Mavzu : Yo’nalish bo’yicha hosila. Gradient Reja: Skalyar maydon tushunchasi

5-rasm

11
2.Yo`nalish bo`yicha hosila bilan gradient orasidagi bog`lanish.

Yo‘nalish bo‘yicha hosilani gradu orqali quyidagicha yozishimiz mumkin.

Bunda l₀ vektor l vektor yo`nalishidagi vector bo`lib u quyidagiga teng

Φ gradu va l₀ vektor orasidagi burchak (1 - rasm).
1-rasm
Demak, biror nuqtada olingan yo‘natish bo‘yicha hosila gradientning shu yo‘nalishdagi proyeksiyasiga teng ekan.
Agar gradu = 0 bolsa bo`ladi. Agar grad≠0 bo`lsa , gradient yo‘nalishi bilan mos kelmagan barcha vektorlar uchun ekanligi kelib chiqadi.
Yevklid geometriyasida tekislikda va fazoda vektorlarni bir nuqtadan ikkinchi nuqtaga parallel ko’chirishni biz yaxshi bilamiz. Lekin sirtlarda bir nuqtadagi urinma vektorni ikkinchi nuqtadagi urinma vektorga parallel ko’chirishda Yevklid fazodagi parallel ko’chirishdan foydalanib bo’lmaydi, chunki, bitta nuqtadagi urinma vektor ikkinchi sirtga urinma vector bo’lmay qolishi mumkin. Shuning uchun sirtlarda parallel qoidasini boshqacha yo’l bilan aniqlashga kirishamiz. Avval biz vektor maydonlar va ularni kovarint differensiallash tushunchalarini kiritamiz. Uch o’lchamli
Yevklid fazosining birorta ochiq G qism to’plami berilgan bo’lsin. Agar G to’plamga tegishli har bir p nuqtaga bitta X(p) vektor mos qo’yilsa, bu moslik vektor maydon deb ataladi. Fazoda Oxyz Dekart koordinatalar sistemasini kiritib, X(p) vektorni bazis vektorlar orqali ifodalasak
X(p)= X₁ (p) X₂(p) +X₃(p)
tenglikni hosil qilamiz. Bu yerda X(p) vektorning X₁(p), X₂(p), X₃(p) koordinatalari p nuqtaning funksiyalaridir.
Demak, vektor maydon berish uchun X₁(x,y,z), X₂ (x,y,z), X₃(x,y,z) funksiyalar ko’rsatilishi yetarlidir. Agar X₁(x,y,z), X₂ (x,y,z), X₃(x,y,z) funksiyalar differensiallanuvchi funksiyalar bo’lsa,
X: (x,y,z) {X₁(x,y,z), X₂ (x,y,z), X₃(x,y,z) }
Vektor maydon silliq (yoki differensiallanuvchi ) vektor maydon deyiladi. Vektor maydon X uchun X₁(x,y,z), X₂ (x,y,z), X₃(x,y,z)
funksiyalarni uning koordinata funksiyalari deb ataymiz.
1.2.1.Ta’rif. Birorta G⊂R³ sohada X vector maydon berilgan bo’lib va shu sohada = tenglama bilan aniqlangan differensiallanuvchi
chiziq ham berilgan bo’lsin. Agar har bir t uchun =X( bo’lsa chiziq X vektor maydonning integral chizig’i deyiladi. Bu yerda chiziqning radius vektori bo’lgan nuqtasi.