ko’rinishida yozib, bu tenglikni vektorga skalyar ko’paytirib munosabat hosil qilamiz. Bu yerda = .
14
Demak, Xⁿ=𝞴 , tengliklar hosil bo’ladi. Berilgan X vektor maydonva silliq vektor maydonlar bo’lganligi uchun 𝞴(u,v) differensiallanuvchi funksiyadir. Shuning uchun lar ham silliq vektor funksiyalar bo’ladi.
Endi = tenglama bilan parametrlangan silliq chiziq berilib, har bir t uchun (t) nuqtadan o’tuvchi X(t) vektor mos qo’yilsa, chiziqda vektor maydon berilgan deyiladi. Berilgan vektor maydonning koordinata funksiyalari differensiallanuvchi funksiyalar bo’lsa, u silliq vektor maydon deyiladi.