Kirish : Assosiy qism: Birinchi tur sirt integrallari

5-ta’rif. Agar (S) sirtning har qanday (6) bo ‘linishlar ketma-ketligi

olinganda ham unga mos integral yig ‘indi qiymatlaridan iborat ketma –ketlik nuqtalarni tanlab olinishiga bog ‘liq bo ‘lmagan holda,

hamma vaqt bitta I songa intilsa,bu I yig ‘indining limiti deb ataladi va u

(7)

kabi belgilanadi.

Integral yig ‘indining limitini quydagich ham ta’riflash mumkin.

6-ta’rif.Agar son olinganda ham ,shunday topilsaki,(S) sirtning diametri bo ‘lgan har qanday bo ‘linishi hamda har bir bo ‘lakdan olingan ixtiyoriy lar uchun



Tengsizlik bajarilsa , u holda I son yig ‘indining limiti deb ataladi va (7) kabi belgilanadi.

7-ta’rif.Agar da f(x,y,z) funksiyaning integral yig ‘indisi chekli limitga ega bo ‘lsa f(x,y,z ) funksiya (S) sirtning bo ‘yich integrallanuvchi (Riman ma’nosida integrallanuvchi )funksiya deb ataladi. Bu yig ‘indining chekli limiti I esa ,f(x,y,z) funksiyaning ikkinchi tur sirt integrali deyiladi va u



Kabi belgilanadi.Demak ,



Funksiya ikkinchi tur sirt integrali quydagicha

(8)

Belgilashidan ,integral (S) sirtning qaysi tamoni bo ‘yicha olinganligi ko ‘rinmaydi.Binobarin (8) integral to ‘g ‘risida gap borganda ,har gal integral sirtning qaysi tamoni bo ‘yicha olinayotgani aytib boriladi.

Ravshanki f(x,y,z) funksiyaning (S) sirtning bir tamoni bo ‘yicha olingan ikkinchi tur sirt integrali ,funksiya shu sirtning ikkinchi tomoni bo ‘yicha olinga ikkinchi tur sirt integralidan faqat ishorasi bilan farq qiladi.

Ikkinchi tur sirt integralidan ta’riflanadi .

Shunday qilib ,sirtda berilgan f(x,y,z) funksiyadan uchga –Oxy tekislikdagi proeksiyalari ,Oyz tekislikdagi proeksiyalari hamda Ozx tekislikdagi proeksiyalar vositasida olingan ikkinchi tur sirt integrallari tushunchalari kiritiladi.

Umumiy holda (S) sirtda P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)funksiyalar berilgan bo‘lib ,ushbu

Integral mavjud bo ‘lsa u holda

Yig ‘indi ikkinchi tur sirt integralining umumiy ko ‘rinishi deb ataladi va u

Kabi belgilanadi.Demak

=

=

Faraz qilaylik fazodagi (S) sirt

z=z(x,y)

tenglama bilan berilgan bo ‘lsin .Bunda z=z(x,y) funksiya chegaralangan yopiq (D) sohada uzluksiz va hosilalarga ega hamda bu hosilalar ham (D)da uzluksiz.

Teorema. Agar f(x,y,z) funksiya (S) sirtda berilgan va uzluksiz bo ‘lsa , u holda bu fuksiyaning (S) sirt bo ‘yicha ikkinchi tur sirt integrali



mavjud va



bo ‘ladi.