Iqtisodiyot va turizm fakulteti Dekan I f. n., dots. D. Sh. Yavmutov

ŷi
– i-nomerli yil uchun trendning tekislangan (nazariy) darajalari 
ti
–vaqtli qatorning darajalari tegishli bo‘lgan momentlar yoki vaqt davrlari 
nomerlari; 
,
1
0
i
i
t
a
a
y





---

27 
ai,
- trend parametrlari. 
Iqtisodiy qatorlar dinamikasi tendensiyasini aniqlash vaqtida ko‘pchilik 
hollarda turli darajadagi polinomlar: 




1
,
1
,...,
1
,
0
,
1
)
(
1
0







 




u
k
i
t
a
a
t
y
u
k
i
i
i
va eksponensional funksiyalar qo‘llaniladi: 




1
,
1
,...,
1
,
0
,
1
)
(
1
0















u
k
i
e
t
y
u
t
a
a
k
i
i
i
(1) 
SHuni qayd etib o‘tish lozimki, funksiya shakli tenglashtirilayotgan qatorlar 
dinamikasi xarakteriga muvofiq, shuningdek, mantiqiy asoslangan bo‘lishi lozim. 
Polinomning eng yuqori darajalaridan foydalanish ko‘pchilik hollarda o‘rtacha 
kvadrat xatolarining kamayishiga olib keladi. Lekin bunday vaqtlarda tenglashtirish 
bajarilmay qoladi. 
Tenglashtirish parametrlari bevosita eng kichik kvadratlar usuli yordamida 
baholanadi. Eksponensional funksiya parametrlarini baholash uchun esa boshlang‘ich 
qatorlar qiymatini logarifmlash lozim. 
Normal tenglamalar sistemasi quyidagicha bo‘ladi: 
a) 
k
tartibli polinom uchun: 





































k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
t
y
t
a
t
a
t
a
t
a
t
y
t
a
t
a
t
a
t
a
y
t
a
t
a
t
a
na
2
2
2
1
1
0
1
3
2
2
1
0
2
2
1
0
...
..
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
...
...
(2) 
b)eksponensional funksiya uchun: 





































y
t
t
a
t
a
t
a
t
a
y
t
t
a
t
a
t
a
t
a
y
t
a
t
a
t
a
na
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
ln
...
..
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
ln
...
ln
...
2
2
2
1
1
0
1
3
2
2
1
0
2
2
1
0
(3) 
Agar tendensiya ko‘rsatkichli funksiyaga ega bo‘lsa, ya’ni 
t
t
a
a
y
1
0


---

28 
bo‘lsa, ushbu funksiyani logarifmlab, parametrlarini eng kichik kvadratlar usuli 
yordamida aniqlash mumkin. Ushbu funksiya uchun normal tenglamalar sistemasi 
quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi: 












y
t
t
a
t
a
y
t
a
a
n
ln
ln
ln
ln
ln
ln
2
1
0
1
0
(4) 
Ko‘pincha boshlang‘ich ma’lumotlar asosida qatorlar dinamikasining 
rivojlantirish tendensiyasini tavsiya etish uchun eng qulay funksiya qaysi biri 
ekanligini hal qilish masalasi murakkab bo‘ladi. Bunday hollarda funksiya shakllarini 
aniqlashning quyidagi ikki xil usulidan foydalanish mumkin: o‘rta kvadratik xatolar 
minimumi usuli bilan funksiya tanlash; dispersion tahlil usulini qo‘llash orqali 
funksiya tanlash.
Mantiqiy tahlil hamda tadqiqot tufayli qo‘lga kiritilgan shaxsiy tajriba asosida 
qator turli xil funksiyalar tanlab olinadi va ularning parametrlari baholanadi. 
SHundan so‘ng har bir funksiya uchun quyidagi formula asosida o‘rta kvadratik 
xatolar aniqlanadi: 
1
2







 



k
n
y
y
S
t
t
, 
(5) 
bu erda: 
t
y
qatorlar dinamikasining qiymati; 

t
y
qatorlar dinamikasi qiymatlarini tenglashtirish; 
k
funksiya parametrlari soni. 
Mazkur usul faqat tenglama parametrlarining teng sonida natijalar beradi. 
Ikkinchi usul dispersiyalarni taqqoslashdan iborat. O‘rganilayotgan qatorlar 
dinamikasi umumiy variatsiyasini ikki qismga, ya’ni tendensiyalar tufayli sodir 
bo‘ladigan variatsiyalar va tasodifiy variatsiyalar yoki 
2
1
V
V
V


bo‘lishi mumkin. 
Umumiy variatsiya quyidagi formula bo‘yicha aniqlanadi: 






n
t
t
y
y
V
1
2
,
(6) 
bu erda, 
y
- qatorlar dinamikasining o‘rtacha darajasi. 
Tasodifiy variatsiyalar quyidagi formula orqali aniqlanadi: 

---

29 








 

n
t
t
t
y
y
V
1
2
2
. 
(7) 
Umumiy va tasodifiy variatsiyalarning farqi tendensiyalar variatsiyasi 
hisoblanadi: 
2
1
V
V
V


.
(8) 
Tegishli dispersiyalarni aniqlashda daraja erkinligi quyidagicha bo‘ladi: 
1. Tendensiyalar tufayli dispersiyalar uchun daraja erkinligi soni tekislash 
tenglamasi parametrlari sonidan bitta kam bo‘ladi. 
2. Katorlar dinamikasi darajasi soni bilan tekislash tenglamasi parametrlari soni 
o‘rtasidagi farq tasodifiy tendensiyalar uchun daraja erkinligi soniga teng bo‘ladi. 
3. Umumiy dispersiyalar uchun daraja erkinligi soni qatorlar dinamikasi 
darajasi sonidan bitta kam bo‘ladi. CHiziqli funksiya uchun dispersiyalar quyidagicha 
hisoblanadi: 
1
2


n
V
S
,
(9) 
1
2
1
V
S

, 
(10) 
2
2
2
2


n
V
S
.
(11) 
Dispersiyalar aniqlangandan so‘ng 
F
- mezonning empirik qiymati hisoblanadi: 
2
2
2
1
S
S
F

. 
(12) 
Olingan qiymatni erkinlik va ehtimollik darajasiga muvofiq aniqlangan jadval 
qiymati bilan taqqoslanadi. 
Agar 

F
F

ko‘rinishidagi tengsizlik bajarilsa, u holda tahlil qilinayotgan 
tenglama ifodalanayotgan tendensiya uchun to‘g‘ri keladi. Bunday hollarda tahlil 
qilishni mantiqiy tushunchalarga mos keladigan oddiy tenglamalardan boshlab, asta-
sekin kerakli daraja aniqlanguncha qadar murakkabroq darajalarga o‘tib borish lozim. 
Trend aniqlangandan keyin boshlang‘ich qatorlar dinamikasiga tegishli 
darajada trendning qiymati olinadi. Tahlil bundan keyin trenddan chetga chiqishi 
mumkin. 

---

30 
)
(
)
(
)
(
t
y
t
y
t
z



(13) 
)
(
t
z
chetga chiqishi 
2

arifmetik dispersiyali o‘rtacha nolga teng bo‘ladi. 
Tenglama parametrlarini aniqlash zarur: 
t
a
a
t
y
1
0
)
(



, 
(14) 
t
a
a
t
y
1
0
)
(






. 
(15) 
Normal tenglamalar sistemasi to‘g‘ri chiziqli tenglamalar uchun quyidagi 
ko‘rinishga ega bo‘ladi: 












ty
t
a
t
a
y
t
a
na
2
1
0
1
0
(16) 
Dinamika tendensiyasini aniqlashning eng sodda usuli qator darajalari davrini 
uzaytirishusulidir. Bu usulda ketma-ket joylashgan qator darajalari teng sonda olib 
qo‘shiladi, natijada uzunroq davrlarga tegishli darajalardan tuzilgan yangi 
ixchamlashgan qator hosil bo‘ladi. 
O‘rtacha sirg‘aluvchi usul - bu qator darajalarini birin-ketin ma’lum tartibda 
surish yo‘li bilan hisoblangan o‘rtacha darajadir. O‘rtacha sirg‘aluvchi usulda qator 
ko‘rsatkichlaridan doimo teng sonda olib, ulardan oddiy arifmetik o‘rtacha hisoblash 
yo‘li bilan aniqlanadi. Ularni toq yoki juft sonda olinadigan qator ko‘rsatkichlari 
asosida hisobalash mumkin. 
O‘rtacha sirg‘aluvchi usul o‘rtacha qiymatni aniqlash vaqtida tasodifiy 
chetlanishlarning o‘sish holatiga asoslanadi. O‘rtacha faktik qiymatlar qatorlari 
dinamikasi tekislanayotgan vaqtda sirg‘anishning o‘rtacha nuqta davrini 
ko‘rsatadigan o‘rtacha qiymatlar bilan almashinadi. Odatda o‘rtacha sirg‘anuvchi 
usulning ikki modifikatsiyasidan, ya’ni oddiy va vaznli tekislashdan foydalaniladi. 
Oddiy tenglashtirish o‘rtalikdagi 
p
uzunlikdagi vaqt uchun oddiy o‘rta 
arifmetik hisoblashdan tuzilgan yangi qator tuzishga asoslanadi: 


1
,...,
2
,
1







p
N
k
p
y
y
k
p
k
t
t
k
, 
(17) 

---

31 
bu erda, 
p
– tenglashtirish davri uzunligi vaqtli qatorlar xarakteriga bog‘liq 
bo‘ladi;
k
– o‘rtacha qiymatning tartib nomeri. 
Vaznli tenglashtirish turli nuqtadagi qatorlar dinamikasi uchun vaznli o‘rtacha 
qiymatlarni o‘rtachalashtirishdan iborat. 
Ko‘phad (polinom) o‘rtacha darajasi 
1

p
nuqtasiga joylashgan. 
0
a
ga nisbatan 
tenglamani echsak: 
1
2
1
2
2
2
1
1
0
...






p
p
y
b
y
b
y
b
a
(20) 
hosil qilamiz. Bu erdagi 
1
b
qiymati 
p
va 
k
mohiyatiga bog‘liq bo‘ladi. Hosil 
bo‘lgan tenglama (4) birinchilardan 
1
2

p
qatorlar dinamikasi qiymatining vaznli 
o‘rtacha qiymat arifmetikasi hisoblanadi. 
Eksponensial usuli hozirgi paytda, dinamik qatorlarga asoslangan usullardan 
eng muhim usul deb hisoblanadi. Dinamik qatorlarni bashoratlashda ma’lumotlarni 
yildan yilga o‘zgartirishini e’tiborga olish zarur. Ohirgi yillardagi o‘zgarish 
tendensiyasini ahamiyatini oshirib, dinamik qatorni birinchi yillardagi o‘zgarish 
tendensiyasini ahamiyatini kamaytirish zarur. 
Bashoratlashtirishning oddiy modellaridan biri bo‘lgan vaqtli funksiyasini 
ko‘rib o‘tamiz. Umumiy holda vaqt bo‘yicha olingan funksiyasini
u
t
 = f (t) 
(21) 
t
a
a
y
t
1
0


(22) 
ko‘rinishida ifodalash mumkin. 
Ayrim hollarda vaqtli qator parametrlari ma’lum bir oraliqda o‘zgarishi 
mumkin. 
Bu muammoni echish uchun Braun tomonidan yaratilgan eksponensial 
usulidan foydalanamiz. Bu usulni mohiyati shundan iboratki, vaqt bo‘yicha olingan 
qator eksponensial qonuniyatiga bo‘ysunib bashorat qilinadi. 
Faraz qilaylik: 
t
a
a
y
1
0


(23) 

---

32 
ko‘rinishidagi chiziqli funksiya berilgan bo‘lsin. Bu erdagi a
0
va a
1
parametrlarni topish uchun o‘rtacha eksponensial 
)
(
1
y
S
t
va 
)
(
2
y
S
t
miqdorlarni
topamiz. 
1
0
1
1
)
(
a
a
y
S
t






(24) 
1
0
2
)
1
(
2
)
(
a
a
y
S
t






(25) 
Agar bu sistemani a
0
va a
1
ga nisbatan echsak, quyidagilarni xosil qilamiz: 
)
(
)
(
2
2
1
0
y
S
y
S
a
t
t


(26) 


)
(
)
(
1
1
2
1
1
y
S
y
S
a
t
t




(27) 
k
darajadagi eksponenta rekurent formulasi orqali topiladi. 
)
(
)
1
(
)
(
)
(
1
1
y
S
y
S
y
S
k
t
tk
tk







(28) 
Bu yerda 

= 2 / m + 1 
m -kuzatuvlar soni. 
Umuman olganda 0 

1 bo‘ladi. 
Agar 

parametr 1 ga yaqin bo‘lsa, bashoratlashtirish uchun keyingi holatlar 
hisobga olinadi. Agar a 

0 bo‘lsa bashoratda ilgari holat nazarda tutiladi. 
Tuzilgan tenglama (model) quyidagi mezonlar bo‘yicha baholanadi: 
a) Determinatsiya koeffitsienti; 
b) Fisher mezoni; 
v) Styudentmezoni; 
g) Darbin-Uotson mezoni; 
d) Approksimatsiya xatoligi. 
Trend modellarning sifatini determinatsiya koeffitsienti(R
2
) bilan tahlil 
qilganda quyidagi formula qo‘llaniladi: 
(29); 
Ma’lumki, determinatsiya koeffsienti 0 va 1 oraliqda bo‘lib, natijaning 0 ga 

---

33 
yaqinligi hodisalar (ko‘p hollarda, omil va natija) o‘rtasida bog‘lanish kuchsizligini, 0 
ga teng bo‘lishi bog‘lanish umuman yo‘qligini, 1,0 ga yaqinligi bog‘lanish juda 
kuchli ekanligini anglatadi.
Bu erda: R
2
-determinatsiya koeffsienti; 
ESS- tasodifiy variatsiya qiymati (
explained sum of squares);
TSS- jami variatsiya qiymati (
total sum of squares
). 
Modelning statistik ahamiyatini Fisherning F-me’zoni (F) bo‘yicha aniqlash 
mumkin: 
(30); 
Bu erda: n-kuzatuvlar soni; 
m-omil o‘zgaruvchilar soni; 
RSS-tendensiya variatsiyasi qiymati (
residualsumofsquares
). 
Regressiya a
0
parametri statistik mazmuniga quyiladigan talab 
bo‘lib, u 
qo‘yidagicha aniqlanadi:
(31); 
(32); 
Bu erda: - Styudentning tme’zoni
2
. 
Model aniqligini approksimatsiya o‘rtacha nisbiy xatosi (δ) yordamida 
hisoblaymiz: 
(33); 
Vaqtli qator elementlari statistik mustaqillikka ega bo‘lishi, qiymatlar o‘rtasida 
avtokorrelyasiya mavjud bo‘lmasligi zarur. Bu holatni tekshirish uchun Darbin-
Uotson me’zoni (
d
) bo‘yicha tahlil o‘tkaziladi: 
(34); 
Darbin-Uotson me’zonining mumkin bo‘lgan qiymatlari 0-4 oraliqda yotadi. 
Agarqatorda avtokorrelyasiya bo‘lmasa, uningqiymatlari 2,0 atrofidatebranadi.
2
Мазкур мезон Стьюдент тахаллусли инглиз математиги Уильям Госсет томонидан ишлаб чи
қ
илган. 

---

34