Matematik induksiya metod

1-chizma.

3-misol. Ixtiyoriy n ta kvadrat berilgan. Ularni shunday qismlarga bo’lish mumkinligini isbotlangki, hosil bo’lgan qismlarda yangi kvadrat yasash mumkin bo’lsin.

Yechilishi.I.n=1 bo’lsa, isbotlashga hojat yo’q. n=2 da ham tasdig’ímiz o’rinli bo’lishini isbotlaymiz. Berilgan ABCD va abcd kvadratlarning tomonlarini x va y orqali belgilaylik, x y bo’lsin. Tomoni x bo’lgan ABCD kvadratning tomonlaridan (2-a chizma)

a) 2-chizma b)

AK=BN=CP=DQ=

kesmalarni o’lchab olamiz va bu kvadratni KP va NQ to’g’ri chiziqlar bo’ylab kesamiz, bunda aytilgan to’g’ri chiziqlar O nuqtada o’zaro to’g’ri burchak hosil qilib kesishishi hamda kvadratni to’rtta teng qismlarga ajratishini ko’ramiz. Hosil bo’lgan bo’lakchalarni ikkinchi kvadratga 2-b chizmada ko’rsatilganidek qilib yopishtiramiz. Hosil bo’lgan figura kvadrat bo’ladi, chunki K^/,N^/,P^/ va Q^/-nuqtalarda hosil bo’lgan burchaklar yoyiq, A^/,B^/,C^/,D^/ burchaklar to’g’ri va A^/B^/ = B^/C^/=C^/D^/=D^/A^/.

II. Yuqoridagi tasdiq k ta K₁,K₂…,K_k kvadratlar uchun isbotlangan bo’lsin deb faraz qilib, (k+1) ta K₁,K₂…,K_k,K_k+1 kvadratlarda bitta kvadrat yasash mumkinligini ko’rsatamiz.

Shu maqsadda K_k va K_k+1 kvadratlarni olib I punktda ko’rsatilgan usul bilan ulardan K^/ kvadratni yasaymiz. Natijada k ta K₁, K₂…,K_k-1K^/ kvadrat hosil bo’ladi. Farazga ko’ra ulardan bitta kvadrat yasash mumkin. Shuni isbotlash kerak edi.

III.Xulosa.

Har bir fanni egallash undagi turli-tuman faktlarni,asosiy qonuniyatlarni bilib olish bilan birga shu fandagi tadqiq qilish metodlarini o’zlashtirishni ham taqozo qiladi. Matematika fanida ham u o’rganadigan ob’yektlarni, qonuniyatlarni ochuvchi qator metodlar yaratilgan. Ularning ba’zilari muayyan masalalar uchun mahsus yaratilgan bo’lsa, ayrimlari umummatematik ahamiyatga egadir. Shulardan biri matematik induksiya metodi b’olib, u matematikaning asoslaridan biri hisoblanadi. Matematik induksiya uslubi ko’plab qiziq matematik masalalarda o’z yechimini topgan. Matematik induksiya metodi biror-bir tasdiqni hosil qilish usuli emas,balki berilgan ya’ni tayyor tasdiqni isbotlash usulidir. Ko’pchilik matematik tasdiqlar cheksiz sondagi hususiy hollardan iborat bo’ladi. Bunday hususiy hollarning barchasini tekshirib ko’rishning iloji yo’q. Masalan, biror matematik tasdiqning bajarilishi barcha natural n uchun to’g’riligini isbotlash talab qilingan bo’lsin. Buni isbotlash uchun oldin uning n = 1 uchun to’g’riligini tekshirib ko’rish kerak. So’ngra bu tasdiq biror natural k uchun to’g’ri deb faraz qilinib, uning k +1uchun to’g’riligi kelib chiqsa, u holda bu tasdiqning istalgan n uchun to’g’riligi isbotlangan hisoblanadi.Yuqoridagilarning barchasi matematik induksiya prinspiga asosan qurilgan. Yig’indilarni hisoblashda, ayniyatlarni,

tengsizliklarni isbotlashda va hatto hayotimizdagi qiziq hodisalar-

ning o’z yechimini topishda ham matematik induksiya metodining ahamiyati kattadir.