Ma’ruza. Aniq integral va uning asosiy xossalari. Aniq integrallarni hisoblash usullari. Nyuton-Leybnits formulasi. Aniq integralning tatbiqlari. Aniq integral yordamida yuzalarni, yoy uzunligini va jism hajmini hisoblash. Reja

Ta’rif. funksiyanig integral yig‘indisining limiti funksiyaning oraliq bo‘yicha aniq integrali deyiladi va

kabi belgilanadi. Demak,
,
bunda funksiya da integrallanuvchi, son integralning quyi chegarasi,  son esa yuqori chegarasi, segmenti integrallash oralig‘i deyiladi.
Misol. Ushbu aniq integral topilsin:
Avvalo funksiyaning integral yig‘indisini topamiz:
.
Unda
.
bo‘ladi. Demak, . Xususan, bo‘lsa, bo‘ladi.
Esalatma. Agar bo‘lsa, ;
agar bo‘lsa, deb qaraladi.


Aniq integralning xossalari
Engi aniq integralning xossalarini keltiramiz.
1) O‘zgarmas ko‘paytuvchini integral belgisi ostidan chiqarish mumkin:
.
Haqiqatan ham,
.

2) Yig‘indining integrali integrallar yig‘indisiga teng:

.
Aniq integral ta’rifidan foydalanib topamiz:

.
3) Agar da uzluksiz bo‘lgan va funksiyalar uchun ixtiyoriy da bo‘lsa, u holda bo‘ladi.
 Aytaylik, bo‘lsin. Ravshanki, da

bo‘ladi. Ayni paytda va
bo‘lishidan , ya’ni bo‘lishi kelib chiqadi. Keyingi munosabatdan topamiz: . Aniq integralning keyingi xossalarini isbotsiz keltiramiz.
4) Agar funksiya da integrallanuvchi bo‘lsa, funksiya oraliqda ham integrallanuvchi bo‘ladi.
5) Ushbu munosabat o‘rinli bo‘ladi.
6) Ushbu tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Nyuton-Leybnits formulasi
Ma’lumki, funksiya da uzluksiz bo‘lsa, u holda

funksiya shu oraliqda  ning boshlang‘ich funksiyasi bo‘ladi.
Ayni paytda, funksiyaning ixtiyoriy boshlang‘ich funksiyasi yuqoridagi boshlang‘ich funksiyadan ixtiyoriy o‘zgarmas qo‘shiluvchiga farq qiladi:

Demak, . Bu tenglikda deb
,
so‘ng deb

tengliklarni topamiz. Bu tengliklardan
(1)
bo‘lishi kelib chiqadi.
(1) formula Nyuton-Leynits formulasi deyiladi.
(1) tenglikning o‘ng tomonidagi  ayirma  kabi yoziladi:

Demak,
.
Misollar. Quyida keltirilgan aniq integrallar N'yuton-Leybnits formulasi yordamida hisoblangan:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .