14. Boshlang‘ich funksiya. Berilgan
)
(
f
funksiyaning boshlang‘ich
funksiyasi deb, shunday
)
(
F
funksiyaga aytiladiki, berilgan intervalda
)
(
)
(
f
x
F
bo‘ladi. Boshlang‘ich funksiyani topish differensialashga teskari amal
bo‘lib, u bir qiymatli emas.
)
(
f
uchun cheksiz ko‘p boshlang‘ich funksiyalar mavjud,
lekin ularning ixtiyoriy ikkitasi bir-biridan o‘zgarmas qo‘shiluvchiga farq qiladi. Barcha
boshlang‘ich funksiyalar to‘plamiga
)
(
f
funksiyaning aniqmas integrali deyiladi. Bu
to‘plam
C
F
)
(
bilan ifodalanadi. Masalan,
3
4x
funksiyaning boshlang‘ich
funksiyasi
4
x
bo‘ladi, chunki
3
4
4
)
(
x
x
,
3
4x
funksiyaning aniqmas integrali
C
x
4
bo‘lib,
C
x
dx
x
4
3
4
bilan belgilanadi.
15. Boshlang‘ich shart. O‘rganilayotgan jarayonning boshlang‘ich payt deb qabul
qilingan biror paytdagi holati. Biror jarayon
x
f
y
differensial tenglama bilan ifodalansa, u holda boshlang‘ich shart
0
x
x
bo‘lganda,
0
bo‘ladi.
Differensial tenglamalar nazariyasida umumiy yechimdan, biror boshlang‘ich
shartni, qanoatlantiruvchi xususiy yechimni topish masalasi qo‘yiladi, bunday masalaga
Koshi masalasi deb yuritiladi. Masalan,
231
x
y
2
cos
6
differensial tenglama uchun
0
bo‘lganda,
3
bo‘ladigan boshlang‘ich shartni
qanoatlantiruvchi Koshi masalasini yechish kerak bo‘lsin. Differensial tenglamaning
umumiy yechimi
C
x
tg
y
dx
x
y
,
cos
6
2
bo‘ladi. Boshlang‘ich shartdan foydalansak,
,
3
0
6
C
tg
bo‘lib, bundan
3
kelib chiqadi. Demak, Koshi masalasining yechimi
3
6 tgx
bo‘ladi.
16. Burilish (egilish) nuqtasi. Tekislikdagi egri chiziqning qavariqlikdan (q) botiqlikka
yoki botiqlikdan (q) kavariqlikka o‘tish nuqtasidir.
0
x
nuqta burilish nuqtasi bo‘lishining yetarli sharti, ikkinchi tur kiritik nuqtadan
(q) o‘tishda funksiya ikkinchi tartibli hosilasining ishorasi, teskarisiga o‘zgarishi bo‘ladi.
Masalan,
3
funksiya grafigining burilish nuqtasi
0
nuqta bo‘ladi, chunki
6
bo‘lib,
0
nuqtadan o‘tishda ikkinchi tartibli hosila ishorasi (-)
manfiydan (+) musbatga o‘zgaradi.
17. Burchak koeffitsiyent. Tekislikdagi to‘g‘ri chiziqning to‘g‘ri
burchakli dekart koordinatlari sistemasiga nisbatan burchak koeffitsiyenti – u to‘g‘ri
chiziq bilan koordinatlar sistemasi Ox o‘qining musbat yo‘nalishi orasidagi burchakning
tangensidir. To‘g‘ri chiziqning tenglamasi
b
kx
y
bo‘lsa, bunda
k
uning burchak
koeffitsiyenti bo‘ladi. Burchak koeffitsiyentlari teng bo‘lgan to‘g‘ri chiziqlar parallel
bo‘ladi. Ikki to‘g‘ri chiziq orasidagi burchak tangensi, ushbu
2
1
1
2
1
k
k
k
k
tg
tenglikdan topiladi.
18. Bo‘sh to‘plam. Bitta ham elementga ega bo‘lmagan to‘plamdir. Bo‘sh to‘plam, har
qanday to‘plamning qism to‘plami (q) bo‘ladi. Masalan, ikkita to‘plam umumiy
elementga ega bo‘lmasa, ularning ko‘paytmasi (q) bo‘sh to‘plam bo‘ladi. Misol uchun
0
5
2
x
kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarining to‘plami, bo‘sh to‘plam bo‘ladi.
D
1. Davriy funksiya. Bu shunday
x
f
y
funksiyaki, uning uchun
0
t
son mavjud
bo‘lib, aniqlanish sohasidagi har qanday
x
va
t
x
lar uchun
)
(
)
(
x
f
t
x
f
tenglik bajariladi. Bunday sonlarning eng kichigi bo‘lgan T soni
)
( x
f
y
funksiyaning davri deb aytiladi. Masalan,
x
y
sin
funksiyaning davri
tgx
,
2
funksiyaning davri
x
cos
,
funksiya uchun
2
.
2. Darajali qator. Bu funksional qatorning (q)
232
...
...
2
2
1
0
n
n
x
a
x
a
x
a
a
ko‘rinishdagi muhim xususiy holi bo‘lib, bu yerda
,....
,.....,
,
,
2
1
0
n
o‘zgarmas
miqdorlar.
Darajali qator
r
tengsizlikni qanoatlantiruvchi
x
sonlar to‘plamida va
r
tenglikni qanoatlantiruvchi
x
larning ba’zisida yoki hammasida yaqinlashuvchi
bo‘lsa,
r
songa D.q. ning yaqinlashish radiusi deyiladi.
Haqiqiy sohada, yaqinlashish sohasi
0
ga nisbatan simmetrik bo‘lgan
)
,
(
r
r
interval, bo‘lib, intervalning chegaraviy nuqtalari yaqinlashish sohasiga tegishli
bo‘lishi yoki tegishli bo‘lmasligi mumkin.
Misollar:
1)
0
n
n
x
qator
1
1
x
da yaqinlashadi; 2)
0
!
2
n
n
x
n
qator faqat
0
da yaqinlashadi; 3)
x
n
n
e
n
x
0
!
qator butun sonlar o‘qida yaqinlashuvchi
bo‘ladi.
3. Darajali qatorga yoyish.
)
( x
f
funksiya a nuqta atrofida istalgan marta
differensiallanuvchi bo‘lsa, bu nuqtaning biror atrofida qoldiq had
0
lim
x
R
n
n
bo‘lsa, fuksiyani Teylor va Makloren qatorlari (q) ga yoyish mumkin. Masalan,
x
f
)
(
funksiyaning darajali qatorga yoyilmasi
...
!
...
!
2
!
1
1
2
n
x
x
x
e
n
x
bo‘ladi, bu
0
x
nuqtadagi yoyilmasi.
4. Deduksiya. Fikr yuritish (isbot qilish) usuli bo‘lib, bunda umumiydan (umumiy fikr
yuritishdan) xususiyga o‘tiladi. Masalan, «raqamlarining yig‘idisi 3 ga bo‘linadigan har
qanday natural sonning o‘zi ham 3 ga bo‘linadi» degan fikr to‘g‘ri ekani ma’lum bo‘lsa,
berilgan muayyan, misol uchun 234 ning 3 ga bo‘linishini istasak, u holda uning
raqamlarining yig‘indisi 2+3+4=9 ning 3 ga bo‘linishiga ishonch hosil qilish yetarli
bo‘ladi. Keyingi paytlarda deduksiya deb, ya’ni isbotning deduktiv usuli deb ma’lum
aksiomalar sistemasiga asoslangan isbotga aytiladi. Deduksiya matematikada isbotning
mantiqiy jihatdan asoslangan, aniq usulidan iborat. Har qanday deduksiyada, induksiya
elementi bo‘ladi. Matematik induksiya deduksiyaga misol bo‘la oladi, chunki u
matematik induksiya aksiomasiga asoslangandir.
5. Determinant.
22
21
12
11
,
,
,
a
a
a
a
elementlardan
tuzilgan
22
21
12
11
21
12
22
11
a
a
a
a
a
a
a
a
ifodaga 2- tartibli determinant deyiladi.
233
32
23
11
33
21
12
31
22
13
32
21
13
31
23
12
33
22
11
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
ga 3- tartibli determinant deb ataladi.
n
-tartibli determinant
nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
2
1
2
22
21
1
12
11
simvol bilan belgilanib, ketma-ket tartibini pasaytirib, 3-tartibli yoki 2-tartibli
determinantlarga keltirilib hisoblanadi. Bunda determinantlarning xossalaridan (q)
foydalaniladi.
6. Direktrisa. Ikkinchi tartibli egri chiziqqa nisbatan ma’lum, xossaga ega bo‘lgan to‘g‘ri
chiziqdir. 2-tartibli egri chiziqning har qanday nuqtasidan fokursgacha bo‘lgan
masofasining, bu nuqtadan mos direktrisagacha bo‘lgan masofaga nisbati o‘zgarmas son
bo‘lib, egri chiziqning ekssentrisitetiga teng. Ellips va giperbola ikkita, parabola bitta
direktrisaga ega bo‘ladi.
7. Distributivlik qonuni. Biror to‘plamning istalgan
c
b
a ,
,
elementlari uchun
ac
ab
c
b
a
tenglik bajarilsa, bu elementlar uchun distributivlik qonuni bajariladi yoki berilgan
elementlari uchun distributivlik qonuni o‘rinli deb aytiladi. Distributivlik qonuni
ko‘paytirishning qo‘shishga nisbatan distributivlik qonuni deb ataladi. Ko‘paytirish amali
kommutativ (q) bo‘lmay qolishi mumkin bo‘lgan uchun chap distributivlik qonuni deb
ataladigan yuqorida keltirilgan distributivlik qonuni bilan bir qatorda o‘ng distributivlik
qonuni ham qaraladi, ya’ni
ca
ba
a
c
b
.
Ko‘pincha distributivlik qonuni taqsimot qonuni deb ham ataladi.
Distributiv degan nom lotincha distributis -taqsimot so‘zidan kelib chiqqan.
To‘plamlarning birlashmasi va kesishmasi distributivdir, ya’ni distributivlik qonuni
o‘rinli:
.
;
;
;
A
C
A
B
A
C
B
C
A
B
A
C
B
A
A
C
A
B
A
C
B
C
A
B
A
C
B
A
Sonlarni ko‘paytirish qo‘shishga nisbatan distributiv, lekin sonlarni qo‘shish sonlarni
ko‘paytirishga nisbatan distributiv emas, ya’ni
c
b
c
a
c
ab
234
8. Differensial. Funksiyaning differensiali, funksiya orttirmasining, chiziqli bosh qismi.
)
( x
f
y
funksiyaning differensiali
dy
x
df
),
(
yoki
df
simvol bilan belgilanib, bir
o‘zgaruvchili
)
( x
f
funksiya hosilaga (q) ega bo‘lsa, u holda
x
f
x
x
f
f
orttirmani
x
x
f
f
ko‘rinishda ifodalash mumkin, bunda
ga
nisbatan yuqori tartibli cheksiz kichik miqdor,
x
x
f
df
ifoda
ga nisbatan chiziqli,
0
da
df
miqdorning, asosiy qismini tashkil etadi.
Bir o‘zgaruvchili funksiya orttirmasini chiziqli bosh qismga va yuqori tartibli cheksiz
kichik qismga ajratish g‘oyasi, ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalar nazariyasida ham tatbiq
etiladi.
)
,.......
,
(
2
1
n
x
f
funksiyaning orttirmasi
n
n
n
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
f
f
...,
,
,
...,
,
,
2
1
2
2
1
1
bo‘lsin. Xususiy hosila
x
f
uzluksizligi, differensialning mavjudligi uchun yetarli
shartdan iborat bo‘lib, bu holda
n
i
i
i
x
x
f
f
1
bo‘ladi, bunda
qo‘shiluvchi
2
2
2
2
1
.....
n
ga nisbatan cheksiz
kichik miqdor.
n
i
i
i
x
x
f
df
1
ifoda ko‘p o‘zgaruvchili funksiya to‘liq differensiali deyiladi.
9. Differensiallanuvchi funksiya. Biror nuqtada funksiyaning differensiali mavjud
bo‘lsa, funksiya bu nuqtada differensiallanuvchi funksiya deyiladi. Biror sohaning
hamma nuqtalarida differensiallanuvchi funksiya, shu sohada differensiallanuvchi
funksiya deb aytiladi. Bir o‘zgaruvchili funksiyalar uchun differensiallanuvchanlik,
hosilaning mavjudligi bilan ekvivalent.
10. Differensiallash. Hosila (q), xususiy hosila (q) topish amalini bajarishga
differensiallash deb aytiladi. Differensiallash, differensial hisobning asosiy amali bo‘lib,
bunda differensiallash qoidalari (q) va differensiallash formulalari (q) keltirib chiqariladi
hamda ulardan differensiallashda foydaniladi.
11. Differensial tenglama. Erkli o‘zgaruvchi, noma’lum funksiya hamda uning
hosilalari yoki differensiallari orasidagi munosabat (tenglama)ga differesial tenglama deb
aytiladi. Noma’lum funksiya faqat bitta o‘zgaruvchiga bog‘liq bo‘lsa, bunday differensial
tenglamaga oddiy differensial tenglama deyiladi, bir necha o‘zgaruvchilarga bog‘liq
bo‘lsa, bunday differesial tenglamaga xususiy hosilali differesial tenglama deb aytiladi.
Differesial tenglama, XVII asrda mexanika va tabiat fanlarining ehtiyoji asosida
mavjudga keldi.
235
Differesial tenglamaga kirgan, hosilalarning yuqori tartibiga, differesial
tenglamaning tartibi deb yuritiladi.
Masalan,
2
3
1-tartibli,
x
cos
3-tartibli differesial tenglamalardir.
Differesial tenglama yechimi yoki integrali deb, berilgan differesial tenglamani
qanoatlantiradigan har qanday funksiyaga aytiladi. Differensial tenglama yechimi
grafigiga, integral chiziq deyiladi. Misol uchun,
x
dx
dy
2
differesial tenglamaning
yechimi
c
x
y
2
bo‘lib, bu holda integral chiziqlar parabolalardan iborat.
Differesial tenglamalar nazariyasining asosiy masalasi, berilgan differesial
tenglamaning barcha yechimlarini topish va bu yechimlar xossalarini o‘rganishdan iborat.
12. Differensiallash qoidalari. Hosila yoki differensial- larni hisoblash qoidalari, bu
qoidalar differensiallash formulalari bilan birga qo‘llanilganda, har qanday murakkab
elementar funksiyalarning (q) hosila va differensiallarini hisoblab chiqarish imkoniyatini
beradi.
S o‘zgarmas miqdor,
w
v
u ,
,
hosilaga ega bo‘lgan funksiyalar bo‘lganda hosilalar
(yoki xususiy hosilalar) orqali ifodalangan differensiallash qoidalari
1)
u
C
Cu
; 2)
;
...
...
w
v
u
w
v
u
3)
;
v
u
v
u
uv
4)
;
2
v
v
u
v
u
v
u
5)
u
f
y
bo‘lib,
x
u
bo‘lsa, ya’ni
x
f
y
bo‘lsa,
x
u
f
y
x
u
x
yoki qisqacha
x
u
x
u
y
y
bo‘ladi.
13. Differensial hisob. Matematik tahlilning bo‘limi bo‘lib, funksiyalarni, hosila va
differensiallar yordamida tekshiriladi. Differesial hisobning asosiy tushunchalari, hosila
va differensial bo‘lib, bular o‘z navbatida, funksiyaning limiti (q) va cheksiz kichik (q)
tushunchalar bilan bog‘langan.
Funksiyaning hosilasini bilish, uning o‘sishi, kamayishi, maksimumi va minimumi,
funksiya grafigining qavariqlik va botiqlik qismlarini aniqlash hamda burilish nuqtalari
haqida mulohaza yuritishga imkon beradi. Bu tushunchalar ko‘p o‘zgaruvchili
funksiyalarni o‘rganishda ham tatbiq etiladi.
Differensial hisobning masalalarni yechishda Dekart, Ferma va boshqalarning
xizmati katta. Differesial hisobning rivojlanishida Nyuton, Leybnits ishlari bilan bog‘liq
differesial hisob tushunchasi hamma fanlarda keng qo‘llanilib, uning aniq chegarasi yo‘q
deyish mumkin.
E
1. Evolventa. Evolyuta (q). berilgan chiziq o‘z evolyutasiga nisbatan evolventa deyiladi.
2. Evolyuta. Berilgan chiziqning har bir A nuqtasiga, to‘la aniqlangan egrilik markazi (q)
to‘g‘ri keladi. Berilgan chiziqning hamma egrilik markazlari to‘plamiga, uning evolyutasi
deyiladi.
3. Egrilik doirasi. Radiusi, egrilik markazidan (q), chiziqning A nuqtasigacha bo‘lgan,
doiraga, egrilik doirasi (yoki aylanasi) deyiladi. Egrilik markazining koordinatlari ushbu
formulalardan topiladi:
236
"
'
1
,
"
'
1
'
2
2
y
y
b
y
y
y
a
.
4. Egrilik markazi. Egri chiziqning A nuqtasidan, uning botiqlik qismiga yo‘naltirilgan
normalda, egrilik radiusiga (q) teng kesma olamiz. AS kesma oxiri, S nuqtasiga egrilik
markazi deyiladi.
5. Egrilik radiusi. Chiziqning, berilgan A nuqtadagi egriligi
A
K
ga teskari R miqdorga,
shu A nuqtadagi egrilik radiusi deyiladi, ya’ni
"
'
1
1
2
3
2
y
y
K
R
A
bo‘ladi.
6. Egri chiziqning egriligi. Egri chiziq shaklini harakterlovchi elementlaridan biri, uning
egilganlik darajasidir. Egri chiziqning berilgan A nuqtadagi egriligi
A
K
, deb yoy
uzunligi 0 ga intilganda yoyning o‘rtacha egriligi limitiga aytiladi, ya’ni
AB
K
K
AB
A
B
A
0
lim
lim
bunda, burchak A yoyning qo‘shnilik burchagi.
x
f
y
uzuluksiz funksiya, ikkinchi
tartibli hosilaga ega bo‘lsin. Uning grafigining egriligi to‘g‘ri
burchakli koordinatlar sistemasida
2
3
2
'
1
"
y
y
K
A
formula bilan aniqlanadi.
7. Ekvivalent to‘plamlar. Elementlari orasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatish
mumkin bo‘lgan to‘plamlardir. Ekvivalent to‘plam teng quvvatli to‘plamlar ham deb
ataladi.
8. Ekstremumning yetarli sharti. 1- qoida.
0
x
nuqta
x
f
y
funksiyaning kritik
nuqtasi bo‘lib, funksiya hosilasi ishorasini, bu nuqtadan (chapdan o‘ngga) o‘tishda
o‘zgartirsa,
0
x
nuqtada funksiya ekstremumga ega bo‘ladi.
2-qoida.
0
x
nuqta kritik nuqta bo‘lib, ikkinchi tartibli hosila 0 dan farqli bo‘lsa,
0
x
nuqtada funksiya ekstremumga ega bo‘ladi.
0
"
0
x
f
bo‘lsa, maksimumga,
0
"
0
x
f
bo‘lsa, minimumga ega bo‘ladi.
9. Ekstremumning zaruriy sharti. 1) bir o‘zgaruvchili
x
f
y
funksiyaning
0
x
nuqtada ekstremumning zaruriy sharti – bu nuqtada
0
' x
f
hosilaning 0 ga teng bo‘lishi
yoki hosilaning mavjud bo‘lmasligidan iboratdir;
A
B
237
2) bir necha o‘zgaruvchili funksiyaning
0
0
2
0
1
0
...,
,
,
n
x
x
x
M
nuqtadagi ekstremumining
zaruriy sharti, bu nuqtada
n
x
x
x
f
u
,
...
,
,
2
1
funksiyaning barcha xususiy
hosilalari 0 ga aylanishidan yoki hech bo‘lmaganda xususiy hosilalardan (q) bittasi
mavjud bo‘lmasligidan iboratdir.
10. Ekstremum nuqtasi. Funksiyaning ekstremum nuqtasi – funksiya ekstremumga (q),
ya’ni maksimumga (q) yoki minimumga (q) ega bo‘ladigan nuqta.
11. Ekssentrisitet. 2-tartibli egri chiziqning istalgan nuqtasidan fokusgacha bo‘lgan
masofaning, bu nuqtadan tegishli direktrigacha (q) bo‘lgan masofaga nisbatiga teng son.
Ellips uchun
1
2
2
a
c
, giperbola uchun
1
2
2
a
c
, parabola uchun esa, u 1 ga teng bo‘lib,
2-tartibli egri chiziqning shaklini harakterlaydi: Ellipsning E. i nolga yaqinlashsa, ellips
shakli aylanaga o‘xshay boradi, ellipsning E. i 1ga yaqinlashsa, ellips siqilib, o‘zining
a
2
ga teng bo‘lgan katta o‘qi vaziyatini olishga intiladi.
Lotincha, yex- tashqaridagi, centrum- markaz degani.
Do'stlaringiz bilan baham: |