Matematik induksiya metod

4 Tengsizliklarni isbotlashda matematik induksiya metodi.

1-misol. (Bernulli tengsizligi). Bir xil ishorali va -1 dan katta a₁,a₂,…,a_n sonlar uchun

(1+ a₁)(1+a₂)^.….^.(1+a_n) 1+ a₁+a₂+…+a_{n . (1)}

Isboti. I.n=1 va n=2 da:

1+a₁=1+a₁;

(1+a₁)(1+a₂)=1+ a₁+a₂+ a₁a₂ 1+ a₁+a₂,

chunki a₁a₂ 0.

II.n=k(k>2) uchun (1) o’rinli bo’lsin.

Bu farazdan foydalanib n=k+1 bo’lganda ham (1) to’g’ri bo’lishini ko’rsatamiz. Haqiqatan ham, (1+a₁)…(1+a_k)(1+a_k+1) (1+a₁+…+a_k)(1+a_k+1)=1+a₁+…+a_k+a_k+1+ a_k+1(a₁+…+a_k) 1+a₁+…+a_k+a_k+1, chunki a₁ lar bir xil ishorali bo’lganligi uchun

a_k+1(a₁+…+a_k) 0.

Demak, (1) n N uchun to’g’ri.

2-misol.

(2)

tengsizlikni isbotlang.

Isboti. I.n=1 da <4.

II. n=k uchun (2) o’rinli bo’lsin. n=k+1 uchun ham (2) rost bo’lishini ko’rsatamiz. Farazni e’tiborga olsak:

= < <

3-misol. n 3 bo’lganda

nⁿ⁺¹>(n+1)ⁿ. (3)

Isbot. I.n=3 da 3⁴>4³, ya’ni (3) o’rinli.

II. n=k(k>3) uchun k^k+1>(k+1)^k o’rinli bo’lsin. n=k+1 uchun ham (3) bajarilishini ko’rsataylik. Shu maqsadda so’nggi tengsizlikni ikkala tomonini (k+1)^k+2 : k^k+1 ga ko’paytiramiz:

Shuni isbotlash kerak edi.

5 Trigonometriyada matematik induksiya.

1-misol. Ixtiyoriy musabat n butun son uchun ushbu ayniyatni isbotlang.

cos cos 2 cos 4 … cos2ⁿ = (1)

Isboti. I.n=0 uchun cos = .

II. (1) ayniyat n=k uchun o’rinli bo’lsin, ya’ni

cos cos 2 cos 4 … cos2^k =

ayniyat o’rinli deb faraz qilib, n=k+1 uchun ham (1) ning o’rinli bo’lishini ko’rsatamiz. Haqiqatan ham, induktiv farazni e’tiborga olib quyidagi natijaga erishamiz:

cos cos 2 … cos 2^k cos 2^k+1 = ^. cos 2^k+1 =

= .

2-misol. Ixtiyoriy n natural son uchun

| sin(nx)| n |sin x| (2)

tengsizlikni bajarilishini ko’rsating.

Isboti. I. n=1 da tenglik bo’ladi.

II. n=k uchun | sin kx| k |sin x| tengsizlik bajarilsin deb faraz qilib, (2) tengsizlik n=k+1 uchun ham o’rinli bo’lishini isbotlaymiz. Isbotni farazdan foydalanib, quyidagicha bajaramiz:

| sin (k+1) x | =|sin(kx+x)|=|sin kx cos x + sin x cos kx| |sin kx| ^. | cos x| +|cos kx | ^. | sin x | k | sin x| + |sin x| = (k+1) |sin x|,

chunki |cos x| 1, |cos kx| 1. Demak, (2) tengsizlik barcha natural sonlar uchun o’rinli.

3-misol. n 2 natural son uchun

tgn >n tg (3)

tengsizlikni isbotlang, bunda 0< < /4 (n-1).

Isboti. I. n=2 da

tg 2 > 2tg (0< < ) (4)

bo’lishini ko’rsataylik. Haqiqatan ham,

tg 2 > 2tg = - 2 tg =2 tg ^. .

0< < da 0

2 tg ^. >0.

Demak, (4) o’rinli.

II. (3) tengsizlik n=k uchun to’g’ri, ya’ni ushbu

tg k >k tg

tengsizlik 0< < /4(k-1) oraliqda to’g’ri deb faraz qilib, (3) tengsizlik 0< < /4 oraliqda n=k+1 uchun ham bajarilishini ham isbotlaylik.

Qo’shish teoremasiga asosan

tg(k+1) = .

Farazni e’tiborga olsak,

tg(k+1) > .

Masala shartiga asosan 0< < /4k bo’lganligidan0

>(k+1)tg

tengsizlik o’rinli bo’lib, (3) ning n=k+1 uchun o’rinli bo’lishi kelib chiqadi.